教育专题：空间直角坐标系

,高考总复习,数学,(,文科,),高考总复习,数学,(,文科,),第十二节空间直角坐标系,第七章平面解析几何,考 纲 要 求,1,了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置,2,会推导空间两点间的距离公式,.,课 前 自 修,知识梳理,一、空间直角坐标系,1,定义：,在空间取定一点,O,，以点,O,为原点作三条互相垂直的数轴，分别称为,x,轴，,y,轴，,z,轴，统称为坐标轴三个坐标轴的次序和方向按右手系排列这样的三条坐标轴就组成了空间直角坐标系,(,O,为原点,),坐标平面：两条坐标轴确定的面；,xOy,面：由,x,轴及,y,轴确定的坐标面；,yOz,面：由,y,轴及,z,轴确定的坐标面；,zOx,面：由,z,轴及,x,轴确定的坐标面,三个坐标平面将空间分成八个部分，每一部分称为卦限，从由,x,轴，,y,轴，,z,轴的正半轴所确定的半平面隔出的那一部分起，按逆时针方向，依次为第,卦限，第,卦限，第,卦限，第,卦限，第,卦限，第,卦限，第,卦限，第,卦限,2,空间点的坐标表示：,设,M,是空间一点，过点,M,分别作垂直于,x,轴，,y,轴，,z,轴的平面，它们与坐标轴的交点分别为,P,，,Q,，,R,，这三点在三坐标轴的坐标依次为,x,，,y,，,z,，这样，由空间一点,M,唯一地确定一个三元有序数组,(,x,，,y,，,z,);,反之，设,(,x,，,y,，,z,),为一个三元有序数组，过,x,轴上坐标为,x,的点，,y,轴上坐标为,y,的点，,z,轴上坐标为,z,的点，分别作,x,轴，,y,轴，,z,轴的垂直平面，这三个平面的交点,M,便是三元有序数组,(,x,，,y,，,z,),唯一确定的点所以空间点,M,与三元有序数组,(,x,，,y,，,z,),一一对应，称为,M,点的坐标，记为,M,(,x,，,y,，,z,),3.,坐标轴、坐标平面上的点的特征：,(,x,0,0),x,轴上的点；,(,x,，,y,0),xOy,面上的点；,(0,，,y,0),y,轴上的点；,(0,，,y,，,z,),yOz,面上的点；,(0,0,，,z,),z,轴上的点；,(,x,0,，,z,),zOx,面上的点,坐标系中各卦限的点的坐标的符号特征：,第,卦限,(,正，正，正,),，第,卦限,(,负，正，正,),，,第,卦限,(,负，负，正,),，第,卦限,(,正，负，正,),，,第,卦限,(,正，正，负,),，第,卦限,(,负，正，负,),，,第,卦限,(,负，负，负,),，第,卦限,(,正，负，负,),4,空间里点的对称规律：,规律,1,：关于坐标平面对称的两点的坐标的特点：,点,P,(,x,，,y,，,z,),关于,xOy,平面对称的点为,P,(,x,，,y,，,z,),；点,P,(,x,，,y,，,z,),关于,xOz,平面对称的点为,P,(,x,，,y,，,z,);,点,P,(,x,，,y,，,z,),关于,yOz,平面对称的点为,P,(,x,，,y,，,z,),规律,2,：关于坐标轴对称的两点的坐标的特点：,点,P,(,x,，,y,，,z,),关于,x,轴对称的点为,P,(,x,，,y,，,z,),；点,P,(,x,，,y,，,z,),关于,y,轴对称的点为,P,(,x,，,y,，,z,),；点,P,(,x,，,y,，,z,),关于,z,轴对称的点为,P,(,x,，,y,，,z,),规律,3,：点,P,(,x,，,y,，,z,),关于原点对称的点为,P,(,x,，,y,，,z,),规律,4,：点,P,(,x,，,y,，,z,),关于点,A,(,a,，,b,，,c,),对称的点为,P,(2,a,x,2,b,y,2,c,z,),二、空间中两点的距离公式,设,M,1,(,x,1,，,y,1,，,z,1,),，,M,2,(,x,2,，,y,2,，,z,2,),，如图所示，则,|,M,1,P,|,|,x,2,x,1,|,，,|,PN,|,|,y,2,y,1,|,，,|