概率论与数理统计 第四章

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第四章 随机变量的数字特征,引例,:,1,分布函数能够完整地描述随机变量的统计特,性，但在一些实际问题中，只需知道随机变量的,某些特征，因而不需要求出它的分布函数,.,评定某企业的经营能力时，只要知道该企业,人均赢利水平；,研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的,平均粒数及每粒的平均重量；,检验棉花的质量时，既要注意纤维的平均长,度，又要注意 纤维长度与平均长度的偏离程度，,平均长度越长、偏离程度越小，质量就越好,;,考察一射手的水平，既要看他的平均环数,是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数,据的波动是否小,.,2,由上面例子看到，与随机变量有关的某些,数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰,地描述随机变量在某些方面的重要特征,这些,数字特征在理论和实践上都具有重要意义,.,随机变量某一方面的概率特性,都可用,数字,来描写,随机变量的平均取值,数学期望,随机变量取值平均偏离平均值的,情况,方差,描述两个随机变量之间的某种关,系的数,协方差,与,相关系数,本,章,内,容,3,4.1,数学期望,4.1.1,数学期望的性质,4.1.2,随机变量函数的数学期望,4.1.3,数学期望的简单应用,4,设离散型随机变量,X,的分布律为,若无穷级数,绝对收敛，则称其和为随机变量,X,的数学期望,定义,4.1.1,记为,5,设连续型随机变量,X,的概率密度为,若积分,绝对收敛,则称此积分的值为随机变量,X,的数学期望,数学期望简称期望，又称均值,数学期望反映了随机变量取值的平均值,它是,一种加权平均,记为,注,:,6,4.1.1,数学期望的性质,7,证明：,仅就,证,性质（,4,）,8,解,:,例,4.1.1,9,例,4.1.2,解,:,解,:,例,4.1.3,10,例,4.1.4,解,:,11,例,4.1.5,解,:,12,常见随机变量的数学期望,分布,期望,概率分布,参数为,p,的,0-1,分布,p,B,(,n,p,),np,P,(,),13,分布,期望,概率密度,区间,(,a,b,),上的,均匀分布,E,(,),N,(,2,),14,引入随机变量,则有,例,4.1.6,解,:,15,故,（次）,16,例,4.1.7,17,解,:,18,19,例,4.1.8,设,X,服从参数为,p(0p1),的,Bernoulli,分布,下面这个例子说明性质,(4),在没有独立假设的条件下一般不成立,20,4.1.2,随机变量函数的数学期望,定理,21,22,例,4.1.9,解,:,23,X,1 3,P,3/4 1/4,Y,0 1 2 3,P,1/8 3/8 3/8 1/8,X,1 0 3/8 3/8 0,3 1/8 0 0 1/8,Y,0 1 2 3,解,:,例,4.1.10,24,4.1.3,数学期望的简单应用,例,4.1.11,市场上对某种产品每年的需求量为,X,吨 ，,X U, 2000,4000 ,每出售一吨可赚,3,万元,售不出去，则每吨需仓库保管费,1,万元,问应该生产这种商品多少吨,才能使平均利润最大？,解,:,设每年生产,y,吨的利润为,Y,2000 ,y ,4000,25,故,y =,3500,时，,EY,最大，,EY,= 8250,万元,26,例,4.1.12,某保险公司规定,如果在,1,年内顾客的投保,事件,A,发生,该公司就赔偿顾客,a,(,元,),若,1,年内事件,A,发生的概率为,p,为使公司收益的期望值等于,a,的,10%,问该公司应该要求顾客交多少保险费,?,解,:,设顾客应交的保险费为,x,(,元,),公司收益为,Y,(,元,),这里,x,是普通变量,Y,的取值与事件,A,是否发生有关,由题意有,27,所以,由题意,所以,且已知,28,例,4.1.13,为普查某种疾病,n,个人需验血,可采用两种,方法验血：,(1),分别化验每个人的血,共需化验,n,次；,(2),将,k,个人的血混合在一起化验，若化验结果为阴性,则此,k,个人的血只需化验一次；若为阳性,则对,k,个人的血逐个化验，找出有病者,这时,k,个人的血需化验,k +,1,次,.,设某地区化验呈阳性的概率为,p,，且每个人是否为阳性是相互独立的,.,试说明选择哪一种方法可以减少化验次数,29,为简单计，设,n,是,k,的倍数，设共分成,n / k,组,第,i,组需化验的次数为,X,i,X,i,P,1,k +,1,解,:,30,若,则,EX,n,例如，,31,课堂练习,( 2),设二维连续随机变量 的概率密度为,32,解,:,33,34,4.2,中位数、众数和分位点,35,定义,4.2.1,定义,4.2.2,36,定义,4.2.3,37,例,4.2.1,例,4.2.2,解,:,解,:,38,39,4.3,方差,4.3.1,方差的定义,4.3.2,方差的性质,40,引例,检验两批灯泡的质量,从中分别随机抽样,5,只,测得使用寿命,(,单位,:,小时,),如下,:,A: 2000 1500 1000 500 1000,B: 1500 1500 1000 1000,1000,试比较这两批灯泡质量的好坏,计算得,:,平均寿命分别为,:A:1200 B:1200,观察得,:A,中使用寿命偏离较大,B,中使用寿命偏离较小,所以,B,产品质量较好,41,(,X - EX,),2,随机变量,X,的取值偏离平均值的情况,是,X,的函数,也是随机变量,E,(,X - EX,),2,随机变量,X,的取值偏离平均值的平均偏离程度,数,注,:,4.3.1,方差的定义,42,若,X,为离散型随机变量，概率分布为,若,X,为连续型随机变量，概率密度为,f,(,x,),常用的计算方差的公式：,注,:,43,4.3.2,方差的性质,44,设,X P,(,),求方差,DX,例,4.3.1,解,:,45,设,X B,(,n , p,),，求方差,DX,仿照上例求,DX,引入随机变量,相互独立，,故,例,4.3.2,解法,1:,解法,2:,46,设,X U,(,a , b,),，求方差,DX,例,4.3.3,解,:,设,X N,(, , ,2,),求方差,DX,例,4.3.4,解,:,47,例,4.3.5,解,:,48,常见随机变量的方差,分布,方差,概率分布,参数为,p,的,0-1,分布,p,(,1-p,),B,(,n,p,),np,(1-,p,),P,(,),49,分布,方差,概率密度,区间,(,a,b,),上的,均匀分布,E,(,),N,(,2,),50,例,4.3.6,证,:,51,已知,X ,Y,相互独立，且都服从,N,(0,0.5),故,例,4.3.7,解,:,求,E,( |,X Y,| ),52,课堂练习,53,4.4,协方差及相关系数,4.4.1,协方差及相关系数的定义,4.4.1,协方差及相关系数的性质,54,问题,对于二维随机变量,(,X ,Y,):,已知联合分布,边缘分布,这说明对于二维随机变量，除了每个,随机变量各自的概率特性以外，相互之间,可能还有某种联系,.,问题是用一个什么样,的数去反映这种联系,.,数,反映了随机变量,X ,Y,之间的某种关系,55,定义,称为随机变量,X ,Y,的 相关系数,而,4.4.1,协方差及相关系数的定义,注,:,56,4.4.2,协方差及相关系数的性质,57,注,:,58,注,:,显然,相关,不相关,正相关,负相关,59,1 0,p q,X,P,1 0,p q,Y,P,求,Cov,(,X ,Y,),XY,已知,X ,Y,的联合分布为,X,Y,1 0,1,0,p,0,0,q,0 ,p ,1,p + q =,1,解,:,1 0,p q,X Y,P,例,4.4.1,60,61,例,4.4.2,解,:,62,63,例,4.4.3,解,:,64,65,66,67,课堂练习,68,