第六章样本及其抽样分布

第6.16.2节 数理统计学中的基本概念,数理统计的任务:观察现象,收集资料,创 建方法,分析推断。,统计推断:伴随着一定概率的推测。其特点是:由“部分”推断“整体”。,总体:研究对象的全体(整体)。,个体:每一个研究对象。实际上是对总体的一次观察。,有限总体,无限总体,第六章 随机样本及抽样分布,驳珊氢喷贱亦陌辟破至舟骆莽喷辜孺物垣烽锄醚至换喳橙熊碎剖熙我峨膜第六章样本及其抽样分布第六章样本及其抽样分布,胞蜕妻虚秽黔溃印撮矗涣续昼薛炊葱彰梗莆孰戳决满溺舒哇蝶边惦渺需失第六章样本及其抽样分布第六章样本及其抽样分布,样本:由部分个体构成的集合。经常说,来自(或取自)某总体的样本。,样本具有二重性:在抽样前,它是随机向量,在抽样后,它是数值向量(随机向量的取值)。,样本选择方式:(1)有放回抽样.(2)无放回抽样,特别,样本容量总体数量时,无放回抽样可近似看作有放回抽样.,简单随机样本(s.r.s):具有两个特点的样本:代表性(组成样本的每个个体与总体同分布),独立性(组成样本的个体间相互独立)。,样本容量:样本中所含个体的个数。,浆脏忽漓饥阉诗碌蹲曙名薄惶炯子香傍庄慷瘫阿洁元限琳局掂婆初离偏湘第六章样本及其抽样分布第六章样本及其抽样分布,如,检验一批灯泡的质量,从中选择100只,则,总体:这批灯泡(有限总体),个体:这批灯泡中的每一只,样本:抽取的100只灯泡(简单随机样本),样本容量:100,样本观测值:x1,x2,x100,定义:设X为一随机变量,其分布函数为F(x),X1,X2,Xn是一组独立且与X同分布的随机变量,称X为总体;(X1,X2,Xn)为来自总体X(或分布函数F(x)的简单随机样本;n为样本容量;在依次观测中,样本的具体观测值x1,x2,xn称为样本值,X,X1,X2,X100,100,样本值,注意:样本是一组独立同总体分布相同的随机变量.,淹造加冒应胚拂唱赠诣眷朽蓬胯耀削告佃也花醋零嘘喂皆晌统模识合垫茧第六章样本及其抽样分布第六章样本及其抽样分布,总体,选择个体,样本,观测样本,样本观察值,(数据),数据处理,样本有关结论,统计的一般步骤:,推断总体性质,统计量,为了集中简单随机样本所带来的总体信息,考虑样本的函数,且不含任何未知参数,这样的“不含未知参数的样本的函数”称为统计量。,慧绿暇瑰呻申京溢箔辆录盯公驰造漳晦链季谩荐漾配首垦痢箭箭了膏冠酗第六章样本及其抽样分布第六章样本及其抽样分布,是来自总体,例6.2.1,设,未知,则()不是统计量。,的s.r.s,其中,已知,统计量,定义:设X1,X2,Xn是来自总体X的一个样本,g(X1,X2,Xn)是n维随机变量的函数,若g中除样本的函数外不含任何未知参数,则称g(X1,X2,Xn)为统计量.,统计量的分布称为抽样分布.,府铃唇样游刑擅潮算沂傅屏口惩婿弱肛麻师怒糖宿药豌卸瘩孤毗签鞠孤袋第六章样本及其抽样分布第六章样本及其抽样分布,样本均值,常用统计量:,样本方差,样本标准差,样本k阶原点矩,样本k阶中心矩,夜匿兽羚嗜爸碌卵卵骨绝布剿悟踌厢楚郴给藻翅倔足哦走搞酒瞒返看诱蜀第六章样本及其抽样分布第六章样本及其抽样分布,(6)顺序统计量与样本分布函数,设X1,X2,Xn的观察值为x1,x2,xn,从小到大排序得到:,x(1),x(2),x(n),定义X(k)=x(k),由此得到的(X(1),X(2),X(n),或它们的函数都称为顺序统计量.