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,第六节,定积分的几何应用,引 从定积分的定义可知，定积分可以用于求解曲边梯形的面积,.,那么定积分在几何上还有其它方面的应用吗？定积分应用的一般方法和步骤是什么呢？,一、微元法,微元法也称微元分析法,它是定积分应用的基础,给出了用定积分方法解决各种求和问题的一般方法,.,定积分作为一种数学方法,研究的是某些量的计算问题,.,记所研究的量为,Q,量,Q,如果符合下列条件,:,(1),Q,是与一个变量,x,的变化区间,a,b,有关的量,;,(2),Q,对于区间,a,b,具有可加性,也就是说,如果把区间,a,b,分成许多部分区间,则,Q,相应地分成许多部分量,而,Q,等于所有部分量之和,;,(3),Q,=,d,Q,(,x,)+,o,(,x,).,则整体量,微元法或微元分析法遵循如下三个步骤,:,第一步,:,确定整体量,Q,的变化区间,比如,Q,(,x,),的变化区间为,a,b,.,第二步,:,对具有可加性的,Q,(,x,),考察增量,Q,(,x,),如能写成,Q,(,x,)=,d,Q,(,x,)+,o,(,x,).,第三步,:,求出整体量,Q,即,由于第二步考证比较复杂,在以后的讨论中,一般略去这一步,.,二、平面图形的面积,由定积分的几何意义知,在区间,a,b,上,当,f,(,x,),0,时,由连续曲线,y,=,f,(,x,),直线,x,=,a,x,=,b,与,x,轴所围成的曲边梯形的面积为,其中被积表达式,f,(,x,),dx,是直角坐标系下的面积元素,它表示高为,f,(,x,),底为,dx,的小矩形面积,见图,5-7.,y,=,f,(,x,),f,(,x,),x,y,a,x x+,dx,b,O,dA,一般地,平面图形以连续曲线,y,=,f,(,x,),与,y,=,g,(,x,),为上下曲边的曲边形的面积元素为,dA,=,f,(,x,),g,(,x,),dx,.,这样,由,x,=,a,x,=,b,y,=,f,(,x,),和,y,=,g,(,x,),所围图形,(,如图,5 8),的面积为,y,=,f,(,x,),x,y,a,x x+,dx,b,O,y,=,g,(,x,),类似地,若平面图形由连续曲线,x,=,(,y,),与,x,=,(,y,),及直线,y=c,y=d,围成,见图,5 8,则其面积为,x,=,(,y,),x,=,(,y,),O,x,y,c,d,y,y+,dy,例,1,求由曲线,y,=,x,2,与,y,=2,x,2,所围成的平面图形的面积,.,解 解方程组,求得两抛物线的交点,为,(,1,1),(1,1),故所求平面图形,(,如图,5 10),的面积为,(1,1),(-1,1),O,x,y,1,-1,y,=,x,2,y,=2-,x,2,x,x+dx,例,2,求由抛物线,y,2,=2,x,及直线,y,=,x,4,所围图形的面积,.,解 解方程组,得交点为,(,2,2),(8,4),见图,5 11.,故所求平面图形的面积为,y,y,2,=2,x,y,=,x,-4,(8,4),(-2,2),4,-2,O,x,y,y+,dy,以,y,为积分变量,则,y,-2,4,面积元素为,例,3,求椭圆,所围成区域的面积,.,解 椭圆关于坐标轴对称,见图,5 12,y,O,x,x x+,dx,b,a,它在第一象限部分面积的,4,倍,因此,所求面积为,三、旋转体的体积,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体,这条直线叫做旋转轴,.,由连续曲线,y,=,y,(,x,),直线,x,=,a,x,=,b,及,x,轴所围成的曲边梯形绕,x,轴旋转一周所得的旋转体的体积可用定积分计算,.,以,x,为积分变量,x,a,b,取,x,x,+,dx,a,b,在,x,x,+,dx,上立体的体积可以近似看成以,y,(,x,),为底面,y,O,x,x,x+dx,y=f,(,x,),a,b,元素为,dV,=,f,(,x,)2,dx,.,旋转体的体积为,半径,高为,d,x,的小圆柱体的体积,见图,5-17,则体积,类似地,如果旋转体是由连续曲线,x,=,(,y,),直线,y,=,c,y,=,d,及,y,轴所围成的曲边梯形绕,y,轴旋转,y,O,x,d,x,=,(,y,),一周而成的立体,见图,5 18,则体积为,例,4,计算由椭圆,所围成的图形,绕,x,轴旋转一周而成的旋转体的体积,.,解 这个旋转体可以看成由半个椭圆,而成的立体,见图,5-19,及,x,轴围成的图形绕,x,轴旋转一周,图,5-19,y,O,x,x,x+dx,a,b,特殊地,当,a,=,b,时,得球的体积,例,5,求曲线,y,=sin,x,(0,x,),及,x,轴所围成的图形绕,y,轴旋转所成的旋转体的体积,.,解 选,y,为积分变量,则平面图形必定是与,y,轴围成的,.,因此,曲线弧,y,=sin,x,(0,x,),必须分成左、右两条曲线弧,其方程分别表示成,x,=,arcsin,y,x,=,arcsin,y,见图,.,图,5-20,y,O,x,/2,C,B,x,=,-,arcsin,y,x,=,arcsin,y,A,所得旋转体的体积可以看成平面图形,OABC,和,OBC,分别绕,y,轴旋转所成的旋转体的体积之差,.,利用旋转体的体积公式得,由曲线,y,=,f,(,x,),直线,x,=,a,x,=,b,及,x,轴所围成的曲边梯形绕,y,轴旋转所成的旋转体的体积的计算还可以从另一个角度考虑,.,取,x,x,+,dx,a,b,以,x,x,+,dx,为底,y,=,f,(,x,),为曲边的小曲边梯形绕,y,轴旋转可以近似看成两个圆柱体的体积差,y,x,a,y,=,f,(,x,),x,x+dx,b,设,f,(,x,),0,以,x,为积分变量,x,a,b,如图,即,(,x,+d,x,),2,f,(,x,)-(d,x,),2,f,(,x,)=2,x f,(,x,)d,x,-,f,(,x,)(d,x,),2,.,利用上述公式计算例,5,则有,上式中后一项是前一项关于,d,x,的高阶无穷小,因此体积元素为,dV,=2,s f,(,x,),dx,.,旋转体的体积为,
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