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宇轩图书,目 录,考点知识精讲,宇轩图书,上一页,下一页,首 页,中考典例精析,宇轩图书,上一页,下一页,首 页,考点训练,宇轩图书,上一页,下一页,首 页,举一反三,宇轩图书,上一页,下一页,首 页,初三数学复习课件,二次函数,猫儿学校 欧明,考点一 二次函数的定义,一般地，如果,y,ax,2,bx,c,(,a,、,b,、,c,是常数，,a,0),，那么,y,叫做,x,的二次函数,1,结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量,x,的,_,次式；,x,的最高次数是,2,；二次项系数,a_,0.,2,二次函数的三种基本形式,(1),一般形式：,；,(2),顶点式：,，它直接显示二次函数的顶点坐标是,；,(3),交点式：,，其中,x,1,、,x,2,是图象与,x,轴交点的,_,二,y,ax,2,bx,c,(,a,、,b,、,c,是常数，且,a,0),y,a,(,x,h,),2,k,(,a,0),(h,，,k),y,a,(,x,x,1,)(,x,x,2,)(,a,0),横坐标,考点二 二次函数的图象和性质,考点三 二次函数,y=ax2+bx+c,的图象特征与,a,、,b,、,c,及,b2-4ac,的符号之间的关系,字母,项目,字母的符号,图象的特征,a,a,0,开口向上,a,0,开口向下,b,b,0,对称轴为,y,轴,ab,0,(,a,与,b,同号,),对称轴在,y,轴左侧,ab,0,(,a,与,b,异号,),对称轴在,y,轴右侧,c,c,0,经过原点,c,0,与,y,轴正半轴相交,c,0,与,y,轴负半轴相交,注意：当,x,1,时，,y,a,b,c,；当,x,1,时，,y,a,b,c.,若,a,b,c,0,，即,x,1,时，,y,0.,若,a,b,c,0,，即,x,1,时，,y,0.,b,2,4ac,b,2,4ac,0,与,x,轴有唯一交点,(,顶点,),b,2,4ac,0,与,x,轴有两个交点,b,2,4ac,0,与,x,轴没有交点,二次函数图像与性质口诀,:,二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点,它们确定图象现；开口、大小由,a,断,c,与,Y,轴来相见,b,的符号较特别，符号与,a,相关联；顶点位置先找见，,Y,轴作为参考线，左同右异中为,0,，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。,考点四 二次函数图象的平移,任意抛物线,y,a,(,x,h,),2,k,可以由抛物线,y,ax,2,经过平移得到，具体平移方法如下：,温馨提示：,二次函数图象间的平移，可看作是顶点间的平移，因此只要掌握了顶点是如何平移的，就掌握了二次函数图象间的平移,.,函数图像的移动规律,:,二次函数的解析式写成,y=a,（,x+h,）,2+k,的形式，则用下面的口诀“左右平移在括号,上下平移在末稍,左正右负须牢记,上正下负错不了”。,考点五 二次函数解析式的求法,1,一般式：,y,ax,2,bx,c,(,a0,),若已知条件是图象上三个点的坐标则设一般式,y,ax,2,bx,c,(,a0,),，将已知条件代入，求出,a,、,b,、,c,的值,2,交点式：,y,a,(,x,x,1,)(,x,x,2,)(,a0,),若已知二次函数图象与,x,轴的两个交点的坐标，则设交点式：,y,a,(,x,x,1,)(,x,x,2,)(,a0,),，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数,a,，最后将解析式化为一般式,3,顶点式：,y,a,(,x,h,),2,k,(,a0,),若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值,则设顶点式,:,y,a,(,x,-,h,),2,+,k,(,a0,),将已知条件代入，求出待定系数化为一般式,.,考点六 