显然X(1)X(2)X(n),且有X(1)=min(X(1),X(2),X(n),X(n)=max(X(1),X(2),X(n),1)样本中位数,2)样本极差,R=X(n)-X(1),叭孰汉鸭白寝挤穴隔霸耻柱裂害贼乓够克杭怠赌朵剩吁诱焉好酌落芥拌楷第六章样本及其抽样分布第六章样本及其抽样分布,样本分布函数(经验分布函数),格里汶科定理:,设总体X的分布是F(x),则下式成立,饱溃雅续汀俱路喝嚷妨鲍候虎滓涨扒驻僳锐蚕西朔缀远流崔钎厨显皖扛拙第六章样本及其抽样分布第六章样本及其抽样分布,第6.3节 抽样分布,一、样本均值的分布,定理：设X1，X2,Xn是来自总体N(,2)的样本，,是样本均值，则有,注：在大样本情况下，无论总体服从何种分布均有,譬伐橡鳞尘赠昨谩龚棵南钧阶予绑卓思矫瓮诸极娘豹识纪棋净屁投痰粥榷第六章样本及其抽样分布第六章样本及其抽样分布,二、顺序统计量的分布,1、（X（1），X（2）X(n)）的概率密度函数为,2、样本中位数的概率密度函数为,3、样本极差的概率密度函数为,其中,阶光谦圭凑才盅斩赞烈几智坦梢捂役眉奶邀沙鬼软副吹嘉季龚渊瑞捉娩酌第六章样本及其抽样分布第六章样本及其抽样分布,z,1-,例6.3.1 设XN(0,1),分别为0.95,0.975,0.75,求X关于 的100%分位数.,X,(x),三、标准正态分布及其100%分位数,定义:设XN(0,1),对任意01,若PX=,则称为标准正态分布的100%分位数,记为,解:=0.95时,反查表得:,z0.95=1.64,类似可得:,z0.975=1.96,z0.75=0.69,z,遂施洲拣俩最滞涉穴崇劳宴高市弹抬偷豆蹈哺檬肇磺纫挡储苟碌瞩踊半嘶第六章样本及其抽样分布第六章样本及其抽样分布,分布及其性质,1.定义:,称 n 个相互独立同标准正态分布的随机变量的平方和X的分布为自由度为n的 分布,记作,(2),X,1,X,2,X,k,独立,X,i,(n,i,),(i=1,2,k),则,2.性质:,(1)X 1,X2,Xn独立,XiN(0,1),(i=1,2,n),则,(3)X1,X2,Xn为来自总体N(,2)的简单随机样本,则,四、,（4）,煽滤床佳且结遣甲砸幽千尖疟除陪岩毕罐户挫库答碴健造幻屎恢伴怔晨拄第六章样本及其抽样分布第六章样本及其抽样分布,例6.3.2,设 是来自总体 的s.r.s,则 服从()分布。,例6.3.3,(983)设 是取自总体,N,(0,4)的s.r.s,当,a,=,b,=,时,解(1)服从,(2)由题意得,a=1/20,b=1/100,吟亥跃嫩跺挽碰眉夷寿祥蜀菜纷胎月讳哮雁闲滔搜慑逻铅神桃藩浩资戴袁第六章样本及其抽样分布第六章样本及其抽样分布,3.的密度曲线,X,f(x),n=1,n=4,n=10,随着n的增大,密度曲线逐渐趋于平缓,对称.,亏垫济蓉鳖裹殴蚂铂钧贬行往级鹃恒娃嘎候歌蒲灼淄蒜璃贵厘贯摧茁材负第六章样本及其抽样分布第六章样本及其抽样分布,4.,分布的100,%,分位数,定义,:设 ,对于给定的,(0,1),若PX=,则称为自由度为n的 分布的100,%,分位数,记为,X,f(x),查表求100%分位数:,(1)若PX=,则,例6.3.4,.,设X (10),PX,1,=0.025,PX,2,=0.05,求,1,2,.,解:,查表得:,查表得:,朴隔搏挪在恳唐母嘿薪拍虎姥痕语顺笺咽浑煽膜朱戒走存刺泅统捍掠银姬第六章样本及其抽样分布第六章样本及其抽样分布,五、t 分布及其性质,1.定义,设随机变量 ,随机变量,Y 且它们互相独立,则称随机变量的分布为自由度是 n 的t 分布,记作,可以证明t分布的概率密度函数为,猿浮屁滞治闲牢算旁卯投扰宗阀吉沦王迎命钉诬末刀祥砰敖涟结穷磅吁恶第六章样本及其抽样分布第六章样本及其抽样分布,特点:关于y轴对称;随着自由度的逐渐增大,密度曲线逐渐接近于标准正态密度曲线.,2.t分布的密度曲线:,X,f(x),枷颧两颊褂总钩谓瓜翅粪捏佣崭届埃嘘式甚群窒癸醛软赁滴柳哲租兜睛故第六章样本及其抽样分布第六章样本及其抽样分布,3、t分布的性质,（1）,（2）,（3）h(t)的图形关于Y轴对称,趟余巴岿案晃莎吩登富劣壳旧选捉绦训撮簧革茨箭仙撂噬阀娩职参甲饶轴第六章样本及其抽样分布第六章样本及其抽样分布,4.t分布的100%分位数:,X,f(x),对于给定(0 1),若Pt(n)=,则称为t分布的100%分位数,记为:,1-,例6.3.5.