2018中考数学专题复习 第十八讲 解直角三角形(共77张PPT)

第 十 八 讲解 直 角 三 角 形 一 、 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 30 45 60sin _ _ _cos _ _ _tan _ _ _12 22 3232 22 1233 31 二 、 直 角 三 角 形 中 的 边 角 关 系1.三 边 之 间 的 关 系 :_.2.两 锐 角 之 间 的 关 系 :_.3.边 角 之 间 的 关 系 :sinA=cosB=_,sinB=cosA=_,tanA=_,tanB=_. a2+b2=c2 A+ B=90ac bcab ba 三 、 解 直 角 三 角 形 的 应 用1.仰 角 和 俯 角 :如 图 1,在 同 一 铅 垂 面 内 视 线 和 水 平 线间 的 夹 角 ,视 线 在 水 平 线 _的 叫 做 仰 角 ,在 水 平 线_的 叫 做 俯 角 . 上 方下 方 2.坡 度 (坡 比 )和 坡 角 :如 图 2,通 常 把 坡 面 的 铅 直 高 度 h和 _之 比 叫 做 坡 度 (或 叫 做 坡 比 ),用 字 母 _表示 ,即 i=_;坡 面 与 _的 夹 角 叫 做 坡 角 ,记 作 .所以 i=_=tan .水 平 宽 度 l ihl 水 平 面hl 3.方 位 角 :指 北 或 指 南 的 方 向 线 与 目 标 方 向 所 成 的 小于 90 的 角 叫 做 方 位 角 . 【 自 我 诊 断 】 (打 “ ” 或 “ ” )1.三 角 形 任 意 一 个 角 的 对 边 与 邻 边 的 比 是 这 个 角 的正 切 . ( )2.在 Rt ABC中 , C=90 ,若 sinA= ,则 cosB的 值是 . ( ) 3545 3. ABC中 , A, B都 是 锐 角 ,若 sinA= ,cosB= ,则 C=90 . ( )4.若 sin(A+30 )= ,则 A=15 . ( ) 32 1232 5.如 图 ,在 下 列 网 格 中 ,小 正 方 形 的 边 长 均 为 1,点 A,B,O都 在 格 点 上 ,则 AOB的 正 弦 值 是 . ( )3 1010 6.对 应 任 意 直 角 三 角 形 的 两 个 锐 角 A,B,则 有 sin2A+sin2B=2. ( )7.坡 的 坡 度 是 坡 角 的 一 个 度 数 . ( ) 考 点 一 求 三 角 函 数 值【 示 范 题 1】 (2017 日 照 中 考 )在 Rt ABC中 , C=90 ,AB=13,AC=5,则 sinA的 值 为 ( )【 思 路 点 拨 】 根 据 勾 股 定 理 求 出 BC,根 据 正 弦 的 概 念计 算 即 可 .5 12 5 12A. B. C. D.13 13 12 5 【 自 主 解 答 】 选 B.在 Rt ABC中 ,由 勾 股 定 理 得 ,BC= =12, sinA= 2 2AB ACBC 12.AB 13 【 答 题 关 键 指 导 】 根 据 定 义 求 三 角 函 数 值 的 方 法(1)分 清 直 角 三 角 形 中 的 斜 边 与 直 角 边 .(2)正 确 地 表 示 出 直 角 三 角 形 的 三 边 长 ,常 设 某 条 直 角边 长 为 k(有 时 也 可 以 设 为 1),在 求 三 角 函 数 值 的 过 程中 约 去 k. (3)正 确 应 用 勾 股 定 理 求 第 三 条 边 长 .(4)应 用 锐 角 三 角 函 数 定 义 ,求 出 三 角 函 数 值 . 【 变 式 训 练 】1.(2017 滨 州 中 考 )如 图 ,在 ABC中 ,AC BC, ABC=30 ,点 D是 CB延 长 线 上 的 一 点 ,且 BD=BA,则tan DAC的 值 为 ( )A.2 3 B.2 3 C.3 3 D.3 3 【 解 析 】 选 A.设 AC=a,则 AB=a sin30 =2a,BC=a tan30 = a, BD=AB=2a. tan DAC= =2+ . 3 (2 3)aa3 2.(2017 怀 化 中 考 )如 图 ,在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ,点 A的 坐 标 为 (3,4),那 么 sin 的 值 是 ( )3 3 4 4A. B. C. D.5 4 5 3 【 解 析 】 选 C.