MATLAB教程简介

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,欢 迎 学 习,微机应用软件,课时安排：,1,、,Matlab,简介,32,学时,2,、数据与图像处理,(Origin,、,Photoshop) 4,学时,参考数目：,1,、,MATLAB,与科学计算,（第,2,版）王沫然,电子工业出版社,2,、,计算机在材料科学中的应用,许鑫华,机械工业出版社,数学物理方程的,MATLAB,解法与可视化,彭芳麟 清华大学出版社,学习要求：,1,、准备一个笔记本兼作业本。,2,、自己独立编程。,第,1,章,MATLAB,简介,MATLAB,是英语,Matrix Laboratory(,矩阵实验室,),的缩写,MATLAB,是当今国际上公认的在,科技领域最为优秀的应用软件和开发环境,。在欧美各高等院校，,MATLAB,已经成为应用线性代数、自动控制理论、数据统计、数字信号处理、图形处理等高级课程的基本数学工具，是理工科本科生、硕士生、博士生必须掌握的基本技能。在设计研究单位和工业部门，,MATLAB,已经超出实验室，广泛用于研究和解决具体的工程问题。,国内部分重点高校已作为理工学生的必修或选修课。,现在,Matlab,已经成为一个系列产品：,主包,中有数百个高度优化的,内部函数,。,工具包,(Toolbox,），,又分为两类：,功能性工具包,主要用来扩充,MATLAB,的数值分析、矩阵运算、数字信号处理、符号计算功能、图形建模仿真功能、文字处理功能、与硬件实时交互功能。这种工具包能用于多种学科。,学科性工具包 是专业性比较强的,，如：,控制系统工具包,(Control System Toolbox),、,通信工具包,(Communication Toolbox),、,图象处理工具包,(Image Processing Toolbox),、,统计工具包,(Statistic Toolbox),偏微分方程工具包,(Partial Differential Equation Toolbox),Matlab,语言的特点：,1,、极强的数值计算功能、作图功能和符号,计算功能。,数值计算主要内容：,矩阵的创建和保存，数值矩阵代数、乘方运算和分解，数组运算，多项式和有理分式运算，数理统计分析、差分和数值导数，用于求积分和微分方程的数值解和功能函数等。,在此环境下,所解问题的,Matlab,语言表述形式和其数学表达形式相同，不需要按传统的方法编程。,利用,MATLAB,可以轻易地绘制二维、三维曲线，三维曲面，并可进行图形和坐标的标识、坐标控制、图形的迭绘、视角和光照设计、色彩精细控制等及绘制动画，简单易行。,Matlab,语言的特点：,2,、用户使用方便，语句简单，内涵丰富。,MATLAB,是一种面向科学与工程计算的高级语言，允许,用数学形式的语言编写程序。,Matlab,语言是一种,解释执行,的语言，它灵活、方便，其调试程序手段丰富，调试速度快，需要学习时间少。,把编辑、编译、连接和执行融为一体,。它能在同一画面上进行灵活操作，快速排除输入程序中的书写错误、语法错误以至语意错误，从而加快了用户编写、修改和调试程序的速度。,Matlab,语言的特点：,3,、最受人欢迎的特点,开放性。,除内部函数外，所有,MATLAB,主包文件和各工具包文件都是可改的源文件。用户通过对源文件的修改，或加入自己编写的文件去构成新的专用工具包。,高版本的,Matlab,已逐步扩展到科学及工程计算的其它领域。因此，不久的将来，它一定能名符其实地成为,“万能演算纸式的”科学算法语言。,1.1.1 MATLAB,的操作界面,1,、操作桌面窗口,菜单项；,工具栏；,【Command Window】,指令窗口；,【Launch Pad】,工作目录窗口；,【Command History】,指令记录窗口；,【Workspace】,内存空间窗口；,【Current Directory】,当前工作目录窗口；,MATLAB,操作窗口,双击桌面快捷键，启动软件。