资源描述
Click to edit Master title style,第十二章,重积分,一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,推广,第十二章,重积分,第一节,重积分的概念与性质,第二节 二重积分的计算,第三节 三重积分的计算,第四节 重积分的应用,重积分的概念与性质,二、,重积分的概念,一、问题的提出,三、,重积分的性质,第一节,第,十二,章,一、,问题的提出,平顶柱体体积的计算公式,:,柱体体积,=,底面积,高,.,1,.,曲顶柱体的体积,回顾,特点：,平顶,.,曲顶柱体,:,底,为,xOy,面上的闭区域,D,，,曲顶,为 连续曲面,侧面,为以,D,的边界为准线,母线平行于 轴的柱面,.,x,y,z,o,特点：,曲顶,曲顶柱体的体积,=,？,变高,解决方法,:,类似于定积分解决问题的思想,“分划,近似,求和,取 极限”,.,步骤如下：,1,分割,用,任意,曲线网划分,D,为,n,个小区域,:,以它们为底把曲顶柱体分为,n,个,.,小曲顶柱体,2,近似,3,求和,4,取极限,令,则有,定义,的直径为,2.,平面薄板的质量,设有一质量分布不均匀的平面薄板,计算该薄片的质量,M,.,度为非负连续函数,1,分割,将,D,任意划分成,n,个小区域,其面密,常数,回顾,:,若,薄板的质量,=,薄板的,面积,面密度,.,2,近似,3,求和,4,取极限,则第,i,小块的质量,在每个,中,任取,一点,令,则有,两个问题的,共性,：,(1),解决问题的步骤相同,(2),所求量的结构式相同,“,大化小,常代变,近似和,取极限”,.,曲顶柱体体积,:,平面薄片的质量,:,区域，,i,表示它的面积，在每个,D,i,上,任取,一点,二、重积分的概念,1.,二重积分的有关概念,设,f,(,x,y,),是有界闭区域,D,上的有界函数，,将闭区域,D,任意,分成,n,个小闭区域,D,1,，,作乘积,并作和,D,2,D,n,其中,D,i,表示第,i,个小闭,定义,12.1,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,如果当各小闭区域的,直径,中的最大值,趋于零时，这和式的极限存在，则称此极限为,函数,f,(,x,y,),在闭区域,D,上的,二重积分,，记为,对二重积分定义的,几点说明：,1,各小闭区域的,直径,中的最大值,是指：,3,二重积分存在性定理,:,若函数,命题,1,在,D,上可积,.,在有界闭区域,D,上连续,则,一般地，,4,二重积分的,几何意义,特例,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域,D,，,故二重积分可写为,D,则面积元素为,D,2.,三重积分的定义,定义 9.2,任意,分成,n,个小区域,若存在一个常数,I,使,在,中的空间闭区域,设,用,表示第,i,个小闭区域,的体积，,任取,一点,并用,表示各,小闭区域直径的最大者.,并称,I,为,作,乘积,在闭区域,则称函数,是,上的有界函,数，,将区域,上,可积,上的,三重积分,.,称为,体积元素,在直角坐标系下常写作,记作,即,称为积分变量，,定积分，二重积及三重积分可推广为,多重积分,:,注.,其中,I,表示积分区域，,I,上的有界,n,元函数，,n,可取,表示定义在,称为被积函数，,三、重积分的性质,性质,1,（线性性质）,为常数,.,性质,2,（关于积分区域的可加性）,其中,无公共内点,.,其中,三重积分具有与二重积分类似的性质,D,1,D,2,D,则,若在,D,上,则,推论,1,若在,D,上,推论,2,特别地,由于,性质,3,（保序性）,二重积分估值不等式的,几何意义,:,设,D,的面积为,则有,性质,4,（估值性质）,证明,由性质4 可知,由连续函数介值定理,至少有一点,在有界闭区域,D,上连续，,为,D,的面积,则至少存在一点,使得,即,性质5,（中值性质）,设函数,使得,二重积分中值定理的几何意义,性质,6,（对称性的利用）,D,D,1,x,y,O,D,D,2,x,y,O,D,D,3,x,y,O,例,1,比较下列积分的大小,:,解,积分域,D,内,解,例,2,x,y,O,例,3,估计下列积分之值,解,由于,积分性质,4,即,1.96,I 2.,D,D,的面积为,例4,解,关于,y,轴对称,关于,x,为奇函数,关于,x,轴对称,关于,y,为奇函数,D,的面积,思考与练习,被积函数,相同,且,非负,解,由它们的积分域范围可知,1.,比较下列积分值的大小关系,:,2.,设,D,是第二象限的一个有界闭域,且,0,y,1,则,的大小顺序为,(),提示,:,因,0,y,1,故,故在,D,上有,解,备选题例,1-1,三角形斜边方程：,例2-1,为,其中,判断 的符号，,而 待定,.,其中,将,D,分成两部分,:,解法,1,易知,D,1,的面积为,r,2,的面积,2,D,D,2,D,1,r,因为,D,2,D,1,r,2,于是,取 得,则,原式,=,分积分域为,解法,2,舍去此项,D,2,2,D,1,1,D,3,D,2,解,例,3-1,解,例,3-2,具有对称性，故有,利用二重积分的性质估计二重积分,例5,解,D,估计了，,将被积,函数化为同角三角函数之和后，积分容易,而,.,
展开阅读全文