作 AB x轴 于 点 B,如 图 , 点 A的 坐 标 为(3,4), OB=3,AB=4, OA= =5,在 Rt AOB中 ,sin = 2 23 4AB 4.OA 5 考 点 二 特 殊 锐 角 三 角 函 数 值 的 应 用 【 示 范 题 2】 (2017 烟 台 中 考 )在 Rt ABC中 , C=90 ,AB=2,BC= ,则 sin =_.【 思 路 点 拨 】 根 据 A的 正 弦 求 出 A=60 ,再 根 据30 的 正 弦 值 求 解 即 可 .3 A2 【 自 主 解 答 】 在 Rt ABC中 , C=90 ,AB=2,BC= , sinA= . A=60 .答 案 : 332 A 1sin .2 212 【 答 题 关 键 指 导 】 熟 记 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 的 两 种 方 法(1)按 值 的 变 化 :30 ,45 ,60 角 的 正 余 弦 的 分 母都 是 2,正 弦 的 分 子 分 别 是 余 弦 的 分 子 分 别是 正 切 分 别 是 1, 2, 3,3, 2,1, 3 ,1, 3.3 (2)特 殊 值 法 : 在 直 角 三 角 形 中 ,设 30 角 所 对 的 直 角 边 为 1,那 么三 边 长 分 别 为 1, ,2; 在 直 角 三 角 形 中 ,设 45 角 所 对 的 直 角 边 为 1,那 么三 边 长 分 别 为 1,1, ,再 根 据 锐 角 三 角 函 数 的 定 义 推导 即 可 . 3 2 【 变 式 训 练 】1.(2017 天 津 中 考 )cos60 的 值 等 于 ( )【 解 析 】 选 D.由 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 得 cos 60 =2 1A. 3 B.1 C. D.2 2 1.2 2.(2017 聊 城 中 考 )在 Rt ABC中 ,cosA= ,那 么sinA的 值 是 ( )【 解 析 】 选 B. 在 Rt ABC中 ,cosA= A=60 , sinA=sin60 = 122 3 3 1A. B. C. D.2 2 3 2 1,23.2 考 点 三 解 直 角 三 角 形 【 示 范 题 3】 (2017 广 州 中 考 )如 图 ,Rt ABC中 , C=90 ,BC=15,tanA= ,则 AB=_.158 【 思 路 点 拨 】 根 据 A的 正 切 求 出 AC,再 利 用 勾 股 定 理列 式 计 算 即 可 得 解 . 【 自 主 解 答 】 Rt ABC中 , C=90 ,tanA= ,BC=15, ,解 得 AC=8,根 据 勾 股 定 理 得 ,AB= =17.答 案 :17 15815 15AC 8 2 2 2 2AC BC 8 15 【 答 题 关 键 指 导 】 解 直 角 三 角 形 的 类 型 及 方 法(1)已 知 斜 边 和 一 个 锐 角 (如 c, A),其 解 法 : B=90- A,a=csinA,b=ccosA(或 b= ).(2)已 知 一 直 角 边 和 一 个 锐 角 (如 a, A),其 解 法 : B=90 - A, 2 2c a 2 2a ac ,b ( b c a ).sin A tan A 或 (3)已 知 斜 边 和 一 直 角 边 (如 c,a),其 解 法 :由 sinA= ,求 出 A, B=90 - A.(4)已 知 两 条 直 角 边 a和 b,其 解 法 :c= 由 tanA= 得 A, B=90 - A. 2 2b c a ，ac 2 2a b ，ab 【 变 式 训 练 】(2017 安 顺 中 考 )如 图 , O的 直 径 AB=4,BC切 O于 点B,OC平 行 于 弦 AD,OC=5,则 AD的 长 为 ( )6 8 7 2 3A. B. C. D.5 5 5 5 【 解 析 】 选 B.连 接 BD. AB是 直 径 , ADB=90 . OC AD, A= BOC, cos A=cos BOC. BC切 O于 点 B, OB BC, cos BOC= cos A=cos BOC= .OB 2OC 5 ， 25 又 cos A= ,AB=4, AD= . ADAB85 考 点 四 解 直 角 三 角 形 的 应 用 【 考 情 分 析 】 利 用 解 直 角 三 角 形 解 决 实 际 问 题 是 各 地中 考 的 热 点 ,这 一 类 题 题 型 通 常 以 解 答 题 为 主 ,利 用 直角 三 角 形 求 物 体 的 高 度 (宽 度 ),解 决 航 海 问 题 等 .