函数与方程的思想方法二

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一部分 常用数学思想方法,专题一 函数与方程的思想方法,目 录,专题概览,（,3,）,模拟训练,（,5,）,规律总结,（,17,）,返回目录,专题概览,函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过建立函数关系式、确定函数的定义域或值域，结合函数的知识解决具体问题的一种思想,.,这种思想方法的实质是揭示问题数量关系的本质特征，突出对问题中变量动态的研究，从变量联系、发展和运动角度指导解题思路,.,方程思想是分析数学问题中变量间的相等关系,.,从而建立方程,(,组,),将问题解决的一种思想方法,.,方程与函数有着必然联系，方程,f,(,x,)=0,的解，就是函数,y,=,f,(,x,),的图象与,x,轴交点的横坐标，函数,y,=,f,(,x,),也可以看作二元方程,f,(,x,),y,=0.,确定变化过程的某个或某些量，往往要建立某个或某些量的方程，通过解方程,(,组,),来求得这些量,.,函数与方程之,返回目录,间可以相互转化，在等式的意义下，方程是函数关系式中的动中求静，函数则是方程的静中求动,.,函数与方程思想是每年高考的必考内容,它涉及三大题型,难度有高、中、低三个档次,.,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解,(,证,),不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，化难为易，化繁为简,.,函数是方程与不等式的,“中介”，他们既有区别，又联系紧密,.,高考试题中既通过客观试题考查函数与方程的思想的基本应用，又利用解答题从深层次上对函数与方程思想进行综合考查,.,专题概览,返回目录,模拟训练,1.,已知在,ABC,中,ACB,=90,BC,=3,AC,=4,P,是,AB,上的点,则点,P,到,AC,、,BC,的距离乘积的最大值是,.,分析,如右图，设,P,点到,AC,、,BC,的距离分别为,x,、,y,，由平面几何知识有 ，其中,x,，,y,都是正实数，问题转化为在此条件下，求,xy,的最大值问题,.,下面有两条途径可供选择，一是应用基本不等式解之，二是利用二次函数的性质求其最大值,.,返回目录,模拟训练,解析,解法,1,：由分析知：,4,x,3,y,12,，所以，,所以,xy,3,，,当且仅当,4,x,3,y,6,，即,x,，,y,2,时，,xy,的最大值为,3.,解法,2,：由分析知：,4,x,3,y,12,，所以,又,0,x,3,，所以，当,x,，进而,y,2,时，,xy,有最大值，其最大值为,3.,点评,本题是以平面几何知识为载体的条件不等式问题，反映了不等式与函数的自然交汇，解答过程中体现了函数思想的灵活应用,.,答案,3,返回目录,模拟训练,解析,由向量坐标运算法则得,a,b,(,2,2,3),，由向量共线条件得,7(,2),4(2,3),，解得,2.,点评,本题主要考查向量的基本运算和向量共线性质的运用能力，考查方程的思想的运用，解题的关键是利用共线建立关于,的方程,.,2.,设向量,a,=(1,2),，,b,=(2,3),，若向量,a,+,b,与向量,c,=(,4,7),共线，则,=,.,答案,2,返回目录,模拟训练,分析,把方程转化为,ab,的不等式,.,解析,解法,1,：,(,看作函数的值域,),ab,a,b,3,b,(,显然,a,1).,而,b,0,0,即,a,1,或,a,0,a,1,a,10.,当且仅当,a,1,即,a,3,时取等号,.,又,a,3,时，,y,(,a,1),5,是关于,a,的增函数，,ab,的取值范围为,9,).,3.,若,a,，,b,是正数，且,ab,a,b,3,求,ab,的取值范围,.,解法,2,：,(,看成不等式的解集,),a,，,b,都是正数，,a,b,2 .,又,ab,a,b,3,ab,2,3,ab,的取值范围为,9,).,解法,3,：,(,构造方程,),若设,ab,t,，则,a,b,t,3,a,，,b,可以看成是一元二次方程,x,2,(,t,3),x,t,0,的两个正根,.,返回目录,模拟训练,返回目录,模拟训练,t,9,即,ab,9.,ab,的取值范围为,9,).,点评,将一个等式转化为函数，将求变量的范围转化为求函数的值域以及将两个等式利用韦达定理构造方程，然后运用判别式求变量的范围，这是函数思想与方程思想的灵活运用,.,返回目录,模拟训练,分析,取,a,作为变量，建立,MN,的长的表达式，利用函数思想求,MN,的最小值,.,解析,(),作,MPAB,交,BC,于点,P,NQAB,交,BE,于点,Q,连结,PQ,依题意可得,MPNQ,且,MP,=,NQ,即,MNQP,是平行四边形,所以,MN,=,PQ,4.,如图，正方形,ABCD,、,ABEF,的边长都是,1,，而且平面,ABCD,、,ABEF,互相垂直,.,点,M,在,AC,上移动,点,N,在,BF,上移动,若,CM,=,BN,=,a,(0,a,).,(,),求,MN,的长,;,(,),当,a,为何值时,MN,的长最小,.,返回目录,模拟训练,由已知，,CM,=,BN,=,a,CB,=,AB,=,BE,=1.,所以,MN,=,PQ,=,返回目录,模拟训练,(,),由,(),得,MN,=,即,M,、,N,分别移动到,AC,、,BF,的中点时,MN,的长最小,最,小值为,.,点评,利用函数关系建立,MN,的长与,a,的函数关系是解决本题的关键,.,立体几何中的最值问题常借助函数思想求得,.,返回目录,模拟训练,解析,(),将直线,l,的方程,y,=,kx,+1,代入双曲线,C,的方程,2,x,2,y,2,=1,后，整理得：,(,k,2,2),x,2,+2,kx,+2=0 ,依题意，直线,l,与双曲线,C,的右支交于不同的两点，故,5.,直线,l,:,y,=,kx,+1,与双曲线,C,:2,x,2,y,2,=1,的右支交于不同的两点,A,，,B,.,(,),求实数,k,的取值范围,;,(,),是否存在实数,k,，使得以线段,AB,为直径的圆经过双曲线,C,的右焦点,F,?,若存在，求出,k,的值；若不存在，说明理由,.,返回目录,模拟训练,(,),设,A,B,两点的坐标分别为,(,x,1,y,1,),(,x,2,y,2,),则由,式得：,假设存在实数,k,，使得以线段,AB,为直径的圆经过双曲线,C,的右焦点,F,(,c,0),，则由,F,A,F,B,得,(,x,1,c,)(,x,2,c,)+,y,1,y,2,=0.,解得,k,的取值范围为,2,k,.,返回目录,模拟训练,即,(,x,1,c,)(,x,2,c,)+(,kx,1,+1)(,kx,2,+1)=0.,整理得：,(,k,2,+1),x,1,x,2,+(,k,c,)(,x,1,+,x,2,)+,c,2,+1=0.,把,式及,c,=,代入,式化简得：,5,k,2,+2,k,6=0.,可知存在实数,k,=,使得以线段,AB,为直径的圆经过双曲线,C,的右焦点,.,点评,本题考查直线与双曲线的位置关系，运用函数与方程的思想方法研究曲线性质及运算能力和推理论证能力,.,联立方程、韦达定理，是解决直线与圆锥曲线位置关系的主要方法,.,返回目录,规律总结,1.,函数与方程的思想的充分运用，其必要条件就是要做到熟练掌握函数与方程的基础知识，因此，要对常用的基本函数的性质及方程等知识深入理解并熟练掌握各知识点间的内在联系,.,2.,函数与方程思想的运用，概括地讲，一是构建函数和方程，二是应用函数与方程的性质思考问题,.,含一个变量的等式就是方程，含多个变量的等式可理解为方程，也可转化为函数,.,理解为方程就是要考虑有解的条件，及解方程过程的合理性；理解为函数，就在于确定解析式、定义域,.,应该强调的是：“函数中作为自变量的取值范围,定义,返回目录,域的确定要准确,.”,3.,构造函数关系式来解决数学问题，这是运用函数思想求解的较高层次，在解题中，要总结、归纳运用函数的观点和方法分析和解决常见数学问题的方法和技巧,.,自觉地、充分合理地运用函数与方程的思想，提高数学意识和数学思维的能力,.,只有平时多加强训练并注意总结和积累，解决问题时才能做到运用自如，得心应手,.,规律总结,返回目录,祝您高考成功！,足球父子,算数老师对一学生家长抱怨道：“你看看你儿子是怎么学数学的，,90,减去,45,等于下半场！”,父亲道：“嗯，我回去是得好好教导他了，他竟然没考虑到加时赛的情况。”,