线性代数实验2

实验与提高,一、,Matlab,的矩阵计算,1,二、利用矩阵解决问题实例,2,一、,Matlab,的矩阵计算,矩阵的基本运算、功能及其,Matlab,命令形式,见表,II-1,3,II-1,矩阵的基本运算,运算,功能,命令形式,矩阵加法和减法,将两个同型矩阵相加,(,减,),AB,数乘,将数与矩阵做乘法,k*A,其中,k,是一个数,A,是一个矩阵,矩阵乘法,将两个矩阵进行矩阵相乘,A*B,A,的列数与,B,的行数相等,矩阵的左除,计算,AB,A,必须为方阵,矩阵的右除,计算,A/B,B,必须为方阵,求矩阵行列式,计算方阵的行列式,det(A,),A,必须为方阵,4,求矩阵的逆,求方阵的逆,Inv(A,),或,A,必须为方阵,矩阵乘幂,计算,An,A,必须为方阵,n,是正整数,矩阵的转置,求矩阵的转置,Transpose(A,),或,A,矩阵求秩,求矩阵的秩,rank(A,),矩阵行变换化简,求,A,阶梯形的行最简形式,rref(A,),矩阵都符合矩阵运算的规律,如果矩阵的行列数不符合运算符的要求,将,产生错误信息,5,例,2-26,计算,解,Matlab,命令为,ans,=,3 6 5 -4 15 -8,6,例,2-27,计算,解,Matlab,命令为,5,*,A,5 10 15 15 25 5,ans,=,7,的乘积,解,Matlab,命令为,syms,a b c,v=a b c;%,向量可以看成特殊的矩阵,A1=sym(1 2;3 4;5 6);,%,或用,A1=1 2;3 4;5 6;,v*A1,a+3*b+5*c,2*a+4*b+6*c,ans,=,例,2-28,求向量,a,b,c,与矩阵,8,的乘积,例,2-29,求矩阵 与矩阵,解,Matlab,命令为,ans,=,1 0 5 3,0 -1 0 0,A=1 3 0;-2-1 1;,B=1 3-1 0;0-1 2 1;2 4 0 1;,A*B,9,例,2-30,求矩阵 的逆,.,解,Matlab,命令为,ans,=,22.0000 -6.0000 -26.0000 17.0000,-17.0000 5.0000 20.0000 -13.0000,-1.0000 -0.0000 2.0000 -1.0000,4.0000 -1.0000 -5.0000 3.0000,A=1 2 3 4;2 3 1 2;1 1 1-1;1 0-2-6;,A,(-1),10,线性代数,例,2-31,求矩阵 的逆,.,解,Matlab,命令为,d/(a*d,b*,c),-b/(a,*d,b*c)-c/(a*d,b*,c),a,/(a*d,b*c),ans,=,syms,a b c d%,向量可以看成特殊的矩阵,A=a b;c d;,否则不能计算,inv(A,),11,线性代数,例,2-32,求矩阵 的转置,.,解,Matlab,命令为,ans,=,1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6,A=1 2 3 4;2 3 4 5;3 4 5 6;,A,12,线性代数,例,2-33,已知矩阵,求,A,的行列式,.,解,Matlab,命令为,syms,a b c d,A=a b;c d;,det(A,),ans,=,a,d,b,c,13,线性代数,例,2-34,求矩阵 的,2,次幂与,3,次幂,解,Matlab,命令为,ans,=,a2,2*a,1 0,a2,2*a 0,0,a2,syms,a,A=a 1 0;0 a 1;0 0 a;,A2,14,线性代数,ans,=,a3,3*a2,3*a,0,a3,3*a2,0,0,a3,A3,15,线性代数,例,2-35,求矩阵 的秩与行最简形,解,Matlab,命令为,ans,=,1 0 0 -2 0 1 0 2 0 0 1 5 0 0 0 0,ans,=3,A=4 1 2 4;1 2 0 2;10 5 2 0;0 1 1 7;,rref(A,),rank(A,),16,线性代数,对于矩阵方程,AX=B(,或,XA=B),当,A,可逆时,可以利用,Matlab,的左除和右除运算方便地求出,其解,(,或,),二、利用矩阵解决问题实例,例,2-36,有甲、乙、丙三种化肥,甲种化肥,每千克含氮,70g,、磷,8g,、钾,2g;,乙种化肥每千克含,氮,64g,、磷,10g,、钾,0.6g;,丙种化肥每千克含氮,70g,磷,5g,、钾,1.4g,。