中考复习-圆的基本性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,圆的基本性质,10/6/2024,1,点与圆的位置关系,你发现,点与圆的位置关系,是由什么来决定的呢？,如果圆的半径为r，,点到圆心的距离为d，则：,点在圆上,d=r,点在圆内,dr,10/6/2024,2,经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的,外接圆,，,外接圆的圆心叫做三角形的,外心,，,三角形叫做圆的,内接三角形,。,问题1,：如何作三角形的外接圆？如何找三角形的外心？,问题2,：三角形的外心一定 在三角形内吗？,10/6/2024,3,垂径定理,垂径定理,垂直于弦的直径,平分,这条,弦,，并且,平分,弦所对的两条,弧,。,10/6/2024,4,判断下列图形，能否使用垂径定理？,注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！,定理辨析,10/6/2024,5,练习,O,A,B,E,若圆心到弦的距离用,d,表示，半径用,r,表示，弦长用,a,表示，这三者之间有怎样的关系？,10/6/2024,6,如图，P为O的弦BA延长线上一点，PAAB2，PO5，求O的半径。,M,A,P,B,O,辅助线,关于弦的问题，常常需要,过圆心作弦的垂线段,，这是一条非常重要的,辅助线,。,圆心到弦的距离、半径、弦长,构成,直角三角形,，便将问题转化为直角三角形的问题。,10/6/2024,7,（,1,）,平分弦,（不是直径）,的直径,垂直于弦,，并且,平分弦所对的两条弧,；,（2）,弦的垂直平分线,经过圆心,，并且,平分弦所对的两条弧,；,（3）,平分弦所对的一条弧的直径,，,垂直平分弦,并且,平分弦所对的另一条弧,。,10/6/2024,8,圆的性质,圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。,圆是以圆心为对称中心的,中心对称图形,。,圆还具有,旋转不变性,，即圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。,10/6/2024,9,定理,相等的圆心角,所对的,弧,相等，所对的,弦,相等，所对的弦的,弦心距,相等。,在同圆或等圆中，,O,A,B,C,A,B,C,10/6/2024,10,圆心角所对的弧相等，,圆心角,所对的弦相等，,圆心角,所对弦的弦心距相等。,推论,在同圆或等圆中，,如果两个圆心角、两条弧、,两条弦或两条弦的弦心距中有,一组量相等，那么它们所对应,的其余各组量都分别相等,。,题设,结论,在同圆或等圆中,(前提),圆心角相等,（条件）,定理推论,10/6/2024,11,1,圆心角,1,弧,C,D,n,圆心角,n,弧,把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1的角。1的圆心角所对的弧叫做1的弧。,圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。,一般地，n的圆心角对着n的弧。,弧的度数,10/6/2024,12,圆周角：,顶点在圆上,，并且,两边都和圆相交,的角。,看清要点,10/6/2024,13,推论,定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。,也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；,圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半,。,弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？,什么时候圆周角是直角？反过来呢？,直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？,10/6/2024,14,推论1同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。,思考：,1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？,2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个,圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个,圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的,其余各组量也相等。,F,E,D,10/6/2024,15,推论2半圆（或直径）所对的圆周角是90；90的圆周角所对的弦是直径。,推论3如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。,什么时候圆周角是直角？反过来呢？,直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？,10/6/2024,16,关于等积式的证明,如图，已知AB是O的弦，半径OPAB，弦PD交AB于C，求证：PA,2,PCPD,C,D,P,B,A,O,经验：,证明等积式，通常利用相似；,找角相等，要有找同弧或等弧所对的圆周角的意识；,10/6/2024,17,如图，弦AB和CD交于点P,且CD是ACB的平分线,问题（1）：你能找出图中相等的圆周角和相等的线段吗?,步步高升,问题（2）：图中有哪些相似的三角形？