二次函数的应用,二次函数的应用包括两个方面：,(,1,),用二次函数表示实际问题变量之间关系,(,2,),用二次函数解决最大化问题,(,即最值问题,),，用二次函数的性质求解，同时注意自变量的取值范围,(1)(2011,北京,),抛物线,y,x,2,6x,5,的顶点坐标为,(,),A,(3,，,4),B,(3,4),C,(,3,，,4),D,(,3,4),(2)(2011,莆田,),抛物线,y,6x,2,可以看作是由抛物线,y,6x,2,5,按下列何种变换得到,(,),A,向上平移,5,个单位,B,向下平移,5,个单位,C,向左平移,5,个单位,D,向右平移,5,个单位,y,3,),，,y,1,、,y,2,、,y,3,的大小关系是,(,),A,y,1,y,2,y,3,B,y,2,y,1,y,3,C,y,3,y,1,y,2,D,y,1,y,3,y,2,(4)(2010,天津,),已知二次函数,y,ax,2,bx,c(,a0),的图象如图所示，有下列结论：,b,2,4ac0,；,abc,0,；,8a,c0,；,9a,3b,c0.,其中，正确结论的个数是,(,),A,1,B,2,C,3,D,4,【,点拨,】,本组题主要考查二次函数的图象和性质,【,解答,】(1)A,y,x,2,6x,5,(x,3),2,4,，,抛物线,y,x,2,6x,5,的顶点坐标为,(3,，,4),(2)B,把抛物线,y,6x,2,5,向下平移,5,个单位得抛物线,y,6x,2,.,2a0,，故,正确；当,x,2,时，,y0,，此时,y,4a,2b,c,4a,2(,2a),c,8a,c0,，故,正确；,x,1,是抛物线的对称轴，由图象知抛物线与,x,轴的正半轴的交点在,3,与,4,之间，则当,x,3,时，,y0,，即,y,9a,3b,c0,B,c,0,C,b,2,4,ac,0,【,解析,】,由图象可知，当,x,1,时，二次函数值大于,0,，即把,x,1,代入解析式得,a,b,c,0.,【,答案,】D,【,解析,】,由题意知，,k,0,，则,y,kx,2,kx,的图象大致为,C.,【,答案,】C,10,(2011,温州,),已知二次函数的图象,(0,x,3),如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是,(,),A,有最小值,0,，有最大值,3,B,有最小值,1,，有最大值,0,C,有最小值,1,，有最大值,3,D,有最小值,1,，无最大值,【,解析,】,观察图象知二次函数在,0,x,3,时，有最小值,1,，最大值,3.,【,答案,】C,11,(2011,河北,),一小球被抛出后，距离地面的高度,h,(,米,),和飞行时间,t,(,秒,),满足下面函数关系式：,h,5(,t,1),2,6,，则小球距离地面的最大高度是,(,),A,1,米,B,5,米,C,6,米,D,7,米,【,解析,】,当,t,1,时，,h,最大,6,，小球距离地面的最大高度是,6,米,【,答案,】C,12. (2011,株洲,),某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图所示，以水平地面为,x,轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线,y,x,2,4,x,(,单位：米,),的一部分，则水喷出的最大高度是,(,),A,4,米,B,3,米,C,2,米,D,1,米,【,解析,】,y,x,2,4,x,x,2,4,x,4,4,(,x,2),2,4,，,水喷出的最大高度是,4,米,【,答案,】A,二、填空题,(,每小题,4,分，共,20,分,),13,(2010,中考变式题,),若二次函数,y,x,2,2,x,k,的部分图象如图所示，则关于,x,的一元二次方程,x,2,2,x,k,0,的一个解,x,1,3,，另一个解,x,2,_.,【,解析,】,方程,x,2,2,x,k,0,的解，即为,y,x,2,2,x,k,与,x,轴交点的横坐标，由图象知抛物线的对称轴为,x,1,，其中一个交点坐标为,(3,0),，所以另一个交点坐标为,(,1,0),，即,x,2,1.,【,答案,】,1,14,(2011,河南,),点,A,(2,，,y,1,),、,B,(3,，,y,2,),是二次函数,y,x,2,2,x,1,的图象上两点，则,y,1,与,y,2,的大小关系为,y,1,_,y,2,(,填,“,”“,”“,”,),【,解析,】,分别将,x,2,和,x,3,代入,y,x,2,2,x,1,，得,y,1,2,2,2,2,1,1,，,y,2,3,2,2,3,1,4,，,y,1,y,2,.,【,答案,】,15,(2012,中考预测题,),已知二次函数,y,ax,2,bx,c,(,a,0),，其中,a,、,b,、,c,满足,a,b,c,0,和,9,a,3,b,c,0,，则该二次函数图象的对称轴是直线,_,【,解析,】,当,x,1,时，,y,a,b,c,0,，当,x,3,时，,y,9,a,3,b,c,0,，抛物线经过,(1,0),、,(,3