命 题 角 度 1:利 用 直 角 三 角 形 解 决 和 高 度 (或 宽 度 )有 关的 问 题 【 示 范 题 4】 (2017 菏 泽 中 考 )如 图 ,某小 区 1号 楼 和 11号 楼 隔 河 相 望 ,李 明 家 住在 1号 楼 ,他 很 想 知 道 11号 楼 的 高 度 ,于是 他 做 了 一 些 测 量 ,他 先 在 B点 测 得 C点 的 仰 角 为 60 ,然 后 到 42米 高 的 楼 顶 A处 ,测 得 C点 的 仰 角 为 30 ,请 你帮 李 明 计 算 11号 楼 的 高 度 CD. 【 思 路 点 拨 】 过 点 A作 AE CD于 点 E,在 Rt BCD中 ,用三 角 函 数 表 示 出 CD,在 Rt ACE中 ,用 三 角 函 数 表 示 出CE,根 据 AB=CD-CE列 式 求 出 BD,进 而 求 出 CD. 【 自 主 解 答 】 过 点 A作 AE CD于 点 E, 在 Rt BCD中 ,tan CBD=所 以 CD=BD tan60 = BD,在 Rt ACE中 ,tan CAE= ,所 以 CE=BD tan30 = AB=CD-CE=解 得 BD= CD=BD tan60 = BD=63m.答 :11号 楼 的 高 度 CD为 63m.CDBD，3CEBD 3 BD3 ，3 2 33BD BD 42 BD 423 3 ， ，21 3， 3 命 题 角 度 2:利 用 直 角 三 角 形 解 决 航 海 问 题【 示 范 题 5】 (2017 天 津 中 考 )如 图 ,一 艘 海 轮 位 于 灯塔 P的 北 偏 东 64 方 向 ,距 离 灯 塔 120海 里 的 A处 ,它 沿正 南 方 向 航 行 一 段 时 间 后 ,到 达 位 于 灯 塔 P的 南 偏 东45 方 向 上 的 B处 ,求 BP和 BA的 长 (结 果 取 整 数 ). 参 考 数 据 :sin 64 0.90,cos 64 0.44,tan 64 2.05, 取 1.414.2 【 思 路 点 拨 】 过 点 P作 PC AB,垂 足 为 点 C,由 题 意 可知 , A=64 , B=45 ,PA=120,在 Rt APC中 ,求 得PC,AC的 长 ;在 Rt BPC中 ,求 得 BP,BC的 长 ,即 可 得 BA的长 . 【 自 主 解 答 】 如 图 ,过 点 P作 PC AB,垂 足 为 点 C.由 题 意 可 知 , A=64 , B=45 ,PA=120.在 Rt APC中 ,sinA= ,cosA= , PC=PA sinA=120 sin 64 ,AC=PA cosA=120 cos64 .PCPA ACPA 在 Rt BPC中 , BP=BC= =PC=120 sin 64 . BA=BC+AC=120 sin 64 +120 cos64 120 0.90+120 0.44 161.答 :BP的 长 约 为 153海 里 ,BA的 长 约 为 161海 里 .PC PCsin B ,tan B ,BP BC PC 120 sin 64 120 0.90 153,sin B sin 45 22 PC PCtan B tan 45 命 题 角 度 3:利 用 直 角 三 角 形 解 决 坡 度 问 题【 示 范 题 6】 (2017 海 南 中 考 )为 做 好 防 汛 工 作 ,防 汛指 挥 部 决 定 对 某 水 库 的 水 坝 进 行 加 高 加 固 ,专 家 提 供的 方 案 是 :水 坝 加 高 2米 (即 CD=2米 ),背 水 坡 DE的 坡 度i=1 1(即 DB EB=1 1),如 图 所 示 ,已 知 AE=4米 , EAC=130 ,求 水 坝 原 来 的 高 度 BC. (参 考 数 据 :sin50 0.77,cos50 0.64, tan50 1.2) 【 思 路 点 拨 】 设 BC=x米 ,用 x表 示 出 AB的 长 ,利 用 坡 度的 定 义 得 到 BD=BE,进 而 列 出 方 程 ,求 出 x的 值 即 可 . 