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,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,一、复习要求,（,1,）理解定积分的概念与几何意义,（,2,）掌握定积分的基本性质,（,3,）理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握对变上限定积分求导数的方法,（,4,）掌握牛顿,莱布尼茨公式,（,5,）掌握定积分的换元积分法与分部积分法,（,6,）理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法,（,7,）掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积,（,8,）会用定积分求沿直线运动时变力所作的功,第,6,讲 定积分及其应用,b,由曲线,及直线,所围成,二、内容提要,1,定积分概念,（,1,）曲边梯形的概念,：在直角坐标系中，由曲线,，直线,及,的平面图形有以下两类，它可以看做是由两个曲边梯形所夹,轴所围成的图形，叫做曲边梯形常见,及直线,a,由曲线,所围成,（,2,）,定积分的定义,：如果函数,在区间,上有定义，用点,将区间,分成,n,个小区间,其长度为,，在每个小区间,上任取一点,，则乘积,称为积分元素，其总和,称为积分和,记为,即,为积分区间，,其中称,为被积函数，称,为被积表达式，称,为积分变量，称,为积分下限，,为积分上限,在区间,的取法无关，则称函数,中最大者,如果当,无限增大，而,时，总和,的极限存在，且此极限与,的分法以及,并将此极限值称为函数,在区间,上是可积的，,上的定积分，,（,3,）定积分上下限互换时，定积分变号而绝对值不变，,当,时，,说明：,（,1,）定积分作为一个和式的极限，是个数值，它的大小仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量用什么字母表示无关,（,2,）被积函数,在积分区间,必要条件，被积函数,上有界，是可积的,在积分区间上连续是可积的,充分条件,初等函数在其定义区间上一定可积,即,（,1,）代数和的积分的等于积分的代数和，即,为常数）,（,（,2,）常数因子可以提到积分号前面，即,2,定积分的基本性质,之间时，等式仍然成立,不介于,当,（,3,）如果积分区间,被点分成两个小区间,与,，则,（,4,）若在积分区间上总有,，则,（,5,）若函数,在积分区间,上有最大值,和最小值,，则有,，使有,内至少存在一点,（,6,）若函数,在,上连续则在区间,的值，即,它对变上限,的导数，等于被积函数在上限,3,牛顿,莱布尼兹公式,（,2,）,原函数存在定理,：若,在,上连续，则,是函数,在区间,上的一个原函数,是变上限,（,1,）,变上限定积分,的函数，,（,3,）牛顿,莱布尼兹公式：,在,上连续，且,是,的一个原函数，则,若函数,4,定积分的换元积分法和分部积分法,上连续，令,，如果,b,当,从,变到,时，,从,单调地变到,，则有,在区间,（,1,）定积分的换元积分公式,：设函数,在区间,或,上有连续导数,a,（,2,）奇（偶）函数在对称积分区间上的定积分计算法则：,b,若,是奇函数，则,是偶函数，则,a,若,（,3,）定积分的分部积分公式：,设函数,和,在,上有连续导数，则,或记为,积分区间为无限的广义积分：设函数,在区间,则定义,为,在,上的广义积分此时，称广义积分,存在或收敛，否则称广义积分,发散或不存在,5,广义积分,上连续，如果极限,存在，,同样，可定义：,其中,有时为了书写方便，可省去极限符号，如,可简写成,根据定义可知：,当,时收敛，当,时发散,（,1,）,平面图形的面积,设函数,和,在,上连续，且,，则由曲线,平面图形的面积为,6,定积分的应用,和直线,所围成的,函数,和,在,上连续，且,，则由曲线,和直线,所围成的平面图形的面积为,（,2,）,旋转体的体积,设一立体是以连续曲线,，直线,的旋转体，则其体积为,轴所围,与,由连续曲线,，直线,成的平面图形绕,y,轴旋转而成的旋转体体积为,及,轴所围成的平面图形绕,x,轴旋转而成,三、例题及说明,（,2,）,或,解,（,1,）,和 轴所围成的区域的面积,S,（,2,）求由曲线,例,1,（,1,）求,1,基本概念,例,2,求（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,（,5,）,解,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,（,5,）,2,定积分的分部积分法,或,例,1,求（,1,）,（,2,）,（,3,）,定积分的分部积分公式为,解,（,1,）,（,2,）,（,3,）,3,定积分的换元法,例,1,（,1,）,（,2,）,（,3,）,解,（,1,）设,，则,且当,时,，当,时,（,2,）设,，则,且当,时,，当,时,（由单值性也可取,则原式,时,，当,时,）,当,（,3,）设,，则,且当,时,，当,时,例,2,证明对,，有,证,设,，则,且当,时,，当,时,等式左边,4,分段函数的积分,，求,（,2,）求,（,3,）求,例,1,（,1,）,解,（,1,）,（,2,）,（,3,）,例,1,求（,1,）,（,2,）,解,（,1,）原式,第二个被积函数是偶函数，第三个被积函数是奇函数,（,2,）原式,前者被积函数是偶函数，后者被积函数是奇函数，,5,奇、偶函数在对称区间,上的积分,原式,原式,例,1,求,设（,1,）,（,2,）,（,3,）,解,（,1,）,（,2,）,（,3,）,6,变上限积分及其对上限的导数,又,上单调增加，所以方程,在,即,例,2,设,连续，,证明方程,上有且只有一个根,在,证,在,上有且只有一个根,例,1,求（,1,）,（,2,）,（,3,）,解,（,1,）,，发散,（,3,）,，收敛,7,广义积分,（,2,）,，收敛,解,当,时，,，发散；,，发散；,，收敛,例,2,讨论,的收敛性,时，,当,时，,当,例,1,求由,所围区域的面积,积分，则必须分成上、下两块面积之和：,或对,解,8,平面图形所围区域的面积,积分，则,或对,解,首先由联立方程,，求得两曲线交点坐标为,积分，则必须分成左右两块之和,对,例,2,求由曲线,和直线,所围区域的面积,解,（,1,）取上半支抛物线,（,2,）,9,旋转体的体积,例,1,求由曲线,和,所围区域（,1,）绕,轴旋转的体积；（,2,）绕,轴旋转的体积,
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