,0),，对称轴是直线,x,1.,【,答案,】,x,1,16,(2011,大连,),如图所示，抛物线,y,x,2,2,x,m,(,m,0),与,x,轴相交于点,A,(,x,1,0),、,B,(,x,2,0),，点,A,在点,B,的左侧当,x,x,2,2,时，,y,_0(,填,“,”“,”“,”,),【,答案,】,17,(2011,日照,),如图所示，是二次函数,y,ax,2,bx,c,(,a,0),的图象的一部分，给出下列命题：,a,b,c,0,；,b,2,a,；,ax,2,bx,c,0,的两根分别为,3,和,1,；,a,2,b,c,0.,其中正确的命题是,_,(,只要求填写正确命题的序号,),【,答案,】,三、解答题,(,共,44,分,),18,(15,分,)(2011,佛山,),如图所示，已知二次函数,y,ax,2,bx,c,的图象经过,A,(,1,，,1),、,B,(0,2),、,C,(1,3),三点,(1),求二次函数的解析式；,(2),画出二次函数的图象,19,(14,分,)(2011,贵阳,),如图所示，二次函数,y,x,2,2,x,m,的图象与,x,轴的一个交点为,A,(3,0),，另一个交点为,B,，且与,y,轴交于点,C,.,(1),求,m,的值；,(2),求点,B,的坐标；,(3),该二次函数图象上有一点,D,(,x,，,y,)(,其中,x,0,，,y,0),，使,S,ABD,S,ABC,，求点,D,的坐标,【,答案,】,解：,(1),把,x,3,，,y,0,代入,y,x,2,2,x,m,得,9,6,m,0,，,m,3.,(2),由,(1),得,y,x,2,2,x,3,，令,y,0,，得,x,2,2,x,3,0,，解得,x,1,1,，,x,2,3,，,点,B,的坐标为,(,1,0),或,y,x,2,2,x,3,(,x,1),2,4,，抛物线的对称轴为,x,1.,由于,A,、,B,关于直线,x,1,对称，故点,B,的坐标为,(,1,0),(3),如图所示，设点,D,的坐标为,(,x,，,y,),，,x,0,，,y,0,，,要使,S,ABD,S,ABC,，点,D,的纵坐标与点,C,的纵坐标应相等，,y,3,，即,x,2,2,x,3,3,，解得,x,1,0,，,x,2,2,，点,D,的坐标为,(2,3),20,(15,分,)(2010,中考变式题,),如图，已知抛物线,y,ax,2,bx,c,(,a,0),的对称轴为,x,1,，且抛物线经过,A,(,1,0),、,C,(0,，,3),两点，与,x,轴交于另一点,B,.,(1),求这条抛物线所对应的函数解析式；,(2),在抛物线的对称轴,x,1,上求一点,M,，使点,M,到点,A,的距离与到点,C,的距离之和最小，并求出此时点,M,的坐标；,(3),设点,P,为抛物线的对称轴,x,1,上的一动点，求使,PCB,90,的点,P,的坐标,【,答案,】,解：,(1),根据题意，,y,ax,2,bx,c,的对称轴为,x,1,，且过,A,(,1,0),，,C,(0,，,3),，可得,抛物线所对应的函数解析式为,y,x,2,2,x,3.,(2),由,y,x,2,2,x,3,可得，抛物线与,x,轴的另一交点,B,(3,0),如图，连接,BC,，交对称轴,x,1,于点,M,.,因为点,M,在对称轴上，,MA,MB,.,所以直线,BC,与对称轴,x,1,的交点即为所求的,M,点,设直线,BC,的函数关系式为,y,kx,b,，由,B,(3,0),，,C,(0,，,3),，解得,y,x,3,，由,x,1,，解得,y,2.,故当点,M,的坐标为,(1,，,2),时，点,M,到点,A,的距离与到点,C,的距离之和最小,(3),如图，设此时点,P,的坐标为,(1,，,m,),，抛物线的对称轴交,x,轴于点,F,(1,0),连接,PC,、,PB,，作,PD,垂直,y,轴于点,D,，则,D,(0,，,m,),在,Rt,CDP,中，,CD,|,m,(,3)|,|,m,3|,，,DP,1,，,CP,2,CD,2,DP,2,(,m,3),2,1.,在,Rt,PFB,中，,PF,|,m,|,，,FB,3,1,2,，,PB,2,PF,2,FB,2,m,2,4.,在,Rt,COB,中，,CB,2,OB,2,OC,2,3,2,3,2,18.,当,PCB,90,时，有,CP,2,CB,2,PB,2,.,即,(,m,3),2,1,18,m,2,4.,解得,m,4.,使,PCB,90,的点,P,的坐标为,(1,，,4),
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