2-5质点系的功能原理 机械能守恒定律

单击此处编辑母版标题样式,上页,下页,返回,退出,多个质点组成的质点系，既要考虑外力，又要考虑质点间的相互作用力（内力）。,m,1,m,2,两个,质点组成的系统,多个质点组成的系统,两个质点在外力及内力作用下如图所示：,推广,一、质点系,的,动能定理,2-5,质点系的功能原理 机械能守恒定律,对,m,1,运用质点动能定理：,对,m,2,运用质点动能定理：,m,1,m,2,作为系统考虑时，得到,推广,：,上述结论适用多个质点。,质点系动能定理：,所有外力与所有内力对质点系,作,功之和等于质点系总动能的增量。,外,内,因为对系统的内力来说，它们有保守内力和非保守内力之分，所以内力的功也分为保守内力的功 和非保守内力的功 。,二、质点系功能原理,系统的功能原理：,当系统从状态,1,变化到状态,2,时，它的机械能的增量等于外力的功与非保守内力的功的总和，这个结论叫做系统的功能原理。,又,所以,解：,解法一，根据动能定理，取汽车为研究对象，受力如图所示。,例题,2-1,6,一汽车的速度,v,0,=36 km/h,驶至一斜率为,0.010,的斜坡时，关闭油门。设车与路面间的摩擦阻力为车重,G,的,0.05,倍，问汽车能冲上斜坡多远？,上式说明，汽车上坡时，动能一部分消耗于反抗摩擦力作功，一部分消耗于反抗重力作功。因,F,f,=,F,N,=G,1,所以,（,1,）,（,2,）,s,G,G,1,G,2,F,N,F,f,按,题意，,tan,=0.010,，,表示斜坡与水平面的夹角很小，所以,sin,tan,，,G,1,G,并因,G=mg,上式可化成,（,3,）,或,代入已知数,值,得,解法二：根据功能原理，有,（,4,）,即,代入已知数值亦得,例题,2-17,在图中，一个质量,m,=2kg,的物体从静止开始，沿四分之一的圆周从,A,滑到,B,，,已知圆的半径,R,=4m,，,设物体在,B,处的速度,v,=6m/s,，,求在下滑过程中，摩擦力所作的功。,F,N,G,F,f,O,R,A,B,v,则,解：,解法一，根据功的定义，,以,m,为研究对象，受力分析,.,解法二，,根据,动能定理，,对物体受力分析，只有重力和摩擦力作功，,解法三，根据功能原理，,以物体和地球为研究对象,代入已知数字得,负号表示摩擦力对物体作负功，即物体反抗摩擦力作功,42.4 J,。,机械能守恒定律：,如果一个系统内只有保守内力做功，或者非保守内力与外力的总功为零，则系统内各物体的动能和势能可以互相转换，但机械能的总值保持不变。这一结论称为机械能守恒定律,。,常量,或,或,条件,定律,三、机械能守恒定律,一个孤立系统经历任何变化时，该系统的所有能量的总和是不变的，能量只能从一种形式变化为另外一种形式，或从系统内一个物体传给另一个物体。这就是,普遍的能量守恒定律,。,四、能量守恒定律,例题,2-18,起重机用钢丝绳吊运一质量为,m,的物体，以速度,v,0,作匀速下降，如图所示。当起重机突然刹车时，物体因惯性进行下降，问使钢丝绳再有多少微小的伸长？,(,设钢丝绳的劲度系数为,k,，,钢丝绳的重力忽略不计,),。这样突然刹车后，钢丝绳所受的最大拉力将有多大？,解,:,我们考察由物体、地球和钢丝绳所组成的系统。除重力和钢丝绳中的弹性力外，其他的外力和内力都不作功，所以系统的机械能守恒。,x,0,h,G,F,T,v,0,现在研究两个位置的机械能。在起重机突然停止的那个瞬时位置，物体的动能为,设这时钢丝绳的伸长量为,x,0,，,系统的弹性势能为,如果物体因惯性继续下降的微小距离为,h,，,并且以这最低位置作为重力势能的零位置，那么，系统这时的重力势能为,弹,重,所以，系统在这位置的总机械能为,在物体下降到最低位置时，物体的动能,E,k2,=0,，,系统的弹性势能应为,此时的重力势能,所以在最低位置时，系统的总机械能为,弹,重,弹,弹,重,按机械能守恒定律，应有,E,1,E,2,，,于是,由于物体作匀速运动时，钢丝绳的伸长,x,0,量满足,x,0,=,G/k,=,mg,/,k,，,代入上式后得,钢丝绳对物体的拉力,F,T,和物体对钢丝绳的拉力,F,T,是一对作用力和反作用力,。,F,T,和,F,T,的大小决定于钢丝绳的伸长量,x,，,F,T,=,kx,。