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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第十一章 计数原理,11,.1 排列、组合,高考数学,(浙江专用),1,考点排列、组合,1.(2017课标全国理,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完,成,则不同的安排方式共有,(),A.12种B.18种C.24种D.36种,五年高考,答案,D本题主要考查排列、组合.,第一步:将4项工作分成3组,共有,种分法.,第二步:将3组工作分配给3名志愿者,共有,种分配方法,故共有,=36种安排方式,故选D.,2,方法总结,分组、分配问题,分组、分配问题是排列组合的综合问题,解题思想是先分组后分配.,(1)分组问题属于“组合”问题,常见的分组方法有三种:,完全均匀分组,每组元素的个数都相等;,部分均匀分组,应注意不要重复;,完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象.,(2)分配问题属于“排列”问题,常见的分配方法有三种:,相同元素的分配问题,常用“挡板法”;,不同元素的分配问题,利用分步乘法计数原理,先分组,后分配;,有限制条件的分配问题,采用分类法求解.,3,2.(2016课标全国,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的,老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为,(),A.24B.18C.12D.9,答案,B分两步,第一步,从EF,有6条可以选择的最短路径;第二步,从FG,有3条可以选择,的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6,3=18条可以选择的最短路径.故选B.,4,3.(2016四川,4,5分)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为,(),A.24B.48C.60D.72,答案,D奇数的个数为,=72.,4.(2016课标全国,12,5分)定义“规范01数列”,a,n,如下:,a,n,共有2,m,项,其中,m,项为0,m,项为1,且,对任意,k,2,m,a,1,a,2,a,k,中0的个数不少于1的个数,若,m,=4,则不同的“规范01数列”共有,(),A.18个B.16个C.14个D.12个,答案,C当,m,=4时,数列,a,n,共有8项,其中4项为0,4项为1,要满足对任意,k,8,a,1,a,2,a,k,中0的个,数不少于1的个数,则必有,a,1,=0,a,8,=1,a,2,可为0,也可为1.(1)当,a,2,=0时,分以下3种情况:若,a,3,=0,则,a,4,a,5,a,6,a,7,中任意一个为0均可,则有,=4种情况;若,a,3,=1,a,4,=0,则,a,5,a,6,a,7,中任意一个为0均可,有,=,3种情况;若,a,3,=1,a,4,=1,则,a,5,必为0,a,6,a,7,中任一个为0均可,有,=2种情况;(2)当,a,2,=1时,必有,a,3,=0,分以下2种情况:若,a,4,=0,则,a,5,a,6,a,7,中任一个为0均可,有,=3种情况;若,a,4,=1,则,a,5,必为0,a,6,a,7,中,任一个为0均可,有,=2种情况.综上所述,不同的“规范01数列”共有4+3+2+3+2=14个,故选C.,评析,本题是新定义问题,考查学生分析问题、解决问题的能力,理解“规范01数列”的定义并,分类讨论是解题关键,属难题.,5,5.(2015四川,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有,(),A.144个B.120个C.96个D.72个,答案,B数字0,1,2,3,4,5中仅有0,2,4三个偶数,比40 000大的偶数为以4开头与以5开头的数.其,中以4开头的偶数又分以0结尾与以2结尾,有2,=48个;同理,以5开头的有3,=72个.于是共有48,+72=120个,故选B.,评析,本题考查了分类与分步计数原理、排列数的知识.考查学生分析问题、解决问题的能力.,6.(2014广东,8,5分)设集合,A,=(,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,)|,x,i,-1,0,1,i,=1,2,3,4,5,那么集合,A,中满足条件“1,|,x,1,|+|,x,2,|+|,x,3,|+|,x,4,|+|,x,5,|,3”的元素个数为,(),A.60B.90C.120D.130,答案,D设,t,=|,x,1,|+|,x,2,|+|,x,3,|+|,x,4,|+|,x,5,|,t,=1说明,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,中有一个为-1或1,其他为0,所以有2,=10,个元素满足,t,=1;,t,=2说明,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,中有两个为-1或1,其他为0,所以有,2,2=40个元素满足,t,=2;,t,=3说明,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,中有三个为-1或1,其他为0,所以有,2,2,2=80个元素满足,t,=3,从而,共有10+,40+80=130个元素满足1,t,3.故选D.,6,评析,本题考查了分类、分步计数原理及组合数的综合应用,考查了学生分类讨论的能力.解题,的关键在于对,t,的可能取值进行分类讨论.,7.(2014重庆,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出,顺序,则同类节目不相邻的排法种数是,(),A.72B.120C.144D.168,答案,B先不考虑小品类节目是否相邻,保证歌舞类节目不相邻的排法共有,=144种,再,剔除小品类节目相邻的情况,共有,=24种,于是符合题意的排法共有144-24=120种.,8.(2014安徽,8,5分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60,的共有,(),A.24对B.30对,C.48对D.60对,7,答案,C利用正方体中两个独立的正四面体解题,如图,它们的棱是原正方体的12条面对角线.,一个正四面体中两条棱成60,角的有(,-3)对,两个正四面体有(,-3),2对.