,接受命令的窗口,2,、指令窗的使用,数值计算,2*sin(pi/3)+5*i -22/3,演示内带程序,ballode,%,自由下落小球与地面非弹性碰撞的运动轨迹,演示,Matlab,的基本功能,demo,3,、指令窗操作注意事项,怎样改变数字属性和字体,指令和变量名要区分大小写,应该指定输出变量名,常用符号,;,不显示结果,命令延续到下一行,重新调入上一命令行,重新调入下一命令行,1.1.2,在线帮助,1,、帮助系统指令,help,指令名称,2,、常用指令,who,列出内存中的变量名,Type,显示指定文件的内容,whos,列出内存中的变量名及其性质,clear,清除内存,Matlab,功能展示,例,1,：求解线性方程组,在,Matlab,指令窗口输入命令：,a=2,3,-1;8,2,3;45,3,9;,b=2;4;23;,x=inv(a)*b,x1=ab,例,2,：绘制正弦曲线和余弦曲线，,在指令窗口输入命令：,x=0:0.5:360*pi/180;,%x,从,0,0,到,360,0,并转换为弧度,plot(x,sin(x),x,cos(x),%,绘制正弦曲线和余弦曲线,例,3,：输入,10,个学生的成绩并对成绩按升序排序。,在指令窗口输入命令：,g=input(,请输入学生成绩,:),sort(g),请输入学生成绩,: 65 78 96 98 91 84 79 83 74 81,1.2,矩阵与表达式,1.2.1,数据、变量名、算符与表达式,1,、数据格式,：,10,的幂为,e,加上正负数字：,1.062e-20 6.022e23,数字后直接加,i,或,j,表示虚数 ：,3.14i 5+3i,2,、算符,算术运算算符： *,/ ( ) sqrt( ),关系运算算符：、 、 、 、,逻辑运算算符：与,、或,、非,3,、表达式,从左至右、指数最先，乘除加减、括号提前。,例,1,：,6+4*32,ans =,42, x=(5+cos(47*pi/180)/(1+sqrt(7)-2i),例,2,：,计算表达式的值,并将结果赋给变量,x,4,、变量,命名规则,字母打头，后面可以为字母、数字、下划线等，但不 能为空格符、标点。,区分大小写,Abc ABc,例：,MYvar12,、,12Myvar_,、,MY_Var12,、,_MyVar12, ,保存和查询,所有变量都保存在工作内存空间,workspace,中。,whos,查询、,clear,清除。,MATLAB,的保留常量,ans,预设的计算结果变量名,i,或,j,虚数单位,eps,正,的极小值,=2.2204e-16,inf,值，如,1/0,pi,3.1415926,NaN,不定值，如,0/0, / ,5,、函数,建造函数，三种方法：,inline,指令建造在线函数,用符号变量建造,用,M,文件建造,inline,指令,函数名,=inline,（,函数内容,，自变量列表）,例：,建立一个带参数,的,x,的函数,ff,=cos,2,x,2,+,并想得到,x,3,，,2.1,时的,函数值。, ff=inline(cos(x2)2+theta,x,theta), ff(3,2.1),常用函数,:,abs,绝对值,sqrt,平方根,exp,指数,log,自然对数,sin,正弦,cos,余弦,tan,正切,asin,反正弦,sinh,双曲正弦特殊函数：,bessel,贝塞尔函数,gamma,伽马函数,如果对一系列数求函数值，或变量是矢量，可将函数,矢量化。,方法,1,：,使用指令,vectorize,aaa=vectorize(ff),方法,2,：,输入时使用对数组运算的算符, fff=inline(cos(x.2).2+theta,x,theta),fff =,Inline function:,fff(x,theta) = cos(x.2).2+theta,求,x=3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0,时对应的函数值, x=3:0.1:4,A=aaa(x,2.1),B=fff(x,2.1),1.2.2,矩阵,1,、定义矩阵,方法,1,：,直接输入法，用空格或逗号分割同一行的元素，用分号结束一行元素，用方括号括起整个矩阵。,数据分类：标量（,scalar,）、,矢量（,vector,）、,矩阵（,matrix,）、,列阵（,array,）, B=16 3 2 13; 5 10 11 8; 9 6 7 12;4 15 14 1,B =,16 3 2 13,5 10 11 8,9 6 7 12,4 15 14 1, A=1 2 ,6 9 8 ,A =,1 2 6 9 8,使用矩阵编辑器！