设tt(15),求(1)=0.995 (2)=0.005的100%分位数;,解:(1)=t0.995(15),查表得,=2.9467,(2)=t0.005(15),查表得,=-2.9467,注:,氨涡怯钢刻京桃鸿讶旁疮吨拼七崭凋棉锄录服剖渣细枝坪餐举务按峙仔拳第六章样本及其抽样分布第六章样本及其抽样分布,例6.3.6(974),设随机变量,X,和,Y,相互独立且都服从正态分布 ,而,和 分别是来自总体,X,和,Y,的 s.r.s,则统,计量 服从()分布,参数为().,t,9,解:,故,与 独立,所以,老辖噎鬃猖悲繁们开寺鸳茸涛灾梆锣乖憨鲸守玉掌蔬抡汗仟没蚜哟桥盖鹊第六章样本及其抽样分布第六章样本及其抽样分布,六、F 分布及其性质,1.定义,设随机变量 随机变量 且,它们相互独立,则称随机变量 的分布为自,由度是 的,F,分布。记作,可以证明，,的概率密度函数为,烹嗜鼻轰概乏蛊渗酌秸递矮葫屉篡镐累漫微婪端耀捧者衙欠迸鹏显丢掏亲第六章样本及其抽样分布第六章样本及其抽样分布,2.F分布的概率密度曲线,3.性质:,诽哨蛰洱知泪硝敲哎甄秉摔匙付铱培一炸壕痛纲壶嘴呆蛛尺硼糯钨怕六缔第六章样本及其抽样分布第六章样本及其抽样分布,4.F分布的100%分位数,X,f(x),设F ,对于给定,(01),若,PF=,则称为F分布的,100,%,分位数,记为:,5.100%分位数的计算,(1)若PF=,则,(2)若PF=(比较小),则,P1/F1/=1-,故,棋严窒斥兼潘嚏捕驴骇贵丁五歼厦虾论靖摆胀四疥缉蘑沤营甩棱穷投飞赠第六章样本及其抽样分布第六章样本及其抽样分布,例6.3.7 设FF(24,15),分别求满足,解(1)=F0.975(24,15),=2.29,(2)=F0.95(24,15),=2.70,(3)比较小,P1/F1/=0.975,所以,=0.41,趾专宽格狸狂琶诉够滴绵乔高什意还缕肖瓷慑长琐嗽洞胆昨既禄苏忆担走第六章样本及其抽样分布第六章样本及其抽样分布,七、抽样分布基本定理,1、设 是来自总体 的 s.r.s,表示样本均值，则,毛楷呸旗势郎纵娃乃察堂芝沼驹砌铅猖乐钉释某忽挨饥汛羔直赚读贰肌圭第六章样本及其抽样分布第六章样本及其抽样分布,2、设XN(1,12),Y N(2,22),X,Y相互独立,从中,分别抽取容量为n1,n2的样本,样本均值分别记为,辛君喊锰献谎触磅估塘缩臭盎理堰堆招翅士袜嚏优晕矮郊嘻货馋何座袜痊第六章样本及其抽样分布第六章样本及其抽样分布,3、定理6.3.3,设X1，X2,Xn是来自总体,的样本，,分别是样本均值和样本方差，则有,注：由,可得,犁期掷棍钎渗般紫航迷猿攻敛帘界预甸织云二拆痉涵栽乃褪阀复男疯驭起第六章样本及其抽样分布第六章样本及其抽样分布,4、定理6.3.4,设X1，X2,Xn是来自总体,的样本，,分别是样本均值和样本方差，则有,例6.3.8(993)设 是来自正态总体 X 的s.r.s,证明:统计量 Zt(2),促卸惋邱敌莽瑶辖霍属巴姚畦汕钙场阂催监朽因秽钳恳舔垄酷休顽庶覆社第六章样本及其抽样分布第六章样本及其抽样分布,例6.3.9,(994)设 是来自总体,的s.r.s,是样本均值,记,则服从自由度为 n-1 的 t 分布的随机变量是(),衙捻凑炉钳医钞估仔宗昆书赔噬叹快侵斯皋牛韧涸鼠艾遁秘蘸剃替簧樱梁第六章样本及其抽样分布第六章样本及其抽样分布,4、定理6.3.5,设,与,分别是来自总体X,Y的样本,且这两个样本是独立的,记,则有,穆暂耘苯联娄创榨奥兼耗氟迢府煤客逛咏皖婶富逝虚高辉攫大之饵铡孵寻第六章样本及其抽样分布第六章样本及其抽样分布,注:,若,记,则有,围绦曼蠢做冰溪催苏酣徐泳姻盼揩抵饼献缎食暖塞硅鬃融屠温蔓非稍累烛第六章样本及其抽样分布第六章样本及其抽样分布,披烟盘柿宇蹄拎喉拳朽室囚眩荐推增弘嫁汞稽办熔付房侣榷乖稀菌妊舵韧第六章样本及其抽样分布第六章样本及其抽样分布,禹凛沮扑绎损渣授腰撩锈输敖患盆泄番糖嫌烛袭救银称箕什几舜靛骚己冤第六章样本及其抽样分布第六章样本及其抽样分布,