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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,24.1.2,垂直于弦的直径,一、教学目标,1,探索并了解圆的对称性和垂径定理,2,能运用垂径定理解决几何证明、计算问题，并会解决一些实际问题,重点,难点,二、教学重难点,垂径定理、推论及其应用,发现并证明垂径定理,活动,1,新课导入,三、教学设计,1,请同学们把手中的圆对折，你会发现圆是一个什么样的图形？,答：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是圆的对称轴,2,请同学们再把手中的圆沿直径向上折，折痕是圆的一条什么呢？通过观察，你能发现直径与这条折痕的关系吗？,答：折痕是圆的一条弦，直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧,活动,2,探究新知,1,、,探究,剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？,通过探究可以发现，圆是对称轴,图形，任何一条直径所在的直线都是,圆的对称轴，下面我们来证明这个结论,.,要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上。,如图,6,，设,CD,是,O,的任意一条直径，,A,为,O,上点,C,，,D,以外的任意一点，过点,A,作,AA,CD,，交,O,于点,A,，垂足为,M,，连接,OA,，,OA,.,在,OAA,中，,OA,=,OA,，,OAA,是等腰三角形,.,又,AA,CD,，,AM,=,MA,即,CD,是,AA,的垂直平分线,.,提出问题：,(1),通过上面的折纸，圆是轴对称图形吗？有几条对称轴？,(2)“,圆的任意一条直径都是它的对称轴,”,这种说法对吗？若不对，应该怎样说？,2,教材,P,82,例,2,以上内容,提出问题：,(1),证明了圆是轴对称图形后，观察图,24.1,6,，对应线段、对应弧之间有什么关系？由此可得到什么结论？,(2),若把,P,81,的条件,“,直径,CD,AA,于点,M,”,改为,“,直径,CD,平分弦,AA,(,不是直径,),于点,M,”,，还能证明出图形是轴对称图形吗？此时对应线段、对应弧之间有什么关系？,(3),当第,(2),问中的弦,AA,为直径时，相关结论还成立吗？为什么？,活动,3,知识归纳,1,圆是,_,对称图形，任何一条,_,都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为,_,2,垂直于弦的直径,_,弦，并且,_,弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：,_,；,_,；,那么可以推出：,_,；,CB,DB,；,CA,DA.,轴,直径所在的直线,圆心,平分,平分,AB,经过圆心,O,且与圆交于,A,，,B,两点,ABCD,交,CD,于点,E,CE,DE,(,(,(,(,3,_,的直径垂直于弦，并且,_,弦所对的两条弧,提出问题：,“,推论,”,里的被平分的弦为什么不能是直径？,平分,平分弦,(,不是直径,),活动,4,例题与练习,例,1,赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有,1400,年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶,.,它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为,37m,，拱高（弧的中点到弦的距离）为,7.23m,，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）,.,分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形。,解：如图,8,，用,AB,表示主桥拱，设,AB,所在圆的圆心为,O,，半径为,R,。,经过圆心,O,作弦,AB,的垂线,OC,，,D,为垂足，,OC,与,AB,相交于点,C,，连接,OA,，根据垂径定理，,D,是,AB,的中点，,C,是,AB,的中点，,CD,就是拱高。,由题设可知：,AB,=37,，,CD,=7.23.,所以,AD,=,AB,=37=18.5.,OD,=,OC,-,CD,=,R,-7.23.,在,Rt,OAD,中，由勾股定理，得,OA,=,AD,+,OD,即,R,=18.5+(,R,-7.23).,解得,R,27.3.,因此，赵州桥的主桥拱半径约为,27.3m,。,(,(,(,(,例,2,如图，,D,，,E,分别为,AB,，,AC,的中点，,DE,交,AB,，,AC,于点,M,，,N,.,求证：,AM,AN,.,证明：连接,OD,，,OE,分别交,AB,，,AC,于点,F,，,G,.,D,，,E,分别为,AB,，,AC,的中点，,DFM,EGN,90.,OD,OE,，,D,E,，,DMB,ENC,.,DMB,AMN,，,ENC,ANM,，,AMN,ANM,，,AM,AN,.,(,(,(,(,练 习,1,教材,P,83,练习第,1,，,2,题,2,已知弓形的弦长为,6 cm,，弓形的高为,2 cm,，则这个弓形所在的圆的半径为,_,3,如图，,AB,为,O,的直径，,E,是,BC,的中点，,OE,交,BC,于点,D,，,BD,3,，,AB,10,，则,AC,_,cm,8,4,如图，,O,中弦,CD,交半径,OE,于点,A,，交半径,OF,于点,B,，若,OA,OB,，求证：,AC,BD,.,证明：过点,O,作,OG,CD,于点,G,.,OG,过圆心，,CG,DG,.,OA,OB,.,AG,BG,，,CG,AG,DG,BG,，,AC,BD,.,
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