《概率论与数理统计》课件之2

Ch1-,*,1.3 频率与概率,设在,n,次试验中，事件,A,发生了,m,次，,频率,则称 为事件,A,发生的,频率,39,频率的性质,事件,A,B,互斥，则,可推广到有限个两两互斥事件的和事件,非负性,归一性,可加性,稳定性,某一定数,40,投一枚硬币观察正面向上的次数,n,=4040,n,H,=2048,f,n,(,H,)=0.5069,n,=12000,n,H,=6019,f,n,(,H,)=0.5016,n,=24000,n,H,=12012,f,n,(,H,)=0.5005,频率稳定性的实例,蒲丰(,Buffon,)投币,皮尔森(,Pearson,)投币,41,例,Dewey G.,统计了约438023个英语单词,中各字母出现的频率,发现各字母出现,的频率不同：,A:0.0788 B:0.0156 C:0.0268 D:0.0389,E:0.1268,F:0.0256 G:0.0187 H:0.0573,I:0.0707 J:0.0010 K:0.0060 L:0.0394,M:0.0244 N:0.0706 O:0.0776 P:0.0186,Q:0.0009,R:0.0594 S:0.0634,T:0.0987,U:0.0280 V:0.0102 W:0.0214 X:0.0016,Y:0.0202,Z:0.0006,42,概率的,统计定义,概率的定义,在相同条件下重复进行的,n,次,试验中,事件,A,发生的频率稳定地在某一,常数,p,附近摆动,且随,n,越大摆动幅度越,小,则称,p,为事件,A,的概率,记作,P,(,A,).,对本定义的评价,优点：直观,易懂,缺点：粗糙,模糊,不便,使用,43,设,是,随机试验,E,的,样本空间，若能,找到一个法则，使对于,E,的每一事件,A,赋,于一个实数，记为,P,(,A,),称之为事件,A,的,概率，这种赋值满足下面的三条公理：,非负性：,归一性：,可列可加性：,其中 为两两互斥事件，,概率的公理化理论由前苏联数学,家柯尔莫哥洛夫1933年建立的,概率的,公理化定义,公理化定义,44,概率的性质,有限可加性:设,两两互斥,若,45,对任意两个事件,A,B,有,B,A,B=AB+,(,B A,),P,(,B,),=P,(,AB,),+,P,(,B A,),B-A,AB,46,加法公式：对任意两个事件,A,B,有,推广,：,47,一般,：,右端共有 项.,48,例1,小王参加“智力大冲浪”游戏,他能答,出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2,两类问题都能答出的概率为0.1.求小王,解,事件,A,B,分别表示“能答出甲,乙类问题”,(1),(1)答出甲类而答不出乙类问题的概率,(2)至少有一类问题能答出的概率,(3)两类问题都答不出的概率,(2),(3),例1,49,课后同学问：,例1 中小王他能答出第一类问题的概,率为0.7,答出第二类问题的概率为0.2,两,类问题都能答出的概率为0.1.为什么不是,？,若是的话,则应有,而现在题中并未给出这一条件.,在,1.4,中将告诉我们上述等式成立的,条件是：事件 相互独立.,50,例2,设,A,B,满足,P,(,A,)=0.6,P,(,B,)=0.7,在何条件下，,P,(,AB,),取得最大(小)值？,最大(小)值是多少？,解,最小值在 时取得,最小值,最大值,最大值在 时取得,例2,51,课上有同学提问,最小值是否正确？,例2 中回答当 时,取得,这相当于问如下命题是否成立,答：不成立！,式是“羊肉包子打狗”有去路,没回路,为什么呢？