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单击此处编辑母版文本样式,课 前 预 习,课 堂 互 动,课 堂 反 馈,*,1函数与方程,1.1利用函数性质判定方程解的存在,1,学习目标,1.了解函数的零点与方程的根的关系；2.会判断函数零点的存在性；3.初步理解函数与方程思想,2,知识点一函数的零点,定义：函数,y,f,(,x,)的图像与横轴的交点的_称为这个函数的零点,横坐标,3,【预习评价】,1,函数的零点是点吗？,提示,函数,y,f,(,x,)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，因此函数的零点不是点，是方程,f,(,x,)0的解，即函数的零点是一个实数,4,2,结合所学的基本初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数)，思考是否所有的函数都有零点？并说明理由,提示,不一定因为函数的零点就是方程的根，但不是所有的方程都有根，所以说不是所有的函数都有零点,如：指数函数，其图像都在,x,轴的上方，与,x,轴没有交点，故指数函数没有零点；对数函数有唯一一个零点,5,知识点二函数的零点、方程的根、函数图像之间的关系,方程,f,(,x,)0有实数根,函数,y,f,(,x,)的图像与_有交点,函数,y,f,(,x,)_,x,轴,有零点,6,答案,D,7,2,函数,f,(,x,),x,2,5,x,的零点是_,解析,令,x,2,5,x,0，解得,x,1,0或,x,2,5，所以函数,f,(,x,),x,2,5,x,的零点是0和5,答案,0和5,8,知识点三函数零点存在性的判断,若函数,y,f,(,x,)在闭区间,a,，,b,上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即_，则在区间(,a,，,b,)内，函数,y,f,(,x,)_零点，即相应的方程,f,(,x,)0在区间(,a,，,b,)内至少有一个实数解,f,(,a,),f,(,b,)0，那么函数,y,f,(,x,)在区间(,a,，,b,)内一定没有零点吗？,提示,不一定如,y,x,2,1在区间(2,2)上有两个零点，但,f,(2),f,(2)0,10,2,结合教材P116例3，你认为求函数零点个数的常用方法有哪些？,提示,方法一利用方程的根，转化为解方程，方程有几个根相对应的函数就有几个零点,方法二利用函数,y,f,(,x,)的图像与,x,轴的交点的个数，从而判定零点的个数,方法三结合函数的单调性若函数在区间,a,，,b,上的图像是一条连续不断的曲线，利用,f,(,a,),f,(,b,)0，结合单调性可判定,y,f,(,x,)在(,a,，,b,)上零点的个数,方法四转化成两个函数图像的交点问题,11,题型一求函数的零点,12,13,规律方法,求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程,f,(,x,)0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数,y,f,(,x,)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点,14,【训练1】,函数,y,x,1的零点是(),A(1,0)B0,C1 D不存在,解析,令,y,x,10，得,x,1，故函数,y,x,1的零点为1,答案,C,15,【例2】,已知函数,f,(,x,),x,3,x,1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是(),A(3,4)B(2,3),C(1,2)D(0,1),解析,f,(0)10，,f,(1)10，,f,(3)230，,f,(4)590,f,(1),f,(2)0，此零点一定在(1,2)内,答案,C,题型二判断函数零点所在区间,16,规律方法,1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图像,2要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若,f,(,x,)图像在,a,，,b,上连续，且,f,(,a,),f,(,b,)0，则,f,(,x,)在(,a,，,b,)上不一定没有零点,17,【训练2】,函数,f,(,x,)e,x,x,2的零点所在的区间是(),A(2，1)B(1,0),C(0,1)D(1,2),解析,f,(0)e,0,0210，,f,(0),f,(1)0，,f,(,x,)在(0,1)内有零点,答案,C,18,题型三判断函数零点的个数,【例3】,判断函数,f,(,x,)ln,x,x,2,3的零点的个数,解方法一,函数对应的方程为ln,x,x,2,30，所以原函数零点的个数即为函数,y,ln,x,与,y,3,x,2,的图像交点个数,在同一直角坐标系下，作出两函数的图像(如图),由图像知，函数,y,3,x,2,与,y,ln,x,的图像只有一个交点从而方程ln,x,x,2,30有一个根，,即函数,y,ln,x,x,2,3有一个零点,19,方法二,由于,f,(1)ln 11,2,320，所以,f,(1),f,(2)0),的区间根问题,23,24,25,【探究2,】已知关于,x,的一元二方程,x,2,2,mx,2,m,10有两个不相等的实数根，其中一根在区间(1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求,m,的取值范围,26,【探究3,】若关于,x,的方程,x,2,mx,m,10有一正根和一负根，且负根的绝对值较大，求实数,m,的取值范围,27,【探究4,】关于,x,的方程,ax,2,2(,a,1),x,a,10，求,a,为何值时：,(1)函数,f,(,x,),ax,2,2(,a,1),x,a,1有且仅有一个零点；,(2)方程的一根大于1，一根小于1,28,29,30,规律方法,1.在解决二次函数的零点分布问题时要结合草图考虑以下四个方面：(1),与0的关系；(2)对称轴与所给端点值的关系；(3)端点的函数值与零的关系；(4)开口方向,2设,x,1,，,x,2,是实系数一元二次方程,ax,2,bx,c,0(,a,0)的两个实数根，则,x,1,，,x,2,的分布范围与一元二次方程系数之间的关系如下表所示.,31,32,33,34,课堂达标,答案,D,35,2对于函数,f,(,x,)，若,f,(1),f,(3)0，则(),A方程,f,(,x,)0一定有实数解,B方程,f,(,x,)0一定无实数解,C方程,f,(,x,)0一定有两实数解,D方程,f,(,x,)0可能无实数解,解析,函数,f,(,x,)的图像在(1,3)上未必连续，故尽管,f,(1),f,(3)0，但未必函数,y,f,(,x,)在(1,3)上有实数解,答案,D,36,3方程2,x,x,2,0的解的个数是_,解析,在同一直角坐标系中画出函数,y,2,x,及,y,x,2,的图像，可看出两图像有三个交点，故2,x,x,2,0的解的个数为3,答案,3,4已知函数,f,(,x,),x,2,(,a,2,1),x,(,a,2)的一个零点比0大，一个零点比0小，则实数,a,的取值范围为_,解析,由题意可知,f,(0),a,20，解得,a,2,答案,(,，2),37,38,1,在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点,2方程,f,(,x,),g,(,x,)的根是函数,f,(,x,)与,g,(,x,)的图像交点的横坐标，也是函数,y,f,(,x,),g,(,x,)的图像与,x,轴交点的横坐标,3函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础,课堂小结,39,
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