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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2018-01,*,第十二节,(,一,),导数的应用,上海新王牌教育,1,2018-01,主干知识梳理,一、函数的单调性,在,(,a,，,b,),内可导函数,f,(,x,),，,f,(,x,),在,(,a,，,b,),任意子区间内都不恒等于,0.,f,(,x,),0,f,(,x,),在,(,a,，,b,),上为,f,(,x,),0,f,(,x,),在,(,a,，,b,),上为,增函数,减函数,2,2018-01,二、函数的极值,1,函,数的极小值：,函数,y,f,(,x,),在点,x,a,的函数值,f,(,a,),比它在点,x,a,附近其它点的函数值都小，,f,(,a,),0,，而且在点,x,a,附近的左侧,，右侧,，则点,a,叫做函数,y,f,(,x,),的极小值点，,f,(,a,),叫做函数,y,f,(,x,),的极小值,f,(,x,),0,f,(,x,),0,3,2018-01,2,函数的极大值：,函数,y,f,(,x,),在点,x,b,的函数值,f,(,b,),比它在点,x,b,附近的其他点的函数值都大，,f,(,b,),0,，而且在点,x,b,附近的左侧,，右侧,，则点,b,叫做函数,y,f,(,x,),的极大值点，,f,(,b,),叫做函数,y,f,(,x,),的极大值,极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值,f,(,x,),0,f,(,x,),0,4,2018-01,三、函数的最值,1,在,闭区间,a,，,b,上连续的函数,f,(,x,),在,a,，,b,上必有最大值与最小值,2,若函数,f,(,x,),在,a,，,b,上单调递增，则,为函数的最小值，,为函数的最大值；若函数,f,(,x,),在,a,，,b,上单调递减，则,为函数的最大值，,为函数的最小值,f,(,a,),f,(,b,),f,(,a,),f,(,b,),5,2018-01,基础自测自评,1,(,教材习题改编,),若,函数,f,(,x,),x,3,ax,2,3,x,9,在,x,3,时取得极值，则,a,等于,(,),A,2,B,3,C,4 D,5,D,f,(,x,),3,x,2,2,ax,3,，,f,(,3),0,，,a,5.,6,2018-01,2,(2013,浙江高考,),已,知函数,y,f,(,x,),的图象是下列四个图象之一，且其导函数,y,f,(,x,),的图象如右图所示，则该函数的图象是,(,),7,2018-01,8,2018-01,B,由导函数图象知，函数,f,(,x,),在,1,，,1,上为增函数,当,x,(,1,，,0),时,f,(,x,),由小到大，则,f,(,x,),图象的增长趋势由缓到快，当,x,(0,，,1),时,f,(,x,),由大到小，则,f,(,x,),的图象增长趋势由快到缓，故选,B.,9,2018-01,3,(2012,陕西高考,),设函数,f,(,x,),x,e,x,，则,(,),A,x,1,为,f,(,x,),的极大值点,B,x,1,为,f,(,x,),的极小值点,C,x,1,为,f,(,x,),的极大值点,D,x,1,为,f,(,x,),的极小值点,D,求导得,f,(,x,),e,x,x,e,x,e,x,(,x,1),，令,f,(,x,),e,x,(,x,1),0,，,解得,x,1,，易知,x,1,是函数,f,(,x,),的极小值点,10,2018-01,11,2018-01,5,已知,a,0,，函数,f,(,x,),x,3,ax,在,1,，,),上是单调增函数，则,a,的最大值是,_,解析,f,(,x,),3,x,2,a,在,x,1,，,),上,f,(,x,),0,，,则,f,(1),0,a,3.,答案,3,12,2018-01,关键要点点拨,1,f,(,x,)0,与,f,(,x,),为增函数的关系：,f,(,x,)0,能推出,f,(,x,),为增函数，但反之不一定如函数,f,(,x,),x,3,在,(,，,),上单调递增，但,f,(,x,),0,，所以,f,(,x,)0,是,f,(,x,),为增函数的充分不必要条件,2,可导函数的极值点必须是导数为,0,的点，但导数为,0,的点不一定是极值点，即,f,(,x,0,),0,是可导函数,f,(,x,),在,x,x,0,处取得极值的必要不充分条件例如函数,y,x,3,在,x,0,处有,y,|,x,0,0,，但,x,0,不是极值点此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点,13,2018-01,3,可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较,14,2018-01,运用导数解决函数的单调性问题,15,2018-01,16,2018-01,17,2018-01,规律方法,求可导函数单调区间的一般步骤和方法,(1),确定函数,f,(,x,),的定义域；,(2),求,f,(,x,),，令,f,(,x,),0,，求出它在定义域内