学了几何概型便会明白.,52,设 随机试验,E,具有下列特点：,基本事件的个数有限,每个基本事件等可能性发生,则称,E,为,古典(,等可能)概型,古典概型中概率的计算：,记,则,概率的,古典定义,古典概型,1.4 等可能(古典,),概型,53,例3,袋中有,a,只白球，,b,只红球，从袋中按,不放回与放回两种方式取,m,个球（),求其中恰有,k,个（）白球的概率,解,（1）,不放回情形,设,E,:,球编号,任取一球,记下颜色,放在一边，重复,m,次,记事件,A,为,m,个球中恰有,k,个白球，则,例3,54,则,55,又解,设,E,1,:,一次取,m,个球,记下颜色,记事件,A,为,m,个球中有,k,个白球，则,不放回地逐次取,m,个球,与一,次任取,m,个球算得的结果相同.,因此,称,超几,何分布,56,（,2,）,放回情形,E,2,:,球编号,任取一球,记下颜色,放回去,重复,m,次,记,B,为取出的,m,个球中有,k,个白球,则,称,二项分布,57,设有,k,个不同的球,每个,球等可能地落入,N,个盒子中（）,设,每个盒子容球数无限,求下列事件的概率:,（1）某指定的,k,个盒子中各有一球；,（4）恰有,k,个盒子中各有一球；,（3）某指定的一个盒子没有球,；,（2）某指定的一个盒子恰有,m,个球(),（5）至少有两个球在同一盒子中；,（6）每个盒子至多有一个球.,例4,（分房模型）,例4,58,解,设 (1)(6)的各事件分别为,则,59,例5,“分房模型”的应用,生物系二年级有,n,个人，求至少有两,人生日相同（设为事件,A,),的概率.,解,为,n,个人的生日均不相同,这相当于,本问题中的人可被视为“球”，365天为,365只“盒子”,若,n=,64，,每个盒子至多有一个球.由例4（6）,例5,60,解,例6,在0,1,2,3,9中不重复地任取四个数，,求它们能排成,首位非零,的四位偶数的概率.,设,A,为“,能排成,首位非零,的四位偶数”,四位,偶数的末位为偶数,故有 种可能,而前三位数有 种取法,由于首位为零的,四,位数有,种取法,所以有利于,A,发生的取,法共有 种.,例6,61,解,设,A,表示事件“,n,次取到的数字的乘积,能被10整除”,设,A,1,表示事件“,n,次取到的数字中有偶数”,A,2,表示事件“,n,次取到的数字中有5”,A=A,1,A,2,例7,在1,2,3,9中重复地任取,n,(),个数,求,n,个数字的乘积能被10整除的概率.,例7,62,63,1,o,明确所作的试验是等可能概型,有时需,设计符合问题要求的随机试验,使其成为,等可能概型.,3,o,计算古典概率时须注意应用概率计算的有关公式,将复杂问题简单化.如例7.,2,o,同一题的样本空间的基本事件总数 随试验设计的不同而不同,如 例3不放回试验的两种不同设计.一般 越小越好.,计算古典概率注意事项,64,若,P(A)0.01,则称,A,为小概率事件,.,小概率事件,一次试验中小概率事件一般是不,会发生的.若在一次试验中居然发生了,则可怀疑该事件并非小概率事件,.,小概率原理,小概率原理,(即实际推断原理),65,例8,区长办公室某一周内曾接待过9次来,访,这些来访都是周三或周日进行的,是否,可以断定接待时间是有规定的？,解,假定办公室每天都接待，则,P(,9,次来访都在周三、日,)=0.0000127,这是小概率事件,一般在一次试验中不会发,发生.现居然发生了,故可认为假定不成立,从而推断接待时间是有规定的.,例8,66,柯尔莫哥洛夫,(,A.H.,1903-1987,),1939,年任苏联科学,院院士,.,先后当选美,法,意,荷,英,德 等国的外籍,院士 及皇家学会会员,.,为,20,世纪最有影响的俄,国数学家,.,俄国数学家,柯尔莫哥洛夫,67,柯尔莫哥洛夫,为开创现代数学的一,系列重要分支作出重大贡献,.,他建立了在测度论基础上的概率论,公理系统,奠定了近代概率论的基础,.,他又是随机过程论的奠基人之一,其主要工作包括,:,20,年代 