,方法,2,：,用,Matlab,的指令函数生成,zeros,零矩阵,ones,全部元素为,1,的矩阵,eye,单位矩阵,rand,均匀分布的随机数矩阵,magic,幻方阵,randn,n,维正态分布的随机数矩阵,cell,空矩阵,diag,对角矩阵或提取对角元,linspace,等间距的矢量,logspace,对数等分的行矢量,Diag(a,k),k=o,是主对角线，,k 0,在主对角线上，,k Z=zeros(2,4),Z =,0 0 0 0,0 0 0 0, F=5*ones(3,3),F =,5 5 5,5 5 5,5 5 5, R=randn(4,4),R =,-0.4326 -1.1465 0.3273 -0.5883,-1.6656 1.1909 0.1746 2.1832,0.1253 1.1892 -0.1867 -0.1364,0.2877 -0.0376 0.7258 0.1139, a=1,3,5;, diag(a),ans =,1 0 0,0 3 0,0 0 5, diag(a,-1),ans =,0 0 0 0,1 0 0 0,0 3 0 0,0 0 5 0, diag(a,1),ans =,0 1 0 0,0 0 3 0,0 0 0 5,0 0 0 0, magic(3),ans =,8 1 6,3 5 7,4 9 2, eye(3),ans =,1 0 0,0 1 0,0 0 1,LINSPACE(x1, x2, N),在,x1, x2,产生,N,个等间距的点,linspace,等间距的矢量, linspace(2,5,6),ans =,2.0000 2.6000 3.2000 3.8000 4.4000 5.00000,Logspace(x1,x2,n),生成从,10,x1,到,10,x2,包含,n,个数据的矢量, logspace(1,3,3),ans =,10 100 1000,logspace,对数等分的行矢量, cell(3),ans =, , , ,Magic(n),为元素,1,到,n2,之间，行、列、对角线,的和都相等的,n,维矩阵,作业,1,、,计算表达式的值,并将结果赋给变量,x,2,、建立一个带参数,t,的,x,的函数,求,t=32, x=30 40 50 60 70 80 90 100,时对应的函数值。,3,、建立一行矢量为,1,到,10,间等间距的,8,个数。,4,、用,help,指令查询,cumsum,指令的用法，建立一个,33,的矩阵并用,cumsum,指令求各列元素的累计和。,5,、调用,Demos,窗口，选择其中各个条目并阅读窗口的,说明，浏览,MATLAB,的基本功能。,再见,欢 迎 学 习,微机应用软件,1.2.2,矩阵,1,、定义矩阵,方法,1,：,直接输入法,方法,2,：,用,Matlab,的指令函数生成,linspace,等间距的矢量,linspace(x1, x2, N),在,x1, x2,产生,N,个等间距的点,logspace,对数等分的行矢量,logspace(x1,x2,n),生成从,10,x1,到,10,x2,包含,n,个数据的矢量,2,、标识矩阵元素,3,、修改矩阵,4,、矩阵操作的指令和算符,1.2.3,符号变量,1.2.4,其它数据结构,2,、标识矩阵元素,标识元素是指标识某个、某行或某列元素,例：,A =16 3 2 13,5 10,11,8,9 6 7 12,4 15 14 1,怎样标识,11,？,A(2,3)或A(10),B,1,B,4,B,7,B,2,B,5,B,8,B,3,B,6,B,9,B(k),注意：按列排列！,A,1,1,A,1,2,A,1,3,A,2,1,A,2,2,A,2,3,A,3,1,A,3,2,A,3,3,A( i,j),行标与列标,注意,：,a.,在,查找,矩阵元素,A( i,j),时，若,i,j,超出了矩阵行数和列数，则显,示出错信息。,b.,储存,元素,A( i,j),时，若,i,j,超出,了矩阵行数和列数，则矩阵自动,扩充并以零填补没有输入的元素。,1.2.2,矩阵,冒号算符,用法,1,：生成矢量、矩阵, M=1:10,%,步长为,1,的行矢量,M =,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10, B=0:pi/4:pi,%,步长为,/4,的行矢量,B=,0 0.7854 1.5708 2.3562 3.1416,用法,2,：表示矩阵的一部分或者一行或一列的全部元素,如：,A( :, j),矩阵,A,的第,j,列,A( i,: ),矩阵,A,的第,I,行,A(1 :k, j),矩阵,A,的第,j,列的前,k,个元素,小知识：,end,表示最后一个元素,如：,A(end, j),矩阵,A,的第,j,列的,最后一个元素,A( i,end ),矩阵,A,的第,I,行的最后一个元素, M(10:-1:4),%M,的第十个元素和第四个元素的倒排,ans =,10 9 8 7 6 5 4,？