计算机数学15课件

,第十五章集合论,后页,首页,前页,第十五章,集合论,后页,首页,前页,基本要求,、重点难点,15.1,集合,15.2,关系,基本要求,掌握集合、子集、全集、空集和幂集等概念。熟悉常用的表示集合的方法。能够判定元素与集合、集合与集合之间的关系；熟练掌握两个集合相等关系和包含关系的定义和性质，能够利用定义证明两个集合相等。,熟练掌握集合之间的各种运算以及集合运算的基本等式，能够利用它们来证明更复杂的集合等式。,掌握余集与集合笛卡儿乘积的概念以及,De Morgan,公式。,重点难点,重点：,证明两个集合相等的方法；,运用集合之间的各种运算以及集合运算的基本等式来证明更复杂的集合等式。,15.1,集合,集合概念是数学中最基本的概念之一，它不具有严格精确的定义，只能给出描述性定义。一般地，把一些确定的、彼此不同的事物作为一个整体来研究时，这个整体便称为一个集合,.,组成这个集合的个别事物，称为集合的元素。例如：,15.1.1,集合的概念与表示,方程,x,2,1,0,的实数解集合；,26,个英文字母的集合；坐标平面上所有点的集合；,表示一个集合的方法通常有两种：,列举法,和,描述法,。列举法是列出集合的所有元素、或其规律。例如：,A,=,a,b,c,d,B,=,1,2,3,4,描述法是将集合中元素的共同属性描述出来，其一般形式为：,M,=,x,x,所具有的特征,例如,：,A,=,y,y=sin,x,，,x,R,B,=,(,x,，,y,),x,2+y2=,R,2,C,=,(,x,，,y,，,z),z=,x,2-y2,常见的几个数集用特定的符号表示：,N,=,x,x,为自然数,Z,=,x,x,为整数,Q,=,x,x,为有理数,R,=,x,x,为实数,如果集合,A,的元素都是集合,B,的元素，即若,xA,，则有,xB,，则称,A,是,B,的子集，,B,包含,A,，记为,A B,，或,B A,。例如,N Z,，,Z Q,，,Q R,。,若,A A,，且,B A,，则称集合,A,与,A,相等，记为,A=B,。例如：,如果：,A=,x,x,2,-,1,=,0,，,B=,1,，,-1,，,C=,x,x=,1,则有：,A=B=C,不含任何元素的集合称为空集，记为,.,例如：,x,x,2+1=0,，,x,R,=,在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则称这个集合为,全集,，记为,E,。全集是一个相对性概念。由于研究的问题不同，所取的全集也不同，而且并非是惟一的，一般总是取一个比较方便的集合作为,全集,。例如：在研究函数定义域时，我们取全集,E=R,。显然对任一集合,A,有,A E,设,A,是一个集合，由,A,的所有子集组成的集合，称为集合,A,的,幂集,，记为,(,A,),或,2A,。,例,15.1.1,设,:,A,=,，,B,=,1,，,C,=,a,，,b,，,c,求,:,A,、,B,、,C,的幂集,解,:,(,A,)=,(,B,)=,，,1,(,C,)=,，,a,，,b,，,c,，,a,，,b,a,，,c,，,b,，,c,，,a,，,b,，,c,定理,15.1,如果有限集合,A,中元素的个数,(,称为集合,A,的元数,),为,n,，则幂集,(A,),的元数为,2,n,。,证,：,n,元集合,A,，它的,0,元子集有,C,0,n,个,(,即,),，,1,元子集有,C,1,n,个，,，,m,元子集有,C,m,n,个，,，,n,元子集有,C,n,n,个，全部子集共有,C,n,0,+C,n,1,+C,n,m,+C,n,n,=2,n,即：幂集,(A,),的元数为,2,n,15.1.2,集合的运算,定义,17.1,设有全集,E,，,A,和,B,是其中两个任意集合。