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单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,二、几个初等函数的麦克劳林公式,第三节,一、泰勒公式的建立,三、泰勒公式的应用,应用,目的用多项式近似表示函数,.,理论分析,近似计算,泰勒公式,第,三,章,特点,:,一、泰勒公式的建立,以直代曲,在微分应用中已知近似公式,:,需要解决的问题,如何提高精度,?,如何估计误差,?,x,的一次多项式,1.,求,n,次近似多项式,要求,:,故,令,则,2.,余项估计,令,(,称为余项,) ,则有,公式,称为 的,n,阶泰勒公式,.,公式,称为,n,阶泰勒公式的,拉格朗日余项,.,泰勒,(Taylor),中值定理,:,阶的导数,时,有,其中,则当,泰勒,公式,称为,n,阶泰勒公式的,佩亚诺,(,Peano,),余项,.,在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为,注意到,*,可以证明,:, 式成立,特例,:,(1),当,n,= 0,时, 泰勒公式变为,(2),当,n,= 1,时, 泰勒公式变为,给,出拉格朗日中值定理,可见,误差,称为,麦克劳林,(,Maclaurin,),公式,.,则有,在泰勒公式中若取,则有误差估计式,若在,公式成立的区间上,麦克劳林,由此得近似公式,二、几个初等函数的麦克劳林公式,其中,麦克劳林公式,其中,麦克劳林公式,麦克劳林公式,类似可得,其中,其中,麦克劳林公式,已知,其中,因此可得,麦克劳林公式,三、泰勒公式的应用,1.,在近似计算中的应用,误差,M,为,在包含,0 ,x,的某区间上的上界,.,需解问题的类型,:,1),已知,x,和误差限,要求确定项数,n,;,2),已知项数,n,和,x,计算近似值并估计误差,;,3),已知项数,n,和误差限,确定公式中,x,的适用范围,.,例,1.,计算无理数,e,的近似值,使误差不超过,解,:,已知,令,x,= 1,得,由于,欲使,由计算可知当,n,= 9,时上式成立,因此,的麦克劳林公式为,说明,:,注意舍入误差对计算结果的影响,.,本例,若每项四舍五入到小数点后,6,位,则,各项舍入误差之和不超过,总误差限为,这时得到的近似值,不能保证,误差不超过,因此计算时中间结果应比精度要求多取一位,.,例,2.,用近似公式,计算,cos,x,的近似值,使其精确到,0.005,试确定,x,的适用范围,.,解,:,近似公式的误差,令,解得,即当,时,由给定的近似公式计算的结果,能准确到,0.005,.,2.,利用泰勒公式求极限,例,3.,求,解,:,由于,用洛必达法则不方便,!,用泰勒公式将分子展到,项,3.,利用泰勒公式证明不等式,例,4,.,证明,证,:,+,内容小结,1.,泰勒公式,其中余项,当,时为,麦克劳林公式,.,2.,常用函数的麦克劳林公式,( P142 P144 ),3.,泰勒公式的应用,(1),近似计算,(3),其他应用,求极限,证明不等式 等,.,(2),利用多项式逼近函数,例如,泰勒多项式逼近,6,4,2,2,4,6,4,2,2,4,O,泰勒多项式逼近,6,4,2,2,4,6,O,4,2,2,4,思考与练习,计算,解,:,原式,第四节,作业,P145 1 ;,4 ; 5 ; 7 ; 8;,*,10,(1), (2),泰勒,(1685,1731),英国数学家,他,早期是牛顿学派最,优秀的代表人物之一,重要著作有,:,正的和反的增量方法,(1715),线性透视论,(1719),他在,1712,年就得到了现代形式的泰勒公式,.,他是,有限差分理论的奠基人,.,麦克劳林,(1698,1746),英国数学家,著作有,:,流数论,(1742),有机几何学,(1720),代数论,(1742),在,第一本著作中给出了后人以他的名字命名的,麦克劳林级数,.,证,:,由题设对,备用题,1.,有,且,点,下式减上式,得,令,两边同乘,n,!,=,整数,+,假设,e,为有理数,(,p , q,为正整数,) ,则当,时,等式左边为整数,;,矛盾,!,2.,证明,e,为无理数,.,证,:,时,当,故,e,为无理数,.,等式右边不可能为整数,.,
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