,A(end,:),3,、修改矩阵合并,用一些小矩阵建造大矩阵, A=1 2 3;4 5 6;7 8 9,A =,1 2 3,4 5 6,7 8 9, B=A A+10;A+20 A+30,B =,1 2 3 11 12 13,4 5 6 14 15 16,7 8 9 17 18 19,21 22 23 31 32 33,24 25 26 34 35 36,27 28 29 37 38 39,删除行或列, A(:,2)=,删去第,2,列,A =,1 3,4 6,7 9,注意：,如果从矩阵中删去一个,元素，则其不成为一个矩阵, A(1,2)= ,可以用一个指标的表达式提取、,删,去一个元素或一个元素序列，剩,余元素将构成一个列矢量,., A(2:2:6),ans =,4 3 9, A(2:2:6)= ,A =,1 7 6,？, B1=B(1:2:end,:),逻辑下标,可以利用具有逻辑运算功能的指令过滤数据, x=2.1 1.7 1.6 1.5 NaN 1.9 1.8 1.5 5.1 1.8 1.4 2.2, isfinite(x),%,判断元素是否为有限数,ans =,1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1, x=x(finite(x),有限数取值，非数或无穷数去掉, x=x(abs(x-mean(x) B=pi/6,pi/4;pi/3 pi/2;, sin(B),%,标量函数,ans =,0.5000 0.7071,0.8660 1.0000, A=1 2 3;,4 5 6;,7 8 9;,max(A),%,矢量函数,ans =,7 8 9, sum(A),各列元素之和,ans =,12 15 18, prod(A),各列元素之积,ans =,28 80 162, mean(A),各列的平均值,ans =,4 5 6, B=2 4 6;,1 5 9;,7 3 8, median(B),各列的中位元素,ans =,2 4 8,矩阵函数, G=1 8 4;6 8 8;3 5 8;, X,V=eig(G),求矩阵本征值与本征函数,X =,-0.4681 -0.8920 -0.5321,-0.7173 0.4505 -0.4583,-0.5161 0.0378 0.7119,V =,17.6707 0 0,0 -3.2096 0,0 0 2.5390,求矩阵行列式的值, det(G),ans =,-144,求矩阵的逆, inv(G),ans =,-0.1667 0.3056 -0.2222,0.1667 0.0278 -0.1111,-0.0417 -0.1319 0.2778,两种算符,矩阵运算算符：按矩阵运算法则定义,数组运算算符：按矩阵的对应元素进行运算,共轭转置,加,减,乘,右除,左除,幂,矩阵运算算符,A,*,/,数组运算算符,A.,.*,./,.,.,数组运算,a:,数组与标量的四则运算, x=1 3 4;2 6 5;3 2 4;, a=2*x-2,a =,0 4 6,2 10 8,4 2 6, c=x/2,c =,0.5000 1.5000 2.0000,1.0000 3.0000 2.5000,1.5000 1.0000 2.0000,b:,数组间的四则运算,注意：,1,、参与运算的数组必须具有相同的维数。,2,、加、减不变，乘、除加点。, a=1 3 4;2 6 5;3 2 4;, b=2 3 1;4 1 2;4 5 3;, c=a+b,c =,3 6 5,6 7 7,7 7 7, c=a.*b,%,注意点乘,c =,2 9 4,8 6 10,12 10 12, c=a./b,%,注意点除,c =,0.5000 1.0000 4.0000,0.5000 6.0000 2.5000,0.7500 0.4000 1.3333,c:,数组的幂运算,(.), c=a.2,c =,1 9 16,4 36 25,9 4 16, c=a2,%,矩阵的幂运算,c =,19 29 35,29 52 58,19 29 38, c=a.b,数组的幂运算为各对,应元素间的运算,c =,1 27 4,16 6 25,81 32 64,a./b=b.a,矩阵运算：,矩阵的加减运算与数组运算相同,乘除运算要满足矩阵运算法则,., a=1 2 3;,2 3 4;, b=4 5;,1 3;,8 2;,c= a*b,c =,30 17,43 27, A=15 7 5;12 3 14;7 10 