介质格林函数法()

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二层,第三层,第四层,第五层,*,第,24,章,介质格林函数法,(),Dielectric Greens Function Method,先归纳一下前面有关方法论的工作,图 24-1 研究问题的方法,一、,Green,函数的基本概念,1.函数,函数是广义函数,(24-1),(24-3),(24-2),函数有各种物理解释，其中之一是“概率论”中必然事件的概率密度。,2.,Green,函数,Green,函数解决一类普遍问题，不仅是电磁场，而且在力学、流体、空气动力诸方面都有应用，其问题提法是：复杂区域,V，,在内部有任意源,g,，,已知场,u,服从,(24-4),一、,Green,函数的基本概念,图 24-2 (,x),函数,一、,Green,函数的基本概念,图 24-3,Green,函数问题,一、,Green,函数的基本概念,对于 (,r/r),特殊源所对应的是,Green,函数，有,(24-5),为了普遍化，我们把 函数的归一性积分写成,(24-6),Dirac,内积符号，表示积分或，注意 对 起作用。,L,对 起作用，可以建立恒等式,一、,Green,函数的基本概念,(24-7),根据,Operater,的线性有,(24-8),对比,可以得到,(24-9),一、,Green,函数的基本概念,归结出：只要求出某一类(特定支配方程和边界条件)问题的,Green,函数，那么，这一类问题中任意源,在点 造成的场 只需由 和 函数的广义内积求得。,最简单的如三维静场,(24-10),若简洁写成,一、,Green,函数的基本概念,可知对应的,Green,函数是,(24-11),一、,Green,函数的基本概念,从更广义的物理方法论来理解：式(24-5)可以看成是(24-4)即原问题的伴随问题，若令,且,L,a,=L(,术语上称之为自伴)，也即,(24-12),按这一观点,一、,Green,函数的基本概念,由于 函数的特殊性质，实际上式(24-13)可进一步写成,(24-14),而式(24-14)正是互易定理的表达形式。,(24-13),如果问题的区域是分层媒质，则可用镜象法求出,Green,函数。,采用镜象法的基础是,Maxwell,方程组的唯一性定理。,它可以叙述为：在给定区域符合微分方程和边界条件的解是唯一的。因此，也可以反过来说，只要符合方程和边界条件，则这个解必定正确。,所谓镜像法，其第一要点是,分区,求解；第二要,二、镜象法,点是在求解区域之外添加镜象电荷代替边界，使之符合求解区域,之内,的方程及边界条件。,例1 半无限空间导体前的点电荷(也即 源)。,解 先写出分区解和分区边界条件,支配方程,(24-15),二、镜象法,边界条件,图 24-4 导体镜像法分区求解,二、镜象法,其中，为导体面电荷。很明确：,解是分区的。,现在采用镜像法,根据图24-5，很易看出：,(24-17),式(24-17)满足支配方程(24-15)是显然的。,二、镜象法,下边考察其边界条件情况。,(1)当,x=0,二、镜象法,(2),再研究导数条件,求解,时，在,Region,加镜像电荷(,q),求解,时，在,Region,加镜像电荷(,q),图 24-5 镜像电荷均加在求解区域之外,二、镜象法,对比边界条件式(24-16)，易知,(24-18),为了验证,的面电荷密度性质，验证下列积分，采用,yoz,的极坐标，即,dydz,=,rdrd,(24-19),二、镜象法,作为副产品易知，这种问题的,Green,函数,于是,(24-21),上面整个过程即采用镜像法求取,Green,函数。,二、镜象法,图 24-6,yoz,的极坐标,二、镜象法,二维问题的介质,Green,函数的一般模型如图24-7。在右半空间,d,处放一无限长线电荷，密度为,。,三、二维介质,Green,函数,图 24-7 介质镜像法,同样，分区域求解,支配方程,(24-22),边界条件,(24-23),三、二维介质,Green,函数,求解,Regiou,在假设,求解,Region,在假设,镜像,图 24-8 介质分区域求解,，,三、二维介质,Green,函数,所有镜像均在求解区域外。,Note：,在我们假设中，两空间均是,0,，当然也可以,是,0,r,。,求解,Region,时，实际上包括真实电荷,和镜像。,这样模型满足支配方程是没有问题的，现写出,(24-24),三、二维介质,Green,函数,也可以改写为,(24-25),式中,(24-26),三、二维介质,Green,函数,现在，让我们考察解与边界条件的关系。,于是由函数边界条件有,(24-27),三、二维介质,Green,函数,导数边界条件,三、二维介质,Green,函数,又得到 (24-28),解方程得,所以，结果有,三、二维介质,Green,函数,很明显看出：是负电荷，而是正电荷(原因是,r,1)。,PROBLEMS 24,一、计算 时，微带,W/b,值。,二、低介电常数遭到带,求介质衰线 。,