数学观与数学教学观解答课件

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学观与数学教学观,数学观与数学教学观,对数学和数学教学本质问题的回答,数学观,人们对数学的性质、任务、来源、以及数学与人类社会各个领域的知识之间的关系的认识。,数学是科学的女王,数学是一种别具匠心的艺术,数学是符号加逻辑,数学是人类的思考中最高的成就,数学是研究抽象结构的理论,数学是上帝描述自然的符号,数支配着宇宙,数学是一种会不断进化的文化,数学是一切知识中的最高形式,数学是人类智慧皇冠上最灿烂的明珠,数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源。所有研究顺序和度量的科学均和数学有关,数学是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度,给我空间、时间、及对数，我可以创造一个宇宙,自然界的书是用数学的语言写成的,数学是各式各样的证明技巧,第一是数学，第二是数学，第三是数学,什么是数学,数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与人类发展和社会进步息息相关，随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。数学作为对客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用。特别是,20,世纪中叶以来，数学与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。,。（全日制义务教育数学课程标准（修改稿）,，,2011,年,）,什么是数学,什么是数学,不同历史时期有很不相同、很不一致的观点,古代,中国：数学是术，是用来解决生产与生活问题的计算方法。,古希腊：数学是理念，是关于世界本质的学问，数学对象是一种不依赖于人类思维的客观存在，但可以通过亲身体验，借助实验、观察和抽象获得有关的知识。,代表人物：毕达哥拉斯、柏拉图，,强调数量关系是现实的本质，自然界是按数学方式设计的，并且这个设计是和谐优美的内部真理。,（张维忠,.,论数学观的演变,.,大自然探索，,1998,，,1.,）,什么是数学,毕达哥拉斯学派神秘主义数学观,毕达哥拉斯（,Pythagoras,，,572 BC497 BC,）古希腊,数学,家、,哲学,家。,无论是解说外在物质世界，还是描写内在精神世界，都不能没有数学,！,最早悟出万事万物背后都有数的法则在起作用,的，是生活在,2500,年前的毕达哥拉斯。,毕达哥拉斯学派,：亦称“南意大利学派”，是一个集政治、学术、宗教三位于一体的组织。古希腊哲学家毕达哥拉斯所创立。,产生于公元前,6,世纪末，公元前,5,世纪被迫解散,，其成员大多是数学家、天文学家、,音乐家,。它是西方美学史上,最早探讨美的本质的学派,。,数是宇宙万物的本原，事物的性质是由某种数量关系决定的，万物按照一定的数量比例而构成和谐的秩序,“万物皆数,”：“,1”,是数的第一原则，万物之母，也是,智慧,；“,2”,是对立和否定的原则，是意见；“,3”,是万物的形体和形式；“,4”,是,正义,，是宇宙创造者的象征；“,5”,是奇数和偶数，雄性与雌性和结合，也是婚姻；“,6”,是神的生命，是,灵魂,；“,7”,是机会；“,8”,是和谐，也是,爱情,和友谊；“,9”,是,理性,和强大；“,10”,包容了一切数目，是完满和美好。,“美是和谐,”：,数是音乐和谐的基础。他们发现，,音乐的和谐是由高低长短轻重不同的音调按照一定的数量上的比例组成，,当一根,琴弦,被缩短到原来长度的一半时，拨动琴弦，音调将提高,8,度；比率为,32,和,43,时，相对应的是高,5,度和高,4,度的和声。和声就是由这样一些不同的部分组成的整体。他们认为，正是由于各种事物的数值比确定了它们分别是什么，并显示出彼此之间的关系。