,现在，当物体在起重机突然刹车后因惯性而下降，在最低位置时相应的伸长量,x,=,x,0,+,h,是钢丝绳的最大伸长量，所以钢丝绳所受的最大拉力,由此式可见，如果,v,0,较大,，,也较大。所以对于一定的钢丝绳来说，应规定吊运速度,v,0,不得超过某一限值。,例题,2-19,用一弹簧将质量分别为,m,1,和,m,2,的上下两水平木板连接如图所示，下板放在地面上。（,1,）如以上板在弹簧上的平衡静止位置为重力势能和弹性势能的零点，试写出上板、弹簧以及地球这个系统的总势能。（,2,）对上板加多大的向下压力,F,，才能因突然撤去它，使上板向上跳而把下板拉起来？,x,0,x,O,x,F,x,1,x,2,解,:,（,1,）参看图,(a),，,取上板的平衡位置为,x,轴的原点，并设弹簧为原长时上板处在,x,0,位置。系统的弹性势能,x,0,x,O,x,F,x,1,x,2,系统的重力势能,所以总势能为,考虑到上板在弹簧上的平衡条件，得,kx,0,=,m,1,g,，,代入上式得,可见，如选上板在弹簧上静止的平衡位置为原点和势能零点，则系统的总势能将以弹性势能的单一形式出现。,末态,初态,（,2,）参看图,(b),，,以加力,F,时为初态，撤去力,F,而弹簧伸长最大时为末态，则,x,0,x,O,x,F,x,1,x,2,根据能量守恒定律，应有,因恰好提起,m,2,时,，,k,(,x,2,-,x,0,)=,m,2,g,，,而,kx,1,=,F,kx,0,=,m,1,g,这就是说,F,(,m,1,+,m,2,),g,时，下板就能被拉起。,代入解得,解：,第一宇宙速度（环绕速度）,设在地球表面外某一高度的,P,点发射飞行器，发射速度为,v,1,，,方向和地面平行。当,v,1,的值使机械能,E,0,时，飞行器做椭圆运动。当,v,1,足够大时，使它能沿圆周,运行，这个速度就是第一宇宙速度。,例题,2-20,讨论宇宙航行所需要的三种,宇宙速度。,飞行器以,v,1,的环绕地球运动，所需向心力由万有引力提供，亦即,由此得,设地面上飞行器的重量为,mg,，地球的半径为,R,，则飞行器所受地球的引力等于重力，由此求得,环绕速度,则得,当 时,第一宇宙速度,第二宇宙速度（逃逸速度）,当飞行器发射速度从,7.9110,3,m/s,增大时，椭圆逐渐拉长变大；当速度达到某一程度，飞行器就挣脱地球的束缚而一去不复返,.,能使物体挣脱地球束缚的速度叫,第二宇宙速度。,物体脱离地球引力时，系统机械能最小,第二宇宙速度,第三宇宙速度,物体相对太阳的速度,物体脱离太阳引力所需的最小速度叫,第三宇宙速度,地球相对太阳的速度,物体相对于地球的发射速度,从地面发射物体要飞出太阳系，既要克服地球引力，又要克服太阳引力，所以发射时物体的动能必须满足,第三宇宙速度,黑洞是天体物理学预言的一类天体，其特征是它的引力非常大，它,“,吞噬,”,周围的所有物质，甚至连光也无法逃逸出去，所以称为黑洞。早在,1795,年，拉普拉斯就预言过黑洞的存在根据机械能守恒定律，一个质量为,m,的物体如果要从一个球状星体上逃逸，它的速度至少要满足下列关系,*,五、黑洞,式中,G,为万有引力恒量，,m,C,为星球质量，,R,为星球半径，即其逃逸速度为,。,如果,c,为光速，那么这个星球就成为一个黑洞,。,此时，星球的半径与质量的关系为,例如质量等于太阳那样大的星球，半径必须小于,3 km,(,现为,710,5,km,),时才能成为黑洞，它的质量密度约为,210,19,kg/m,3,。,天文学家认为天鹅座,X-1,是最有希望的黑洞候选者，它是双星系统中发射,X,射线的不可见伴星,。,2005,年,11,月，我国科学家公布了银河系中心存在“超级黑洞”的“射电照片”，它的直径与地球相当质量至少是太阳的,40,万倍，距地球约,26000,光年,。,这是目前确认银河系中心存在超级黑洞的最令人信服的证据,。,选择进入下一节,2-0,教学基本要求,2-1,质点系的内力和外力 质心 质心运动定理,2-2,动量定理 动量守恒定律,2-3,功 动能 动能定理,2-4,保守力 成对力的功 势能,2-5,质点系的功能原理 机械能守恒定律,2-6,碰撞,2-7,质点的角动量和角动量守恒定律,*,2-8,对称性和守恒定律,