又正方体的面对角线,中平行成对,所以共有(,-3),2,2=48对.故选C.,8,9.(2014辽宁,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为,(),A.144B.120C.72D.24,答案,D先把三把椅子隔开摆好,它们之间和两端有4个位置,再把三人带椅子插放在四个位,置,共有,=24种放法,故选D.,评析,本题主要考查排列组合内容及逻辑思维能力,解决不相邻问题采用插空法.,10.(2014大纲全国,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个,医疗小组.则不同的选法共有,(),A.60种B.70种C.75种D.150种,答案,C从6名男医生中选出2名有,种选法,从5名女医生中选出1名有,种选法,由分步乘法,计数原理得不同的选法共有,=75种.故选C.,9,11.(2017浙江,16,4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务,队,要求服务队中至少有1名女生,共有,种不同的选法.(用数字作答),答案,660,解析,本题考查计数原理、排列、组合,排列数、组合数计算,利用间接法解决“至少”类的组,合问题,考查推理运算能力.,从8人中选出4人,且至少有1名女学生的选法种数为,-,=55.,从4人中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人的选法为,=12种.,故总共有55,12=660种选法.,10,12.(2017天津理,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的,四位数,这样的四位数一共有,个.(用数字作答),答案,1 080,解析,本题主要考查计数原理及排列组合的应用.,(1)有一个数字是偶数的四位数有,=960个.,(2)没有偶数的四位数有,=120个.,故这样的四位数一共有960+120=1 080个.,思路分析,分两种情况:有一个数字是偶数的四位数;,没有偶数的四位数.,11,13.(2014浙江,14,4分)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4,个人,每人2张,不同的获奖情况有,种(用数字作答).,答案,60,解析,不同的获奖情况可分为以下两类:,(1)有一个人获得两张有奖奖券,另外还有一个人获得一张有奖奖券,有,=36种获奖情况.,(2)有三个人各获得一张有奖奖券,有,=24种获奖情况.,故不同的获奖情况有36+24=60种.,14.(2015广东,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全,班共写了,条毕业留言.(用数字作答),答案,1 560,解析,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,且全班共有40人,全班共写了40,39=1,560条毕业留言.,12,15.(2016江苏,23,10分)(1)求7,-4,的值;,(2)设,m,n,N,*,n,m,求证:,(,m,+1),+(,m,+2),+(,m,+3),+,+,n,+(,n,+1),=(,m,+1),.,解析,(1)7,-4,=7,-4,=0.,(2)当,n,=,m,时,结论显然成立.当,n,m,时,(,k,+1),=,=(,m,+1),=(,m,+1),k,=,m,+1,m,+2,n,.,又因为,+,=,所以(,k,+1),=(,m,+1)(,-,),k,=,m,+1,m,+2,n,.,因此,(,m,+1),+(,m,+2),+(,m,+3),+,+(,n,+1),=(,m,+1),+(,m,+2),+(,m,+3),+,+(,n,+1),=(,m,+1),+(,m,+1)(,-,)+(,-,)+,+(,-,)=(,m,+1),.,评析,本题主要考查组合数及其性质等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力.,13,16.(2014福建,10,5分)用,a,代表红球,b,代表蓝球,c,代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1,个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+,a,)(1+,b,)的展开式1+,a,+,b,+,ab,表示出来,如:“1”表示,一个球都不取、“,a,”表示取出一个红球、而“,ab,”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球,中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是,(),A.(1+,a,+,a,2,+,a,3,+,a,4,+,a,5,)(1+,b,5,)(1+,c,),5,B.(1+,a,5,)(1+,b,+,b,2,+,b,3,+,b,4,+,b,5,)(1+,c,),5,C.(1+,a,),5,(1+,b,+,b,2,+,b,3,+,b,4,+,b,5,)(1+,c,5,),D.(1+,a,5,)(1+,b,),5,(1+,c,+,c,2,+,c,3,+,c,4,+,c,5,),以下为教师用书专用,答案,A从5个有区别的黑球中取,k,个的方法数为,故可用(1+,c,),5,的展开式中,c,k,的系数表示.所,有的蓝球都取或都不取用1+,b,5,表示.由乘法原理知,符合题意的取法可由(1+,a,+,a,2,+,a,3,+,a,4,+,a,5,)(1+,b,5,),(1+,c,),5,表示.,14,17.(2013四川,8,5分)从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为,a,b,共可得到lg,a,-lg,b,的不同值的个数是,(),A.9B.10,C.18D.20,答案,Clg,a,-lg,b,=lg,从1,3,5,7,9中任取两个数分别记为,a,b,共有,=20种结果,其中lg,=lg,lg,=lg,故共可得到不同值的个数为20-2=18.故选C.,18.(2013山东,10,5分)用0,1,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为,(),A.243B.252C.261D.279,答案,B由分步乘法计数原理知:用0,1,9十个数字组成的三位数(可有重复数字)的个数为9,10,10=900,组成无重
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