,柏拉图主义,柏拉图（,Plato,，,，约前,427,年前,347,年），,古希腊伟大的哲学家，也是,全部,西方哲学,乃至整个,西方文化,最伟大的哲学家和思想家之一,，,他和老师,苏格拉底,，学生,亚里士多德,并称为,古希腊三大哲学家,。,柏拉图还是,西方教育史上,第一个提出完整的学前教育思想并建立了完整的,教育体系,的人,。柏拉图,指出,了,每门学科对于发展抽象思维的意义,。从,20,30,岁，那些对抽象思维表现特殊兴趣的学生就要继续深造，学习算术、几何、天文学与和声学等学科，以锻炼他的,思考能力,，使他开始探索宇宙的奥妙。主张未来的统治者在,30,岁以后，要进一步学习,辩证法,，以洞察理念世界。经过,5,年后，他就可以成为统治国家的哲学王了。他,主张,心身和谐发展,，强调“用,体育,锻炼身体，用,音乐,陶冶心灵”。,柏拉图丰富的体育思想对后世体育的发展有深远的影响。柏拉图曾旅行到意大利南部，在那儿遇到,毕达哥拉斯学派的学者，对他产生了影响,：视,数学为万物的本质,；宇宙二元论,真理（理念）世界和由影子组成的可见世界；对,理论科学,感兴趣；宗教,神秘主义,和道德禁欲主义；灵魂的轮回和不朽。,教育是约束和指导青少年，培养他们正当的理智。每个人最初所受教育的方向容易决定以后行为的性质，感召的力量是不小的。,耐心是一切聪明才智的基础。,开始是工作的最重要部分。,意志不纯正，则学识足以为害。,语言的美、乐调的美以及节奏的美，都表现好性情。所谓“好性情”并不是人们通常用来恭维愚笨的人的那个意思，而是心灵真正尽善尽美。,技艺没有知识，他对于那种技艺的语言和作为，就不能作正确的判断了。,不知道自己的无知，乃是双倍的无知。,子女教育是社会的基础。,美具有引人向善的作用和力量。,爱是美好带来的欢欣，智慧创造的奇观，神仙赋予的惊奇。,尊重人不应该胜过尊重真理。,只要有信心，人永远不会挫败。,每天告诉自己一次：“我真的很不错”。,柏拉图主义,（,Platonism,）是数学历史上影响最大的,数学哲学,观点,，,在西方近现代数学界都有相当大的影响，,一些数学巨匠如,G,康托尔、,罗素,、,哥德尔,、,布尔巴基学派,基本上都持这种观点,。它起源于古希腊的柏拉图，此后在西方数学界一直有着或明或暗的柏拉图主义,观念,，,19,世纪，它在数学界几乎占了统治地。,20,世纪初，,数学基础,三大学派的争议刚趋平息，柏拉图主义观点又成为讨论的热点之一。,柏拉图主义的基本观点,：,数学的对象就是数、量、,函数,等数学概念，,而,数学概念作为抽象一般或“,共相,”是客观存在着的,。,柏拉图认为,它们,存在于一个特殊的理念世界,里，,后世的柏拉图主义者,并不接受“理念论”，但也认为,数学概念,是一种,特殊的独立于现实世界之外,的,客观存在,，,它们是不依赖于时间、空间和人的思维的永恒的存在。,数学家,得到新的概念不是创造，而是对这种客观存在的描述,；,数学新成果不是发明，而是发现。,与之相应的，柏拉图主义认为,数学理论的真理性就是客观的由那种独立于现实世界之外的存在决定的,，,而这种,真理性是要,靠“心智”经验来理解，靠某种“数学直觉”来认识,的，人们,只有通过直觉才能达到独立于现实世界之外的“数学世界”。,古典柏拉图主义,：“数学理念世界”数学观。,数学的理念世界是独立于人的感性经验之外,的世界，是一种,客观存在着的完善的永恒世界,。,近代柏拉图主义,：,上帝是用数学方案来构造宇宙,的，而寻求自然界的数学规律是对上帝智慧的证明；,数学对象是具有客观性的理念实体，需要通过理性的心智活动去认识,，而不应受直观感觉的约束；,数学真理具有必然性和唯一性,；,数学仅仅是研究具有确定性的数量与空间形式的科学,，那些具有模糊性的或超越二值范畴的对象关系都不能作为数学对象。,现代柏拉图主义,的“先验论”,/“,实在主义”数学观,:,数学对象是“客观实在,”（“数学实体”，哈代），是,一些理想化的结构,，这种理想结构,不同于物理世界的构造,，至多只存在某种近似的关联；,数学真理是客观存在的，而人们对其认识不可能是完全的,，数学发展到任何时候总有一批未解决的难题，而有许多问题结论的真假不能判定。