【 自 主 解 答 】 设 BC=x米 ,在 Rt ABC中 , CAB=180 - EAC=50 ,在 Rt EBD中 , i=DB EB=1 1,BC BC 5BC 5AB xtan 50 1.2 6 6 ， BD=BE, CD+BC=AE+AB,即 2+x=4+ x,解 得 x=12,即 BC=12,答 :水 坝 原 来 的 高 度 为 12米 .56 命 题 角 度 4:利 用 直 角 三 角 形 解 决 实 际 问 题【 示 范 题 7】 (2017 德 州 中 考 )如 图 所 示 ,某 公 路 检 测中 心 在 一 事 故 多 发 地 段 安 装 了 一 个 测 速 仪 器 ,检 测 点设 在 距 离 公 路 10m的 A处 ,从 B处 行 驶 到 C处 所 用 时 间 为0.9秒 .已 知 B=30 , C=45 . (1)求 B,C之 间 的 距 离 .(保 留 根 号 )(2)如 果 此 地 限 速 为 80km/h,那 么 这 辆 汽 车 是 否 超 速 ?请 说 明 理 由 .(参 考 数 据 : 1.7, 1.4)3 2 【 思 路 点 拨 】 (1)过 点 A作 AD BC于 点 D,利 用 B=30 , C=45 ,AD=10,求 出 BD,DC的 长 ,从 而 得 出BC的 长 .(2)利 用 1.7, 1.4,求 出 BC的 长 ,再 求 出 汽 车速 度 ,与 限 速 比 较 ,判 断 是 否 超 速 .3 2 【 自 主 解 答 】(1)如 图 ,过 点 A作 AD BC于 点 D,则 AD=10m. 在 Rt ACD中 , C=45 , Rt ACD是 等 腰 直 角 三 角 形 . CD=AD=10m. 在 Rt ABD中 ,tanB= B=30 , . BD=10 m. BC=BD+DC=(10 +10)m.答 :B,C之 间 的 距 离 是 (10 +10)m. 33 3ADBD，3 103 BD (2)这 辆 汽 车 超 速 .理 由 如 下 :由 (1)知 BC=(10 +10)m,又 1.7, BC 27m. 汽 车 速 度 v= =30(m/s).又 30m/s=108km/h,此 地 限 速 为 80km/h, 10880, 这 辆 汽 车 超 速 .答 :这 辆 汽 车 超 速 .3 3270.9 【 答 题 关 键 指 导 】 解 决 解 直 角 三 角 形 的 实 际 问 题 ,有 图 的 要 先 将 题 干 中的 已 知 量 在 图 中 表 示 出 来 ,再 根 据 以 下 方 法 和 步 骤 解决(1)根 据 题 目 中 的 已 知 条 件 ,将 实 际 问 题 抽 象 为 解 直 角三 角 形 的 数 学 问 题 ,画 出 平 面 几 何 图 形 ,弄 清 已 知 条 件中 各 量 之 间 的 关 系 . (2)若 三 角 形 是 直 角 三 角 形 ,根 据 边 角 关 系 进 行 计 算 ,若 三 角 形 不 是 直 角 三 角 形 ,可 通 过 添 加 辅 助 线 构 造 直角 三 角 形 来 解 决 .解 直 角 三 角 形 的 实 际 应 用 问 题 关 键是 要 根 据 实 际 情 况 建 立 数 学 模 型 ,正 确 画 出 图 形 找 准三 角 形 . 【 变 式 训 练 】1.(2017 烟 台 中 考 )如 图 ,数 学 实 践 活 动 小 组 要 测 量学 校 附 近 楼 房 CD的 高 度 ,在 水 平 地 面 A处 安 置 测 倾 器 测得 楼 房 CD顶 部 点 D的 仰 角 为 45 ,向 前 走 20米 到 达 A处 ,测 得 点 D的 仰 角 为 67.5 .已 知 测 倾 器 AB的 高 度 为1.6米 ,则 楼 房 CD的 高 度 约 为 (结 果 精 确 到 0.1米 , tan67.5 2.414) ( ) A.34.14米 B.34.1米 C.35.7米 D.35.74米 【 解 析 】 选 C.连 接 BB 并 延 长 交 DC于 点 C ,则 BC = B C = BB =BC -B C , =20.解 得 DC 34.14. DC 34.14+1.6 35.7.DCtan 45， DC .tan 67.5 DC DCtan 45 tan 67.5 2.(2017 重 庆 中 考 A卷 )如 图 ,小 王 在 长 江 边 某 瞭 望 台D处 ,测 得 江 面 上 的 渔 船 A的 俯 角 为 40 ,若 DE=3米 , CE=2米 ,CE平 行 于 江 面 AB,迎 水 坡 BC的 坡 度 i=1 0.75,坡 长 BC=10米 ,则 此 时 AB的 长 约 为 ( )(参 考 数 据 :sin40 0.64,cos40 0.77, tan40 0.84) A.5.1米 B.6.3米 C.7.1米 D.9.2米 【 解 析 】 选 A.