,NM,2,|,|,z,2,z,1,|,，,|,M,1,N,|,2,|,M,1,P,|,2,|,PN,|,2,(,x,2,x,1,),2,(,y,2,y,1,),2,，,|,M,1,M,2,|,2,|,M,1,N,|,2,|,NM,2,|,2,(,x,2,x,1,),2,(,y,2,y,1,),2,(,z,2,z,1,),2,，,点,M,1,与,M,2,间的距离为,基础自测,1,在,ABC,中，已知,A,(,1,3,，,5),，,B,(3,，,2,7),，若三角形的重心在坐标系原点，则顶点,C,的坐标是,(,),A,(2,，,1,，,2)B,(,2,1,，,2),C,(,2,，,1,，,2)D,(,2,，,1,2),解析：,设点,C,的坐标为,(,x,，,y,，,z,),，由空间中三角形的重心公式得,1,3,x,0,3,2,y,0,，,5,7,z,0,，解得,x,2,，,y,1,，,z,2.,所以点,C,的坐标为,(,2,，,1,，,2),答案：,C,2,已知线段,AB,两端点坐标为,A,(2,，,3,4),，,B,(2,5,，,3),，则与线段,AB,平行的坐标平面,(,),A,是,xOy,平面,B,是,yOz,平面,C,是,xOz,平面,D,不存在,解析,：,(,x,1,，,y,1,，,z,1,),与,(,x,2,，,y,2,，,z,2,),中，,x,1,x,2,.,答案,：,B,3,(2011,佛山市南海一中检测,),空间直角坐标系中，,A,(6,0,，,1),，,B,(3,5,7),，则,|,AB,|,_.,4,设,A,(3,3,1),，,B,(1,0,5),，,C,(0,1,0),，,AB,的中点为,M,，则,|,CM,|,_.,考 点 探 究,考点一,求空间中点到坐标轴,(,坐标平面,),的距离,【例,1,】在空间直角坐标系中，求点,N,(3,，,4,，,2),到原点、各坐标轴、各坐标平面的距离,思路点拨,：,要理解空间直角坐标系中，点的坐标的意义，先确定点,N,在空间的位置,(,第,卦限,),，然后作出点,N,在各坐标平面内的射影，并分析各射影点的坐标可帮助理解,解析,：,如图所示，点,N,在空间坐标系中的位置，及到各坐标平面内的射影可依赖长方体,NMKL,PQOS,来观察分析各距离如下：,点评,：,研究点,N,(,x,，,y,，,z,),坐标，可以,N,，,O,(,坐标原点,),为对顶顶点，构造一个长方体，借助长方体模型来理解空间直角坐标系中的点的坐标十分直观，注意此长方体中的以,N,为一端点的棱，对角线，面对角线的意义,变式探究,1,已知,A,(1,0,2),，,B,(1,，,3,1),，点,M,在,z,轴上，且到,A,，,B,两点间的距离相等，则点,M,的坐标为,(,),A,(,3,0,0)B,(0,，,3,0),C,(0,0,，,3)D,(0,0,3),解析：,设点,M,的坐标为,(0,0,，,z,),，则,1,2,0,2,(2,z,),2,1,2,3,2,(1,z,),2,，,解得,z,3,，所以点,M,的坐标为,(0,0,，,3),答案：,C,考点二,求空间中的点关于坐标平面,(,坐标轴、,原点,),对称的点的坐标,【例,2,】,(1),分别写出点,P,(,3,2,，,1),关于三个坐标平面的对称点的坐标；,(2),分别写出点,P,(,3,2,，,1),关于三个坐标轴的对称的点的坐标；,(3),写出点,P,(,3,2,，,1),关于原点对称的点的坐标；,(4),写出点,P,(,3,2,，,1),关于点,A,(2,，,1,5),对称的点,B,的坐标,思路点拨,：,类比平面直角坐标系中点的对称问题，考虑添加平面后的各种情况,解析,：,(1),点,P,(,3,2,，,1),在,xOy,平面的下方，,所以点,P,(,3,2,，,1),关于,xOy,平面对称的点为,P,(,3,2,1),，如图,所示，,点,P,(,3,2,，,1),关于,xOz,平面的对称点为,P,(,3,2,1),，如图,所示，,点,P,(,3,2,，,1),