,问题（3）：若点C在圆周上运动（不和A，B重合），在此运动过程中，哪些线段是不变的，哪些线段发生了改变？,10/6/2024,18,如图，弦AB和CD交于点P,且CD是ACB的平分线,问题（4）：若弦AB=, BAD=30,在点C运动的过程中,四边形ADBC的最大面积为多少?此时CAD等于多少度?,步步高升,10/6/2024,19,如图，弦AB和CD交于点P,且CD是ACB的平分线,问题（5）：若弦AB=, BAD=30,在点C运动的过程中, 当CAD等于多少度时,四边形ADBC是梯形?证明你的理由,步步高升,10/6/2024,20,2、如图，在ABC中，A40,O,是ABC的外心，则,BOC .,80,如果,O,为内心，BOC,110,C,A,B,O,1、判断：三点确定一个圆（）,练习,10/6/2024,21,3. 如图所示，矩形ABCD与O交于点A、B、F、E，DE1cm,EF=3cm,则AB,cm。,4.若AB分圆为15两部分，则劣孤AB所对的圆周角为,( ),A.30 B.150,C.60,D.120,5,A,10/6/2024,22,6.下列说法中，正确的是 ( ),A.到圆心的距离大于半径的点在圆内,B.圆周角等于圆心角的一半,C.等弧所对的圆心角相等,D.三点确定一个圆,C,5.,(2004年昆明市),如图所示，是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则A+B+C+D+E的度数是 ( ),A.180 B.150,C.,135,D.,120,A,10/6/2024,23,7、已知,O,的面积为16.,（1）若,PO,2.8，则点P在,O_,.,（2）若,PO,4， 则点P在,O_,.,（3）若,PO,5.8，则点P在,O_,.,（1）,时，,与相切,（2）,时，,与相交,（3）,时，,与相离,8、如图，Rt,ABC的斜边AB，,AB，,B，以为圆心作圆，半径为,10/6/2024,24,例1；(1)如图,已知AB、CD是O的两条弦,OE、OF,分别为AB、CD的弦心距,如果AB=CD,则可得出(至少,填写两个),AOB=COD,OE=OF,O,A,E,B,C,F,D,图1,A,B,C,O,图2,(2)如图2,在O中,弦AB=1.8cm,ACB=30,则O的直径等于,(3)如图3,AB是半圆O的直径,E是 弧CB的中点,OE交弦BC于,点D,已知BC=8cm,DE=2cm.则AD的长为 cm,A,O,B,E,C,D,图3,3.6cm,10/6/2024,25,例题讲解,例2、如图，已知在O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求O的半径。,C,10/6/2024,26,例题讲解,例3、如图，在O中，AC=BD，,(1)图中有哪些相等关系？,(2)如果1=45，求2的度数,。,(3)如果AD是O的直径，1=45,求BDA的度数,10/6/2024,27,例4:如图,AC是O的直径,弦BD,交AC于点E.,A,B,D,C,E,O,ADE,BCE,吗？,说明理由,;,(2)若CD=OC,求sinB的值.,解:,ADEBCE, A=B, D=C, ADEBCE,(1),(2),若CD=OC,则AC=2DC,又 AC是O的直径,ADC=90,10/6/2024,28,典型例题解析,【例5】在直径为400mm的圆柱形油槽内，装入一部分油，油面宽320mm，求油的深度.,【解析】本题是以垂径定理为考查点的几何应用题，没,有给出图形，直径长是已知的，油面宽可理解为截面圆,的弦长，也是已知的，但由于圆的对称性，弦的位置有,两种不同的情况，如图(1)和(2),图(1)中,OC=,=120(mm),CD=80(mm),图(2)中OC=120(mm),CD=OC+OD=320(mm),10/6/2024,29,【例6】如图，O是CAE平分线上的一点，以点O为圆心的圆和CAE的两边分别交于点B、C和D、E，连结BD、CE.,求证：,(1)BC=DE (2)AC=AE (3)DB,CE.,典型例题解析,10/6/2024,30,【解析】,(1)要证弧相等，即要证弦相等或弦心距离相等，,又已知OA是CAE的平分线，联想到角平分线性质，,故过O分别作OGAC于G，,OHAE于H，,OG=OH,BC=DE,(2)由垂径定理知：BC=DE，G、H分别是BC、DE的中点.,再由AOGAOH,AG=AHAB=AD AC=AE.,(3)AC=AEC=E，再根据圆的内接四边形的,性质定理知C=ADBE=ADBBDCE.,10/6/2024,31,练习 (1) O的半径为2,点P是O外一点, OP的长为3,那么以P为圆心,且与O相切的圆的半径一定是( ),A. 1或5 B. 1 C. 5 D.1或4,(2)若半径分别为2与6的两个圆有公共点,则圆心距d的取值范围是( ),A. d8 B.d8 C.4d8 D.4d8,A,D,10/6/2024,32,3.(2004山西)如图所示，已知Rt,ABC中，C=90,AC= ,BC=1,若以C为圆心，CB为半径的圆交AB于P，则AP,。,练习,10/6/2024,33,4.(2004吉林省)如图所示，弦AB的长等于O的半径，点C在AmB上,则C=,。,30,练习,10/6/2024,34,5.半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为 ，那么这条弦所对的圆周角为 ( ),A.60 B.120,C.45 D.60或120,D,6.,(2003年江苏苏州市),如图，四边形ABCD内接于O，若它的一个外角DCE=70，则BOD=( ),A35 B.70,C110 D.140,D,10/6/2024,35,