,(1),所有属于,A,或属于,B,的元素组成的集合称为集合,A,与,B,的并集，记为,AB,。即,A,B=,x,x,A,或,x,B,(2),属于,A,同时又属于,B,的所有元素组成的集合，称为,A,与,B,的交集，记为,A,B,。即,A,B=,x,x,A,且,x,B,(3),属于,A,而不属于,B,的所有元素组成的集合，称为,A,与,B,的差集，,记为,A-B,。即,A-B,=,x,x,A,且,x B,(4),由,E,中所有不属于,A,的元素组成的集合称为,A,的补集，记为 。即,=,x,x,E,且,x A,例,15.1.1,设,:,E=R,，,A,=,x,x,3,，,B=,x,0,x,5,则,：,A,B,=,x,-3,x,5,A,B,=,x,0,x,3,A,-,B,=,x,-3,x,0,例,15.1.2,若：,A,B,则：,A,B,=,B,，,A,B,=,A,，,A-B,=,为了直观，有时我们用文氏图,(Venn),来表示集合，即用矩形圈起来的平面上的点表示,E,，用封闭曲线圈起来的圆表示集。则集合的四种运算的文氏图表示即为图所示。,=,x,x,-3,或,x,3,A,BA,BA-B,图与实数运算满足一些运算律类似，集合的运算也具有许多运算律,.,设,A,，,B,，,C,为任意集合，则有恒等式如下：,(1),交换律,A,B,=,B,A,，,A,B,=,B,A,(2),结合律,A,(,B,C,)=(,A,B,),C,，,A,(,B,C,)=(,A,B,),C,(3),分配律,A,(,B,C,)=(,A,B,)(,A,C,),，,A,(,B,C,)=(,A,B,)(,A,C,),(4),等幂律,A,A,=,A,，,A,A,=,A,(5),同一律,A,=,A,，,A,E,=,A,(6),零一律,A,=,，,A,E,=,E,(7),互补律,A,=,E,，,A,=,(8),吸收律,A,(,A,B,)=,A,，,A,(,A,B,)=,A,(9),摩根律,(10),对合律,=,A,例,15.1.3,有：,A-,B,=A,试证：,A-(B-C)=(A-B)(AC),证：,A-(B-C)=A(BC)=A(C)=A(C)(A-B)(AC)=(A)(AC)=A(C),故：,A-(B-C)=(A-B)(AC),15.2,关系,定义,15.2,两元素按给定顺序排列组成的二元组合称为一个有序对，记为,x,，,y,。其中,x,是它的第一元素，,y,是它的第二元素,.,对于有序对,a,，,b,和,c,，,d,，当且仅当,a=c,且,b=d,时，才称,a,，,b,与,c,，,d,相等，记为,a,，,b,=,c,，,d,。当,a,b,时，有序对,a,，,b,b,，,a,。例如，平面上的点,(,x,，,y,),就是一个有序对。,定义,15.3,设,A,、,B,是两个集合，,x,A,，,y,B,，则所有有序对,x,，,y,的集合，称为,A,和,B,的笛卡尔乘积，记为,A,B,。,15.2.1,笛卡尔乘积,例,15.2.1,设,:,A,=,1,，,2,，,B=,a,，,b,，,c,，则,:,A,B,=,1,，,a,，,1,，,b,，,1,，,c,，,2,，,a,，,2,，,b,，,2,，,c,B,A,=,a,，,1,，,b,，,1,，,c,，,1,，,a,，,2,，,b,，,2,，,c,，,2,A,A,=,1,，,1,，,2,，,2,，,1,，,2,，,2,，,1,B,B,=,a,，,a,，,a,，,b,，,a,，,c,，,b,，,a,，,b,，,b,，,b,，,c,，,c,，,a,，,c,，,b,，,c,，,c,关系是使用非常广泛的一个词，例如人与人之间有朋友关系，夫妻关系，同学关系，师生关系等；两个数之间有大小关系，相等关系，整除关系，运算关系等；计算机的程序之间有调用关系等。