的一切实数根；,(3),把函数,f,(,x,),的间断点,(,即,f,(,x,),的无定义点,),的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数,f,(,x,),的定义区间分成若干个小区间；,(4),确定,f,(,x,),在各个开区间内的符号，根据,f,(,x,),的符号判定函数,f,(,x,),在每个相应小开区间内的增减性,18,2018-01,跟踪训练,1,已,知,a,R,，函数,f,(,x,),(,x,2,ax,)e,x,(,x,R,，,e,为自然对数的底数,),(1),当,a,2,时，求函数,f,(,x,),的单调递增区间；,(2),是否存在,a,使函数,f,(,x,),为,R,上的单调递减函数，若存在，求出,a,的取值范围；若不存在，请说明理由,19,2018-01,20,2018-01,(2),若函数,f,(,x,),在,R,上单调递减，,则,f,(,x,),0,对,x,R,都成立，,即,x,2,(,a,2),x,a,e,x,0,对,x,R,都成立,e,x,0,，,x,2,(,a,2),x,a,0,对,x,R,都成立,(,a,2),2,4,a,0,，,即,a,2,4,0,，这是不可能的,故不存在,a,使函数,f,(,x,),在,R,上单调递减,21,2018-01,运用导数解决函数的极值问题,22,2018-01,23,2018-01,24,2018-01,25,2018-01,26,2018-01,27,2018-01,28,2018-01,规律方法,求函数极值的步骤,(1),确定函数的定义域；,(2),求方程,f,(,x,),0,的根；,(3),用方程,f,(,x,),0,的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格；,(4),由,f,(,x,),0,根的两侧导数的符号来判断,f,(,x,),在这个根处取极值的情况,29,2018-01,30,2018-01,31,2018-01,(2),由,(1),知,f,(,x,),2,x,3,3,x,2,12,x,1,，,所以,f,(,x,),6,x,2,6,x,12,6(,x,1)(,x,2),，,令,f,(,x,),0,，即,6(,x,1)(,x,2),0,，解得,x,2,或,x,1,，,当,x,(,，,2),时，,f,(,x,)0,，,即,f,(,x,),在,(,，,2),上单调递增；,当,x,(,2,，,1),时，,f,(,x,)0,，,即,f,(,x,),在,(1,，,),上单调递增,从而函数,f,(,x,),在,x,2,处取得极大值,f,(,2),21,，,在,x,1,处取得极小值,f,(1),6.,32,2018-01,典题导入,已,知函数,f,(,x,),(,x,k,)e,x,.,(1),求,f,(,x,),的单调区间；,(2),求,f,(,x,),在区间,0,，,1,上的最小值,运用导数解决函数的最值问题,33,2018-01,34,2018-01,所以，,f,(,x,),的单调递减区间是,(,，,k,1),；单调递增区间是,(,k,1,，,),(2),当,k,1,0,，即,k,1,时，函数,f,(,x,),在,0,，,1,上单调递增，所以,f,(,x,),在区间,0,，,1,上的最小值为,f,(0),k,；,当,0,k,11,，即,1,k,2,时，,由,(1),知,f,(,x,),在,0,，,k,1),上单调递减，在,(,k,1,，,1,上单调递增，,所以,f,(,x,),在区间,0,，,1,上的最小值为,f,(,k,1),e,k,1,；,当,k,1,1,时，即,k,2,时，函数,f,(,x,),在,0,，,1,上单调递减，,所以,f,(,x,),在区间,0,，,1,上的最小值为,f,(1),(1,k,)e.,35,2018-01,互动探究,本题条件不变，求,f,(,x,),在区间,0,，,1,上的最大值,解析,当,k,1,0,，即,k,1,时，函数,f,(,x,),在,0,，,1,上单调递增,所以,f,(,x,),在,0,，,1,上的最大值为,f,(1),(1,k,)e.,当,0,k,11,，即,1,k,2,时，,36,2018-01,37,2018-01,38,2018-01,规律方法,求函数,f,(,x,),在,a,，,b,上的最大值和最小值的步骤,(1),求函数在,(,a,，,b,),内的极值；,(2),求函数在区间端点的函数值,f,(,a,),，,f,(,b,),；,(3),将函数,f,(,x,),的各极值与,f,(,a,),，,f,(,b,),比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值,39,2018-01,跟踪训练,3,(2013,浙江高考,),已,知,a,R,，函数,f,(,x,),2,x,3,3(,a,1),x,2,6,ax,.,(1),若,a,1,，求曲线,y,f,(,x,),在点,(2,，,f,(2),处的切线方程；,(2),若,|,a,|,1,，求,f,(,x,),在闭区间,0,，,2|,a,|,上的最小值,40,2018-01,解析,(1),当,a,1,时，,f,(,x,),6,x,2,12,x,6