关于强大数定律、重对数,律的基本工作,;,68,1933,年在,概率论的基本概念,一文中提出的概率论公理体系,(,希尔伯,特第,6,问题,),30,年代建立的马尔可夫过程的两,个基本方程,;,用希尔伯特空间的几何理论建立,弱平稳序列的线性理论,;,40,年代完成独立和的弱极限理论,经验分布的柯尔莫哥洛夫统计量等,;,69,在动力系统中开创了关于哈密顿系,统的微扰理论与,K,系统遍历理论,;,50,年代中期开创了研究函数特征的,信息论方法,他的工作及随后阿诺尔德,的工作解决并深化了希尔伯特第,13,问题,用较少变量的函数表示较多变量的,函数,;,60,年代后又创立了信息算法理论,;,70,1980,年由于它在调和分析,概率论,遍历理论 及 动力系统方面 出色的工作,获沃尔夫奖,;,他十分重视数学教育,在他的指引,下,大批数学家在不同的领域内取得重,大成就,.,其中包括,.M.,盖尔范德,B.,阿诺尔德,.,西奈依等人,.,他还非常重视基础教育,亲自领导,了中学 数学教科书的编写工作,.,71,每周一题,(2),问 题,已知,P,(,A,)=,P,(,B,)=,P,(,C,)=,1/4,P,(,AB,)=0,P,(,AC,)=,P,(,BC,)=1/6,通过做此题 你能发现什么问题？,第 2,周,则,A,B,C,全不发生的概率为,.,72,例9,某人的表停了，他打开收音机听电台,报时，已知电台是整点报时的，问他等待,报时的时间短于十分钟的概率,9点,10点,10分钟,几何概型,(,等可能概型的推广,),例9,73,几何概型,设样本空间为有限区域,若样本点,落入 内任何区域,G,中的概率与区域,G,的测度成正比,则样本点落入,G,内的概率,为,74,例10,设两船到达同一码头的时间是,随机的且各不相干,.,两船到达后需在,码头停留的时间分别是 1 与 2 小 时,试求一昼夜内,任一船到达时,需要等,待空出码头的概率,.,解,设船 1 与船 2 到达码头的瞬时为,x,与,y,，,0,x,24，,0,y,24,设 事件,A,表示“任一船到达时需要等,待空出码头”.,例10,75,x,y,24,24,y=x,y=x+,1,y=x-,2,76,用几何概型可以回答例 2 中,提出的“概率为 1 的事件为什么,不一定发生?”这一问题.,77,设试验为“随机地向边长为1 的,0 1,x,Y,1,正方形内投点”.事件,A,为“点投,由于点可能投在正方形的对角线上,所以事件,A,未必一定发生,.,求,在黄、蓝两三角形内”,如图,，,78,完全可加性,随机地向区间(0,1 投掷一个质点，,令事件,A,为该质点落入区间,事件,A,k,为该质点落入区间,0,1,（,A,(,0,(,(,(,(,(,附录,附录,79,80,排列组合有关知识复习,加法原理,：完成一件事情有,n,类方法，第,i,类,方法中有,m,i,种具体的方法，则完成这件事情,共有,种不同的方法,乘法原理,：完成一件事情有,n,个步骤，第,i,个,步骤中有,m,i,种具体的方法，则完成这件事情,共有,种不同的方法,81,排列,从,n,个不同的元素中取出,m,个(不放,回地）按一定的次序排成一排不同的,排法共有,全排列,可重复排列,从,n,个不同的元素中可重复地,取出,m,个排成一排,不同的排法有,种,82,不尽相异元素的全排列,n,个元素中有,m,类，,第,i,类中有,个相同的元素，,将这,n,个元素按一定的次序排成一排，,种,不同的排法共有,83,，不同的分法共有,多组组合,把,n,个元素分成,m,个不同的组,（组编号），各组分别有 个元,素，,种,组合,从,n,个不同的元素中取出,m,个(不放,回地）组成一组，不同的分法共有,84,将15 名同学(含3 名女同学,),平均分成,三组.求,(1)每组有1 名女同学(设为事件,A),的概率；,(2)3 名女同学同组(设为事件,B),的概率,解,（1）,（2）,例11,85,例12,把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入,标有1,2,3,4 的 4 个盒子中，每盒放一球，,求至少有一个盒子的号码与放入的球的号,码一致的概率,解,设,A,为所求的事件,设,A,i,表示,i,号球入,i,号盒，,i,=1,2,3,4,则,86,由广义加法公式,87,