11;, B=6 7 3;11 14 13;4 10 9;, C=A*B,C =,187 253 181,161 266 201,196 299 250, AC,ans =,6.0000 7.0000 3.0000,11.0000 14.0000 13.0000,4.0000 10.0000 9.0000, C/B,ans =,15.0000 7.0000 5.0000,12.0000 3.0000 14.0000,7.0000 10.0000 11.0000,注意,：若,A*B=C,则,B=AC, A=C/B,矩阵的转置,对于实矩阵用（）符号或（,.,）求转置结果是一样的；然而对于含复数的矩阵，则（）将同时对复数进行共轭处理，而（,.,）则只是将其行列重排 。, A=1+3i 3+5i,2+4i 6+7i;, A,ans =,1.0000 - 3.0000i 2.0000 - 4.0000i,3.0000 - 5.0000i 6.0000 - 7.0000i, A.,ans =,1.0000 + 3.0000i 2.0000 + 4.0000i,3.0000 + 5.0000i 6.0000 + 7.0000i,1.2.3,符号变量,一、符号变量的生成,1,、用单引号生成, f=exp(x),f =,exp(x), g=a*x2+b*x+c=0,g =,a*x2+b*x+c=0, h=D2y-2Dy-3y=0,h =,D2y-2Dy-3y=0,2,、用函数,sym,来生成, x=sym(ax+b=0),x =,ax+b=0, A=sym(a b c;d e f),A =, a, b, c, d, e, f,3,、用函数,syms,来生成, syms x y z a, g=sin(x)/x,g =,sin(x)/x,什么是符号运算（与数值运算的区别）,数值运算中必须先对变量赋值，然后才能参与运算。,符号运算无须事先对独立变量赋值，运算结果以标准的符号形式表达。,2,、符号变量的运算, syms x, g=sin(x)/x,g =,sin(x)/x, limit(g,0),求极限,ans =,1, subs(g,x,0.5),赋值,ans =,0.9589,Subs(,函数名，变量，数值）,用符号变量生成带参数的函数,例：,FF=cos,2,(x,2,)+,求出在,x=3, =2.1,时的函数值并求导。, GG=sym(cos(x2)2+theta),GG =,cos(x2)2+theta, subs(GG,x,theta,3,2.1),ans =,2.9302,或：, syms x theta, subs(GG,x,theta,3,2.1), diff(GG,x),求导,ans =,-4*cos(x2)*sin(x2)*x,diff(,函数名，变量）,一、列阵,1,、结构,1.2.4,其它数据结构,列阵,(array),储存多维数组；,数据网格,(meshgrid),储存二元或三元数据对；,基元列阵,(cell),储存大小不同的矩阵；,结构数组,(struct),可,同时存入字符串和数据；,字符串,(char),存入字符和文本。,A( i, j, k),行列层,A,1,1,A,1,2,A,1,3,A,2,1,A,2,2,A,2,3,A,3,1,A,3,2,A,3,3,A,1,1,A,1,2,A,1,3,A,2,1,A,2,2,A,2,3,A,3,1,A,3,2,A,3,3,A,1,1,A,1,2,A,1,3,A,2,1,A,2,2,A,2,3,A,3,1,A,3,2,A,3,3,A,1,1,A,1,2,A,1,3,A,2,1,A,2,2,A,2,3,A,3,1,A,3,2,A,3,3,A,1,1,A,1,2,A,1,3,A,2,1,A,2,2,A,2,3,A,3,1,A,3,2,A,3,3,A,1,1,A,1,2,A,1,3,A,2,1,A,2,2,A,2,3,A,3,1,A,3,2,A,3,3,A( i,j),A,1,1,A,1,2,A,1,3,A,2,1,A,2,2,A,2,3,A,3,1,A,3,2,A,3,3,A,1,1,A,1,2,A,1,3,A,2,1,A,2,2,A,2,3,A,3,1,A,3,2,A,3,3,A( i, j, k),行列层,块,块,堆,A( i, j, k,l),例：,A(3,2,1,2),表示？