如 图 ,延 长 DE交 AB延 长 线 于 点 P,作CQ AP于 点 Q, CE AP, DP AP, 四 边 形 CEPQ为 矩 形 , CE=PQ=2,CQ=PE, i= 设 CQ=4x,BQ=3x,由 BQ2+CQ2=BC2可 得 (4x)2+(3x)2=102,解 得 :x=2或 x=-2(舍 ),则 CQ=PE=8,BQ=6,CQ 1 4BQ 0.75 3 ， DP=DE+PE=11,在 Rt ADP中 , AP= 13.1, AB=AP-BQ-PQ 13.1-6-2=5.1.DP 11tan A tan 40 3.(2017 德 阳 中 考 )如 图 所 示 ,某 拦 水 大 坝 的 横 断 面为 梯 形 ABCD,AE,DF为 梯 形 的 高 ,其 中 迎 水 坡 AB的 坡 角 =45 ,坡 长 AB=6 米 ,背 水 坡 CD的 坡 度 I=1 (I为 DF与 FC的 比 值 ),则 背 水 坡 的 坡 长 为 _米 .2 3 【 解 析 】 在 等 腰 直 角 ABE中 ,AB=6 ,AE=DF=6,由 坡度 知 DCF=30 ,则 CD=2DF=12.答 案 :12 2 4.(2017 青 岛 中 考 )如 图 ,C地 在 A地 的 正 东 方 向 ,因 有大 山 阻 隔 ,由 A地 到 C地 需 绕 行 B地 .已 知 B地 位 于 A地 北偏 东 67 方 向 ,距 离 A地 520km,C地 位 于 B地 南 偏 东 30方 向 .若 打 通 穿 山 隧 道 ,建 成 两 地 直 达 高 铁 ,求 A地 到 C地 之 间 高 铁 线 路 的 长 .(结 果 保 留 整 数 ) (参 考 数 据 :sin 67 ,cos 67 ,tan 67 , 1.73) 1213 513125 3 【 解 析 】 如 图 ,作 BD AC于 点 D, 在 Rt ABD中 , ABD=67 ,sin 67 = AD AB=480(km),cos 67 = , BD AB=200(km),在 Rt BCD中 , CBD=30 ,AD 12AB 13 ，1213 BD 5AB 13 513 tan 30 = , CD= BD 115(km), AC=CD+DA 595(km),答 :AC之 间 的 距 离 约 为 595km.CD 3BD 3 33 5.(2017 临 沂 中 考 )如 图 ,两 座 建 筑 物 的 水 平 距 离BC=30m,从 A点 测 得 D点 的 俯 角 为 30 ,测 得 C点 的 俯角 为 60 ,求 这 两 座 建 筑 物 的 高 度 . 【 解 析 】 过 A作 AE CD的 延 长 线 于 点 E,则 四 边 形 ABCE是 矩 形 ,AE=BC=30,AB=CE, 在 Rt ADE中 , E=90 , DAE=30 , DE=AEtan 30 =30 =10 ,AD=2DE=20 , CAE=60 , CAD=60 -30 =30 , ACE=90 -60 =30 , CAD= ACE, CD=AD=20 , AB=CE=DE+CD=10 +20 =30 .答 :这 两 座 建 筑 物 的 高 度 分 别 是 30 m,20 m.33 3 33 3 3 33 3 6.(2017 长 沙 中 考 )为 了 维 护 国 家 主 权 和 海 洋 权 力 ,海 监 部 门 对 我 国 领 海 实 现 了 常 态 化 巡 航 管 理 .如 图 ,正在 执 行 巡 航 任 务 的 海 监 船 以 每 小 时 50海 里 的 速 度 向 正东 方 航 行 ,在 A处 测 得 灯 塔 P在 北 偏 东 60 方 向 上 ,继 续航 行 1小 时 到 达 B处 ,此 时 测 得 灯 塔 P在 北 偏 东 30 方 向上 . (1)求 APB的 度 数 .(2)已 知 在 灯 塔 P的 周 围 25海 里 内 有 暗 礁 ,问 海 监 船 继续 向 正 东 方 向 航 行 是 否 安 全 ? 【 解 析 】 (1)在 APB中 , PAB=30 , ABP=120 , APB=180 -30 -120 =30 .(2)只 需 算 出 航 线 与 P点 的 最 近 距 离 为 多 少 即 可 .过 点 P作 PH AB延 长 线 于 点 H,在 Rt APH中 , PAH=30 ,AH= PH,3 在 Rt BPH中 , PBH=60 ,BH= PH, AB=AH-BH= PH=50,算 出 PH=25 25,所 以 海 监 船 不 会 进 入 暗 礁 区 ,继 续航 行 仍 然 安 全 . 332 333