线性微分方程与常数变异法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,一阶线性微分方程,第四节,一、一阶线性微分方程的定义和分类,第十二章,二、一阶线性微分方程的解法,一阶线性微分方程,的标准形式,:,上述方程称为,齐次的,.,上述方程,称为,非齐次的,.,一、一阶线性方程的定义,例如,线性的,;,非线性的,.,我也是！,齐次方程的通解为：,1.,线性齐次方程,二、一阶线性微分方程的解法,可分离变量的方程,只写一个原函数,2.,线性非齐次方程,讨论,与齐次方程通解相比,:,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法,.,设,是方程 的解，则,积分得,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解,公式,为,:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,一阶线性非奇次方程解的结构,解：,例1,本章类似积分可不加绝对值,例,2,解：,化为标准型：,例,3.,求方程 的通解,.,解法一,:,一阶线性微分方程公式,例,3.,求方程 的通解,.,解法二,:,分离变量法,例,4,如图所示，平行于 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段,PQ,之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线 .,两边求导得,解,解此微分方程,所求曲线为,例,5,：,设曲线上任意一点,P(,x,y,),处的切线与射线,OP,以及,y,轴围成图形的面积是常数,a,.,求曲线的方程,.,切线方程：,令,X,=,0,得,A,点的纵坐标,例,6,：求下列方程的解,例,6,：求下列方程的解,两边求导，得,积分方程有时会蕴含定解条件,例,6,：求下列方程的解,（,3,）,设,y,(,x,),当,x,0,时可微，且满足,求,y.,两次求导,3,、设,在,上连续,，,且,单调减少，,单调增加。,证明：,证明：,当,当,所以命题成立。,不能再次求导,作业,P,304,1,(1),（,2,），,(5),（,6,），,(7),(9),2,(1),(2),(3);,6,P 309,1,(1),;2,(1),（,2,）,;,3,P 315,1,(1),(2),（,3,）,;,2,(1);,3,