若把此三种化肥混合,要求总重量,23kg,且含磷,149g,、钾,30g,问三种化肥各需多少千克,?,17,线性代数,解 设甲、乙、丙三种化肥分别需,千克,依题意得方程组,:,用,Matlab,解方程组,:,A=1 1 1;8 10 5;2 0.6 1.4;b=23;149;30;,X=,inv(A,)*b,线性代数,X=,3.0000 5.0000 15.0000,结果分析,:,方程组的解为,:,则甲、乙、丙三种化肥分别需,3kg,、,5kg,、,15kg,线性代数,例,2-37,某农场饲养的动物所能达到的最大年龄为,15,岁,将其分为三个年龄组,:,第一组,0 5,岁,;,第二组,6 10,岁,;,第三组,11 15,岁。动物从第二年龄组起开始繁殖后代,经过长期统计,第二年龄组的动物在其年龄段平均繁殖,4,个后代,第三组在其年龄段平均繁殖,3,个后代,第一年龄组和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为,1/2,和,1/4,。假设农场现有三个年龄段的动物各,1000,头,问,15,年后农场饲养的动物总数及农场三个年龄段的动物各将达到多少头,?,指出,15,年间,动物总增长多少头及总增长率,.,20,线性代数,解 年龄组为,5,岁一段,故将时间周期也取,5,年。,15,年经过,3,个周期。用,k=1,，,2,，,3,分别表示第一、,二、三个周期，表示第,i,个年龄组在第,k,个周期,即,的数量。由题意,有如下矩阵递推关系,:,21,线性代数,利用,Matlab,计算有,x3=(L3)*x0,x3=,14375 1375 875,L=0 4 3;1/2 0 0;0 1/4 0;,x0=1000,1000,1000;,22,线性代数,pie(x3)%,绘出图形,不同年龄段动物所占百分比,23,线性代数,结果分析,:,15,年后,农场饲养的动物总数将达到,16625,头,其中,0 5,岁的有,14375,头,占总数的,86.46%,6 10,岁的有,1375,头,占,8.27%,11 15,岁的有,875,头,占,5.226%,15,年间,动物总增长,13625,头,总增长率为,13625/3000=454.16%,。,24,线性代数,例,2-38 Hill,密码 研究秘密信息的编码和,译码的学科,称为密码学,.,在密码学中,代码称为密码,未编码的信息称为明文,译成代码的信息称为密文,由明文转换成密文的过程称为编码,由密文转换成,的相反过程称为译码,.,最简单的密码是代用码,是将字母表中每一字母用不同的字母来代替,.,这种,类型的码可以容易地由统计分析等方法所破译,.,克,服这一问题的一种方法是将明文的字母先分组,再,按分组而不是逐个字母进行编码,这通常称为复写,系统,.,以下简介一种基于矩阵变换的复写系统,称为,25,线性代数,Hill,密码,是由,L.S.Hill,引进的,.,先指定每一个明文字母和密文字母按它在字,最简单的,Hill,密码的编码,是将接连的明文字母,两两分组,各数组都构成,2,维明文向量,再选一个可,逆的整数值,2,2,矩阵,它将每个明文向量逐一转换,成密文向量,.,这样的,Hill,密码称为,Hill-2,密码,.,母表中的位置和一个数值相对应,.Z,指定为零值,.,_,_,A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z,1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0,26,线性代数,DYMATH,这一信息,使用上表的对应,并按,Hill-3,码,一般地,可以有,Hill-n,密码,.,假如现在要发出,STU,进行编码,.,首先查得的信息的数字依次是,19,20,21,4,25,13,1,20,8,将它们组成下面三个明文向量,:,选择可逆的三阶矩阵,例如,27,线性代数,将上述信息变为如下三个密文向量,:,因而我们发出密码,122,81,62,93,55,51,65,37,36.,假如收到的回复信息是,114,81,58,104,69,55,并且编码方法与上面相同,.,为了解译此码,将上述数,码分为,2,个,3,维向量,则有,28,线性代数,解得,按照对应表值得出的信息是,WHY NOT.,29,线性代数,数码经矩阵转换后常回出现溢出表值,(,即超过,25),的情况,.,例中发出的信息就全都是这样的,.,对此,通常是将所得大于,25,的数以,26,去除后的余数代替,就能得到对应的字母,.,这种以余数进行处理的方法,用到所谓模算术,它在密码学中有着重要的作用,.,用密码传出信息,通常也以字母形式出现,.,例,如上面收到的回复就是,JCFZQC,从表面看就不知,所云了,.,