（徐利治,.,数学中的现代柏拉图主义与有关问题,.,数学教育学报，,2004,，,3,.,）,近代,以数学基础三大学派的逻辑主义、形式主义、直觉主义所形成的数学观为代表,逻辑主义把数学化归为逻辑,代表人物：英国著名数学家、哲学家、逻辑学家,罗素,（,数学哲学导论,）,代表作：罗素，怀特海：,数学原理,。作者企图在这,3,卷本的数学巨著中向人们说明：全部数学可以从逻辑概念出发用明显的定义得出数学概念；由逻辑命题开始用纯逻辑的演绎推得数学定理。从而，,全部数学都可以从基本的逻辑概念和逻辑规则而推导出来,。,这样，就可以把数学看成是,逻辑学延伸或分支,。故“逻辑学生数学的青年时代，而数学是逻辑学的壮年时代。”“数学即逻辑”（罗素）,在,数学原理,中，罗、怀通过纯逻辑的途径再加上集合论的选择公理和无穷公理把当时的数学严格的推导了出来。罗素宣称：“从逻辑中展开纯数学的工作，已由怀特海和我在,数学原理,中详细地做了出来。”问题是：数学的基础是逻辑吗？罗、怀的工作：在推导数学时使用集合论的两个公理！这是不可缺的，否则不能完成。因为，不用“无”则自然数系统无法构造，更不要说全部数学了！,将数学化归为逻辑还是集合论？,要从逻辑推出全部数学，就必须发展集合论，而集合论是自相矛盾的，没有相容性。但是，在逻辑系统中是不允许矛盾的！因此，必须排除悖论。,“数学就是逻辑”，“一切数学思维都是逻辑思维”不被接受,!,对,数学原理,的肯定,“该书在,20,世纪的科学技术发展中影响很大。它以当时最严格的形式化的符号语言来陈述作者建立的逻辑体系、定义和定理，从而标准符合逻辑方法的成功。并显示了数学的逻辑基础研究的意义，因而进一步显示了现代逻辑的科学意义”。,“此书在方法论上的意义是不可忽视的。他们相当成功的把古典数学纳入了一个统一的公理系统，使之能从几个逻辑概念和公理出发，再加上集合论的无穷公理就能推出康托集合论、一般算术和大部分数学来。这把逻辑推理发展到前所未有的高度，使人们看到，在数理逻辑演算的基础上能够推演出许多数学内容来，形成了集合论公理系统的逻辑体系，这种逻辑史上是一件大事，对数理逻辑后来的发展起来决定作用，是现代公理方法的一个重要起点。”,什么是数学,形式主义者要把数学组织成“形式系统”,代表人物：,德国数学家希尔伯特,非欧几何：当得出互相矛盾的定理的两种几何都证明不了自相矛盾的时候，数学的真理到底体现在哪里？为什么两个几何都成立？,在数学与逻辑之间是存在有质的区别的，不可能成功的把数学化归为逻辑。,只有有限的范畴才是绝对的可靠的，涉及无限是不那么可靠的，古典数学中包含了许多关于无限的概念和方法，所以是不那么可靠的。,既要保留古典数学，又要消除数学当中出现的悖论。,通过某些方法进行处理，例如，简化证明，,统一各种不同的理论，,保存传统的逻辑法则，等等，我们仍然可以把非有限的因素作为理想元素引入到数学中来，问题的关键就是要证明这种引进不会导致错误。,希尔伯特计划,构造出一个相容的、完备的、可判定的形式系统，系统中的定理对应于与直觉上为真的数学命题集，而且，关于相容的、完备的、可判定等性质的证明又可以仅仅借助有限的方法得以实现,。即,用有限的方法证明由古典数学抽象而出的形式系统（首先是形式算术系统）是相容的性，而“有限的方法”一般认为总可以,在算术系统内得到表述。,希尔伯特规划的提出，体现了一种新的数学思想，也就是所谓的,形式主义数学观：数学只是一组相容的、独立的、完备的公理系，按照一定方式推理出来的一堆“形式”，与它表示的内容无关。,一切数学对象都只是无意义的符号，数学命题则是按照指定的法则组成的符号序列，在数学中，我们要做的工作就是按照指定的法则对于无意义的符号序列去进行纯形式的变形。,逻辑学家,哥德尔证明了这一目标是不可能实现的！,哥德尔不完备性定理,：所有以形式算术系统为子系统的形式系统，如果是相容的，那它就一定是不完备的。,也就是说，对于任何相容的形式系统来说，如果