RLC元件电压电流关系的相量形式

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2,3,RLC,元件电压电流关系的相量形式,一、,电阻元件,电压电流关系的,相量形式,线性电阻的电压电流关系服从欧姆定律，在电压电流采用关联参考方向时，其电压电流关系表示为,当其电流,i,(,t,)=,I,m,cos,(,t,+,i,),随时间按正弦规律变化时，电阻上电压电流关系如下：,上式表明，线性电阻的电压和电流是同一频率的正弦时间函数。其振幅或有效值之间服从欧姆定律，其相位差为零,(,同相,),，即,线性电阻元件的时域模型如图,10-14(a),所示，反映电压电流瞬时值关系的波形图如图,(b),所示。,图,10-14,由上图可见，在任一时刻，,电阻电压的瞬时值是电流瞬时值的,R,倍,，,电压的相位与电流的相位相同,，即电压电流波形同时达到最大值，同时经过零点。,由于电阻元件的电压电流都是频率相同的正弦时间函数，可以用相量分别表示如下：,将以上两式代入式,10,18,中，得到,由此得到线性电阻电压电流关系的相量形式为,这是一个复数方程，它同时提供振幅之间和相位之间的两个关系，即,(1),电阻电压有效值等于电阻乘以电流的有效值，即,U,=,RI,(2),电阻电压与其电流的相位相同，即,u,=,i,线性电阻元件的相量模型如图,(a),所示，反映电压电流相量关系的相量图如图,(b),所示，由此图可以清楚地看出电阻电压的相位与电阻电流的相位相同。,正弦电流电路中电阻元件的电压电流相量关系,二、电感,元件,电压电流关系的,相量形式,当电感电流,i,(,t,)=,I,m,cos,(,t,+,i,),随时间按正弦规律变化时，电感上电压电流关系如下：,线性电感的电压电流关系采用关联参考方向时，,表明线性电感的电压和电流是同一频率的正弦时间函数。其振幅或有效值之间的关系以及电压电流相位之间的关系为,电感元件的时域模型如图,(a),所示，反映电压电流瞬时值关系的波形图如图,(b),所示。由此可以看出,电感电压超前于电感电流,90,，当电感电流由负值增加经过零点时，其电压达到正最大值。,由于电感元件的电压电流都是频率相同的正弦时间函数，可以用相量分别表示，将它们代入式,10,24,中得到,由此得到电感元件电压相量和电流相量的关系式,电感元件的相量模型如图,(a),所示，电压电流的相量图如,(b),所示。由此可以清楚看出,电感电压的相位超前于电感电流的相位,90,。,图,10-17,三、电容,元件,电压电流关系的,相量形式,线性电容在电压电流采用关联参考方向时,线性电容的电压和电流是同一频率的正弦时间函数。其振幅或有效值之间的关系。以及电压电流相位之间的关系为,当电容电压,u,(,t,)=,U,m,cos,(,t,+,u,),随时间按正弦规律变化时,电容元件的时域模型如图,(a),所示，反映电压电流瞬时值关系的波形图如图,(b),所示。由此图可以看出,电容电流超前于电容电压,90,，当电容电压由负值增加经过零点时，其电流达到正最大值。,由于电容元件的电压电流都是频率相同的正弦时间函数，可以用相量分别表示，代入式中得到,由此得到电容元件电压相量和电流相量的关系式,电容元件的相量模型如图,(a),所示，其相量关系如图,(b),所示。,例,电路如图,(a),所示，已知,试求电压,u,1,(,t,),u,2,(,t,),u,(,t,),及其有效值相量,。,解：根据图,(a),所示电路的时域模型，画出图,(b),所示的相量 模型，图中各电压电流参考方向均与时域模型相同，仅将时域模型中各电压电流符号,用相应的相量符号 表示，根据相,量形式的,KCL,求出电流相量,由相量形式的,VCR,方程求出电压,(b),根据相量形式的,KVL,方程式得到,得到相应电压的瞬时值表达式,相量图如图,(c),所示。由此图可以看出电压,u,(,t,),超前于电流,i,(,t,),的角度为,53.1,。此例中，,U,=5,U,1,+,U,2,=3+4=7,(c),例,电路如图,(a),所示,已知,解：画出图,(a),相量模型如图,(b),所示。根据,RLC,元件相量形 式的,VCR,方程计算出电流相量。,试求电流,i,1,(,t,),i,2,(,t,),i,(,t,),及其有效值相量。,根据相量形式的,KCL,方程得到,得到电流的瞬时值表达式,根据所求得的各电压电流相量画出相量图。,由此图可以看出电流,i,(,t,),超前于电压,u,S,(,t,),的角度为,63.4,。,此例中，,I,=5.59,I,1,+,I,2,=2.5+5=7.5,再次说明正弦电流电路中流出任一结点的全部电流有效值的代数和并不一定等于零。,四、阻抗与导纳,欧姆定律的相量形式,现将,RLC,元件电压电流的相量关系列写如下：,我们注意到，,RLC,元件电压相量与电流相量之间的关系类似欧姆定律，电压相量与电流相量之比是一个与时间无关的量，其中,R,，,称为电阻；,j,L,，,称为电感的电抗，简称为感抗；,1/j,C,，,称为电容的电抗，简称为容抗。,为了使用方便，我们用大写字母,Z,来表示这个量，它是一个复数，称为阻抗,。,引入,阻抗,后，我们可以将以上三个关系式用一个式子来表示。,式,10,32,称为,欧姆定律的相量形式,。,阻抗定义为电压相量与电流相量之比,，即,与上相似，,RLC,元件电压电流的相量关系也可以写成以下形式,我们注意到，,RLC,元件电流相量与电压相量之比是一个与时间无关的量，其中,G,，,称为电导；,1/j,L,，,称为电感的电纳，简称为感纳；,j,C,，,称为电容的电纳，简称为容纳。我们用大写字母,Y,来表示这个量，它是一个复数，称为导纳。,引入,导纳,后，可以将以上关系式用一个式子来表示。,显然，同一个二端元件的,阻抗与导纳互为倒数关系,，即,导纳,Y,定义为电流相量与电压相量之比,，即,现将反映两类约束关系的,KCL,、,KVL,和二端元件,VCR,的时域和相量形式列写如下。,它们是相量法分析正弦稳态电路的基本依据,。,