现在我们将这些关系抽象，用有序对来刻画。,15.2.2,关系的概念,定义,15.4,若,A,和,B,是两个集合，则,AB,的任何子集都定义了一个二元关系，简称关系。记,R,，,即,R AB,若,a,，,b,R,，可记为,aRb,；否则，则记为,ab,.,例如：自然数之间的大于关系,=,x,，,y,x,，,y,N,，且,x,y,；,人群中的父子关系,=,x,，,y,x,，,y,是人，并且,x,是,y,的父亲。,定义,15.5,设,R,为集合,A,上的关系,.,若,R,=,，则称,R,为,空关系,，记为,A,.,若,R,=,A,A,，则称,R,为,全关系,，记为,E,A,；若,R=,a,，,a,aA,，,则称,R,为,恒等关系,，记为,I,A,。,例,15.2.2,若,:,A,=,1,，,2,，,3,则,:,E,A,=,1,，,1,，,1,，,2,，,1,，,3,，,2,，,1,，,2,，,2,，,2,，,3,，,3,，,1,，,3,，,2,，,3,，,3,，,I,A,=,1,，,1,，,2,，,2,，,3,，,3,15.2.3,关系的性质,定义,15.6,设,R,是集合,A,上的关系,(1),若对于每一个,a,A,，均有,aRa,，则称关系,R,是,自反的,(2),对于任意的,a,，,b,A,，若有,aRb,，就有,bRa,，则称,R,是,对称的,(3),对于任意的,a,，,b,A,，若有,aRb,且,bRa,，必有,a,=,b,，则称,R,是,反对称的,(4),对于任意的,a,，,b,，,c,A,，若有,aRb,且,bRc,，就有,aRc,，则称,R,是,传递的,例,15.2.5,设,:,A,=,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,R,是,A,上的关系，定义为,R,=,x,，,y,x,整除,y,，,x,，,y,A,.,试判断,R,的性质。,解,:R=,1,，,1,，,2,，,2,，,3,，,3,，,4,，,4,，,5,，,5,，,1,，,2,，,1,，,3,，,1,，,4,，,1,，,5,，,2,，,4,.,由定义可知，,R,是自反的，反对称的，传递的。,注意：,(1),不是对称的，并非就是反对称的。也就是说，对于某个关系，可能既不是对称关系，也不是反对称关系。例如，集合,A,=,1,，,2,，,3,上的关系,R,=,1,，,2,，,2,，,3,，,3,，,2,，,R,既不是对称的，也不是反对称的。,(2),对于某种关系，可能既是对称的，又是反对称的,.,例如，集合,A,=,1,，,2,，,3,上的恒等关系,I,A,=,1,，,1,，,2,，,2,，,3,，,3,，,就是既是对称的，也是反对称的。,定义,15.7,设,R,是集合,A,上的关系，如果关系,R,同时具有自反性、对称性、传递性，则称,R,是,等价关系,.,此时的,aRb,，又称为,a,等价于,b,，记为,a,b,。,定义,15.8,设 是,A,上的等价关系，,M,是,A,的一个非空子集，若满足条件：,(1),若,a,M,，,b,M,，则,a,b,；,(2),若,a,M,，,b,M,，则,a,与,b,不等价。则称子集,M,为,A,在关系,R,上的一个等价类。,例,15.2.8,整数集,Z,上关系,R,x,，,y,x,，,y,Z,，,x,y,被,3,整除。,试判断,R,是否为等价关系；若是，求出所有等价类。,解,R,是自反的，对称的，传递的，所以,R,为等价关系。等价类为,，,6,，,3,，,0,，,3,，,6,，,，,，,5,，,2,，,1,，,4,，,7,，,，,，,4,，,1,，,2,，,5,，,8,，,。,Thank You!,后页,首页,前页,