,，所以,f,(2),6.,又因为,f,(2),4,，所以切线方程为,y,6,x,8.,(2),记,g,(,a,),为,f,(,x,),在闭区间,0,，,2|,a,|,上的最小值,f,(,x,),6,x,2,6(,a,1),x,6,a,6(,x,1)(,x,a,),令,f,(,x,),0,，得到,x,1,1,，,x,2,a,.,当,a,1,时，,41,2018-01,x,0,(0,，,1),1,(1,，,a,),a,(,a,，,2,a,),2,a,f,(,x,),0,0,f,(,x,),0,单调,递增,极大值,3,a,1,单调,递减,极小值,a,2,(3,a,),单调,递增,4,a,3,42,2018-01,x,0,(0,，,1),1,(1,，,2,a,),2,a,f,(,x,),0,f,(,x,),0,单调,递减,极小值,3,a,1,单调,递增,28,a,3,24,a,2,43,2018-01,(,理,),(2013,浙江高考,),已,知,a,R,，函数,f,(,x,),x,3,3,x,2,3,ax,3,a,3.,(1),求曲线,y,f,(,x,),在点,(1,，,f,(1),处的切线方程；,(2),当,x,0,，,2,时，求,|,f,(,x,)|,的最大值,【创新探究】分类讨论思想在导数中的应用,44,2018-01,【思路导析】,(1),求出,f,(1),与,f,(1),，写出切线方程,y,f,(1),f,(1)(,x,1);,(2),通过利用导数研究函数,y,f,(,x,),在,0,，,2,上的单调情况求,|,f,(,x,)|,的最大值，注意对参数,a,分类讨论,【解析】,(1),由题意得,f,(,x,),3,x,2,6,x,3,a,，,故,f,(1),3,a,3.,又,f,(1),1,，所以所求的切线方程为,y,(3,a,3),x,3,a,4.,45,2018-01,46,2018-01,列表如下：,x,0,(0,，,x,1,),x,1,(,x,1,，,x,2,),x,2,(,x,2,，,2),2,f,(,x,),0,0,f,(,x,),3,3,a,单调,递增,极大值,f,(,x,1,),单调,递减,极小值,f,(,x,2,),单调,递增,3,a,1,47,2018-01,48,2018-01,49,2018-01,50,2018-01,51,2018-01,(,文,),(2012,山东高考,),已知函数,f,(,x,),ax,2,bx,ln,x,(,a,，,b,R,),(1),设,a,0,，求,f,(,x,),的单调区间；,(2),设,a,0,，且对任意,x,0,，,f,(,x,),f,(1),试比较,ln,a,与,2,b,的大小,【思路导析】,第一问中函数,f,(,x,),ax,2,bx,ln,x,的单调区间需利用导数来解决，需要对,a,，,b,进行分类讨论第二问要根据已知条件和第一问的知识储备，构造新的函数利用单调性来解决,52,2018-01,53,2018-01,54,2018-01,55,2018-01,56,2018-01,57,2018-01,58,2018-01,【高手支招】,对含有参数的函数在研究其单调区间、极值与最值时，应特别注意参数的不同取值对导数值符号的影响，不确定时要对参数进行分类讨论分类时要做到不重不漏，同时还要注意必须是在函数的定义域内求解,59,2018-01,体验高考,(,理,),(2013,福建高考,),已,知函数,f,(,x,),x,a,ln,x,(,a,R,),(1),当,a,2,时，求曲线,y,f,(,x,),在点,A,(1,，,f,(1),处的切线方程；,(2),求函数,f,(,x,),的极值,60,2018-01,61,2018-01,62,2018-01,当,x,(,a,，,),时，,f,(,x,),0,，,从而函数,f,(,x,),在,x,a,处取得极小值，且极小值为,f,(,a,),a,a,ln,a,，无极大值,综上，当,a,0,时，函数,f,(,x,),无极值；,当,a,0,时，函数,f,(,x,),在,x,a,处取得极小值,a,a,ln,a,，无极大值,63,2018-01,(,文,),(2013,广东高考,),设函数,f,(,x,),x,3,kx,2,x,(,k,R,),(1),当,k,1,时，求函数,f,(,x,),的单调区间；,(2),当,k,0,时，求函数,f,(,x,),在,k,，,k,上的最小值,m,和最大值,M,.,64,2018-01,解析,(1),当,k,1,时，,f,(,x,),x,3,x,2,x,，,f,(,x,),3,x,2,2,x,1.,方程,3,x,2,2,x,1,0,的判别式,4,4,3,8,0,，,f,(,x,),0,恒成立,f,(,x,),的单调递增区间为,(,，,),(2),当,k,0,时，,f,(,x,),3,x,2,2,kx,1,，,方程,3,x,2,2,kx,1,0,的判别式,4,k,2,4,3,4(,k,2,3),，,65,2018-01,66,2018-01,67,2018-01,68,2018-01,69,2018-01,70,2018-01,课时作业,71,2018-01,
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