关于,yOz,平面对称的点为,P,(3,2,1),，如图,所示，,(2),点,P,(,3,2,1),关于,x,轴对称的点的坐标为,(,3,2,1),，,点,P,(,3,2,，,1),关于,y,轴对称的点的坐标为,(3,2,1),，,点,P,(,3,2,，,1),关于,z,轴对称的点的坐标为,(3,2,1),(3),由点的坐标概念可得点,P,(,3,2,，,1),关于原点对称的点的坐标为,(3,，,2,1),(4),设点,B,的坐标为,(,x,，,y,，,z,),，则点,A,(2,，,1,5),是线段,PB,的中点，由中点坐标公式可得,所以点,B,的坐标为,(7,，,4,11),点评：,注意归纳以下有关对称问题的规律：,(1),关于坐标平面对称的两点的坐标的特点；,(2),关于坐标轴对称的两点的坐标的特点；,(3),关于原点对称的点的特点；,(4),点,P,(,x,，,y,，,z,),关于点,A,(,a,，,b,，,c,),对称的点的坐标特点,变式探究,2,(1),设点,B,是点,A,(2,，,3,5),关于坐标平面,xOy,的对称点，则,|,AB,|,(,),A,10 B.C.D,38,(2),在空间直角坐标系中，点,M,(,2,4,，,3),在,xOz,平面上的射影为点,M,，则,M,关于原点对称点的坐标是,(,),A,(,2,4,0)B,(,2,，,4,3),C,(2,0,3)D,(0,4,3),考点三,求空间中两点间的距离,【例,3,】,(1),ABC,三个顶点的坐标为,A,(1,，,2,11),，,B,(4,2,，,3),，,C,(6,，,1,4),，则,ABC,的形状为,(,),A,正三角形,B,锐角三角形,C,直角三角形,D,钝角三角形,(2),到点,A,(,1,，,1,，,1),，,B,(1,1,1),的距离相等的点,C,(,x,，,y,，,z,),的坐标满足,(,),A,x,y,z,1 B,x,y,z,1,C,x,y,z,4 D,x,y,z,0,变式探究,3,(1),已知,A,(1,，,2,3),，,B,(,3,1,，,4),，则,|,AB,|,_.,(2),已知,A,(1,t,1,t,，,t,),，,B,(2,，,t,，,t,),则,|,AB,|,的最小值为,_,(3),已知点,A,(1,2,，,1),，点,C,与点,A,关于平面,xOy,对称，点,B,与点,A,关于,x,轴对称，则,BC,长为,_,考点四,建立适当的空间直角坐标系求空间,图形中的长度问题,【例,4,】已知棱长为,1,的正方体中,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,F,是,BD,的中点，,G,在棱,CD,上，且,CG,CD,，,E,为,C,1,G,的中点，求,EF,的长,思路点拨,：,建立空间直角坐标系，用坐标法，求出线段的长,点评,：,本题的求解方法有多种，但利用坐标法求解，应该说是既简捷又易行的方法，通过方法的对照比较，体现了坐标法解题的优越性,变式探究,4,正方体的棱长为,2,a,，如图建立空间直角坐标系，点,P,在对角线,A,1,C,上，点,Q,在棱,D,1,D,上,(1),当,Q,为,D,1,D,的中点，点,P,在,A,1,C,上运动时，求,|,PQ,|,的最小值；,(2),当,P,，,Q,分别在,A,1,C,，,D,1,D,上运动时，求,|,PQ,|,的最小值,课时升华,1,空间直角坐标系：,(1),了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置；,(2),会求空间某点关于坐标平面、坐标轴的对称点的坐标；,(3),会推导空间两点间的距离公式和中点坐标公式,2,线段的中点坐标公式：,感 悟 高 考,品味高考,在空间直角坐标系中，已知点,A,(1,0,2),，,B,(1,，,3,，,1),，点,M,在,y,轴上，且,M,到,A,与到,B,的距离相等，则,M,的坐标是,_,解析,：,设,M,(0,，,y,0),，由,