,约定：,Dim,维 ：,1,列；,2,行；,3,层；,4,块,2,、列阵的生成,指令,1,：,cat(dim,A1,A2,A3,),沿着,dim,指定的方向将,A1,A2,A3,组合成一个矩阵, A=1 3;5 7,A =,1 3,5 7, B=2 4;6 8,B =,2 4,6 8, cat(1,A,B),ans =,1 3,5 7,2 4,6 8, cat(2,A,B),ans =,1 3 2 4,5 7 6 8, D=cat(3,A,B),D(:,:,1) =,1 3,5 7,D(:,:,2) =,2 4,6 8,指令,2,：,repmat(A,m,n,p,),将,矩阵,A,在列、行、层,的方向分别复制,m,n,p,次,例：, repmat(A,2,3,3),二、数据网格, Z=(X.2+Y.2),surf (X,Y,Z)%,画出三维立体图,Z =,0 1 4 9,1 2 5 10,4 5 8 13,9 10 13 18,0,3,1,3,2,3,3,3,0,2,1,2,2,2,3,2,0,1,1,1,2,1,3,1,0,0,1,0,2,0,3,0,0 1 2 3,3 2 1, x=0 1 2 3;y=0 1 2 3;, X,Y=meshgrid(x,y),X =,0 1 2 3,0 1 2 3,0 1 2 3,0 1 2 3,Y =,0 0 0 0,1 1 1 1,2 2 2 2,3 3 3 3,1,、定义：把平面上区域内所有,点的坐标表示出来的,2,个矩阵叫,平面上的数据网格。,2,、指令：,X,Y=meshgrid(x,y),X,Y=meshgrid(x),X,Y,Z=meshgrid(x,y,z),三、基元列阵,基元列阵可以将不同的数据按照与矩阵相似的结构,组织起来加以应用。,1,、,生成方法：,可直接赋值，使用大括号定义，元素,之间用逗号隔开。,例：,G1,1=3;,G1,2=1,2;3,5;,G2,1=good;,G2,2=sin(x);,G,G =, 3 2x2 double,good sin(x),或：,A=1,2;3,5;,G=3,A; good, sin(x),2,、,调用方法：,使用大括号标识，,若使用小括号标识，则显示该元,素的压缩形式。,G1,2,ans=,2,3 5,G(1,2),ans=,2x2 double,四、结构数组,结构数组可以将不同的数据组织在一起，还可以为它,们赋予名称，类似于关系数据库中数据的结构。,例：,s=struct(type,big,little,color,red,x,3 4),s =,1x2 struct array with fields:,type,color,x, s(1),%,查看第一组数据,ans =,type: big,color: red,x: 3, s(2),%,查看第二组数据,ans =,type: little,color: red,x: 4,指令：,生成语句,s=struct(field1,values1, field2,values2,),查询语句,s(n),五、字符和文本,1,、输入和查询：使用单引号输入。每个字符（包括空格）,都是字符数组的一个元素。, s=Hello world,s =,Hello world, a=double(s),%,把字符转换为数（,ASCII,码）,a =,72 101 108 108 111 32 119 111 114 108 100, s=char(a),%,把,ASCII,码转换为字符,s =,Hello world,2,、转换, s(1,7),%,查询第,7,个元素,ans =,w,3,、利用方括号合并, a=s(7:11),b=s(1:6),v=b,a,作业,1,、建立一个,35,的矩阵,A,，将,A,的第,1,、,2,列元素赋值给,B,，,然后删除,A,的第,2,列元素。将矩阵,B,的每个元素加,10,赋给,C,。,2,、,建立从,1,到,100,步长为,8,的行矢量赋给,X,，,提取前,5,个元素赋给,w,，,再删去,X,的最后一个元素。,3,、使用下列指令对矩阵,A,进行操作：,sum prod max mean std,fliplr,rot90 median sort,4,、,建立两个,33,的矩阵，对它们进行数组和矩阵的乘除运算，并比较不同之处。,5,、建立一个字符串向量，然后取第,15,个字符组成的子字符串。,6,、运行课本第,21,页和第,26,页的例子。,再见,?,建立一个带参数,t,的,x,的函数,求,t=32, x=30 40 50 60 70 80 90 100,时对应的函数值,fff=inline(9.*x.2./5+t,x,t), x=linspace(30,100,8), A=fff(x,32),