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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章,函数与极限,一 、 函数,二、 极限,三、 函数的连续性,第一节 函数,一、函数的概念,1. 常量与变量,2 . 函数的定义,3 . 函数的表示方法,(1) . 列表法,将自变量值与对应的函数值列在一张表格里来表示的函数方法叫做列表法。例：三角函数表，平方根表等。,(2) . 图示法,用坐标平面上的图形来表示函数的方法叫做图示法。例：正弦曲线、指数曲线等。,(3) . 解析法,用含有自变量、因变量的数学式子来表示函数的方法叫做解析法。例：,邻域概念：,我们把以,为中心，长度为2,的开区间,称为 的 邻域。,的,邻域表示在 的附近取值,4 . 函数的几种特性,（1）. 函数的有界性,若存在正数 ,使每一个 , 均有,则称函数,在 内有界。,例如：,对一切,有,所以,是有界函数,（2）. 函数的单调性,若,函数 在区间 内随着 的增大而增大，即对于区间 内任意两点 与 ，,当 时，有 成立，则称函数 在区间 内是单调增加函数。,若,函数 在区间 内随着 的增大而减少，即对于区间 内任意两点 与 ，,当 时，有 成立，则称函数 在区间 内是单调减少函数。,例如：,（3）. 函数的奇偶性,若函数 在定义域内任意 值都满足,则称此函数为偶函数。,若函数 在定义域内任意 值都满足,则称此函数为奇函数。,例：,为偶函数,为奇函数,为非奇非偶函数,（4）. 函数的周期性,对于函数,若存在一常数,使每一个,都有,则称函数,为周期函数。称常数 为函数的,周期,。,例,：,是周期函数，其周期为,二、复合函数与反函数,定义：设 是 的函数 ，而 是,的函数 ，若对于 所对应的全部或部,分 值， 有定义，则函数,叫做由函数 及 复合而成 的复,合函数，其中 叫做中间变量。,注意,（1）不是任何两个函数都能复合成一个函数；,（2）,复合函数的中间变量可以不只一个。,（一）复合函数,例1 写出下列所给函数的复合函数及其定义域,解 因 ，要求 即,所以 的值应满足,所求复合函数为,其定义域为：,例2,与,能否复合成,复合函数。,解 因为不论 取什么样的值，都有,而对于 函数而无意义。所以这,两个函数不能复合成复合函数。,例3 指出下列函数是由哪几个函数复合而成的,（1）,解 它是由,复合而成的,（2）,解 该函数是由,复合而成的复合函数。,（二）反函数,定义：已知函数,其值域为,若对于 中的每一个值,中,只有一个值 ,使得, 则有此法则,所确定的函数为函数 的反函数,并记为,例,的反函数为,即,这两个函数的图形关于,对称。如图所示：,三、初等函数和分段函数,(一) 初等函数,幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、,反三角函数这五种函数统称为基本初等函数。,由基本初等函数和常数经过有限次的四则运,算和有限次的复合而成的，并可用一个解析式来表示的函数称为初等函数。,例如：,(二) 分段函数,在不同的范围内，只能用不同的解析式表示的函数叫做分段函数。,例如：,例如：,因为该函数可用一个式,子表示即 所以它仍是初等函数。,练习：指出下列函数是有哪些函数复合而成的,1、,2、,3、,4、,5、,6、,答案：,1、,2、,解,解,3、,解,4、,解,5、,解,6、,解,第二节 极限,一、 数列极限,定义： 对于数列,当 无限增大时， 趋向于某一个定数 ，,我们就说数列 当 时以 为极限。,记作,或,例： 数列,或,进一步分析,当 充分大时,可以任意小,数列极限的定义：对于数列 ，如果存在一个定数 ，对于预先任意给定的无论多么小的正数 总可以找到一个 ，使的当 以后的项与 的绝对值都小于 即 成立，则称数 为数列 当 时的极限。,注意： 是用来该划数列 与极限 的接近程度， 用来该划数列的变化过程， 是由 来确定的，是 的函数，一般来说 越小 越大。,记作,例1 试证明,解,即可，,取,所以,成立,时，就有,则当,只要,例2 试证明,证,因为,只要,所以,所以,要使,任给,即可,当,时,练习 试证,证,因为,只要,取,所以,要使,任给,即可,当,时,还有一点需要注意的是并非所有数列都有极限,例： 数列,当,时，该数列永远在0与1上跳动，,不趋向于某一个定数，因此该数列无极限。,常用公式：,
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