D2_1导数的概念(精品)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章,微积分学的创始人,:,德国数学家,Leibniz,微分学,导数,描述函数变化快慢,微分,描述函数变化程度,都是描述物质运动的工具,(,从微观上研究函数,),导数与微分,导数思想最早由法国,数学家,Ferma,在研究,极值问题中提出,.,英国数学家,Newton,业余数学家之王,费 马,费马（,1601-1665,）是一位对我们有教益的法国数学家，出身于皮革商之家，求学期间没有留下值得传诵的奇闻轶事，,30,岁时获得法学学士学位。毕业后担任律师，并兼任图卢斯议会顾问。,费马的社会工作非常繁忙，但他酷爱数学，利用全部业余时间，从事数学研究。他专门结交有名的数学家，与笛卡尔、帕斯卡（,Pascal,，法，,1623-1662,）等人过从甚密。在解析几何、微积分、数论和概率论等领域都作出了卓越贡献，被誉为“业余数学家之王”。,费马在笛卡尔,几何学,发表之前，就于,1629,年发现了解析几何的基本原理，建立了坐标法，是解析几何的发明人之一。同年写出的,求最大和最小值的方法,一文引入了无穷小量“,E”,，给出了求函数极值的方法，也给出了求曲线的切线的方法。费马,的这些工作，使他成为微积分的先驱者之一。,费马善于思考，特别善于猜想，但不善于动手。读别人的著作时，边看边想，随想随录，顺手把一些体会和猜想写在书的空白处。他有超人的直觉能力，提出了数论中的许多猜想，这些猜想，包括有名的费马大定理，经欧拉、高斯和,20,世纪最著名的数学家希尔伯特（,Hilbert,，德，,1862-1943,），以及英国数学家维尔斯（,A. Wiles,，,1953-,）等许多数学大师苦思冥想，均获证明。费马对数论的发展影响深远，人们也称费马是“猜想数学家”。,费马性情谦和内向，好静成癖，无意构制鸿篇巨著，更无意抛头露面，付梓刊印。他的研究成果，是他去世后，由他的儿子从遗书的眉批，朋友的书信，以及残留的旧纸堆中整理汇集而出版的，写作年月大多不详。他生前没有完整地著作及时行世，因而同时代的人除少数几位密友外，他的名字鲜为人知，直到,18,世纪他还不太知名。然而进入,19,世纪中叶，随着数论的发展，他的著作才引导起数学家和数学史家的研究兴趣，随后，费马的名字才在欧洲大地不胫而走。,科学巨擘,牛 顿,数学和科学中的巨大进展，几乎总是建立在做出一点一滴贡献的许多人的工作之上，需要一个人来走那最高和最后的一步。这个人要能够敏锐地从纷乱的猜测和说明中理清前人的有价值的想法，有足够的想象力把这些碎片重新组织起来，并且足够大胆地制定一个宏伟的计划。在微积分中，这个人就是牛顿。,牛顿（,Newton,，,lsaac,），,1642,年,12,月,25,日生于英国林肯郡的一个普通农民家庭。父亲在他出生前两个月就去世了，母亲在他,3,岁时改嫁，从那以后，他被寄养在贫穷的外祖母家。牛顿并不是神童，他从小在低标准的地方学校接受教育，学业平庸，时常受到老师的批评和同学的欺负。上中学时，牛顿对机械模型设计有特别的兴趣，曾制作了水车、风车、木钟等许多玩具。,1659,年，,17,岁的牛顿被母亲召回管理田庄，但在牛顿的舅父和当地格兰瑟姆中学校长的反复劝说下，他母亲最终同意让牛顿复学。,1660,年秋，牛顿在辍学,9,个月后又回到了格兰瑟姆中学，为升学做准备。,1661,年，牛顿如愿以偿，以优异的成绩考入久负盛名的剑桥大学三一学院，开始了苦读生涯。大学期间除了巴罗（,Barrow,）外，他从他的老师那里只得到了很少的一点鼓舞，他自己做实验并且研读了大量自然科学著作，其中包括笛卡尔（,Descartes,）的,哲学原理,，伽利略（,Galileo,）的,恒星使节,与,两大世界体系的对话,，开普勒（,Kepler,）的,光学,等著作。大学课程刚结束，学校因为伦敦地区鼠疫流行而关闭。他回到家乡，度过了,1665,年和,1666,年，并在那里开始了他在机械、数学和光学上的伟大工作由观察苹果落地，他发现了万有引力定律，这是打开无所不包的力学科学的钥匙。他研究流数法和反流数法，获得了解决微积分问题的一般方法。他用三棱镜分解出七色彩虹，做出了划时代的发现，即像太阳光那样的白光，实际上是由从紫到红的各种颜色混合而成的。“所有这些”，牛顿后来说，“是在,1665,年和,1666,年两个鼠疫年中做的，因为在这些日子里，我正处在发现力最旺盛的时期，而且对于数学和（自然）哲学的关心，比其它任何时候都多”。后世有人评说：“科学史上没有别的成功的例子能和牛顿这两年黄金岁月相比”。,1667,年复活节后不久，牛顿回到剑桥，但他对自己的重大发现却未作宣布。当年的,10,月他被选为三一学院的初级委员。翌年，获得硕士学位，同时成为高级委员。,1669,年，,39,岁的巴罗认识到牛顿的才华，主动宣布牛顿的学识己超过自己，欣然把卢卡斯（,Lucas,）教授的职位让给了年仅,26,岁的牛顿，这件事成了科学史上的一段佳话。,牛顿是他那个时代的世界著名的物理学家、数学家和天文学家。牛顿工作的最大特点是辛勤劳动和独立思考。他有时不分昼夜地工作，常常好几个星期一直在实验室里度过。他总是不满足自己的成就，是个非常谦虚的人。他说：“我不知道，在别人看来，我是什么样的人。但在自己看来，我不过就像是一个在海滨玩耍的小孩，为不时发现比寻常更为光滑的一块卵石或比寻常更为美丽的一片贝壳而沾沾自喜，而对于展现在我面前的浩瀚的真理的海洋，却全然没有发现”。,在牛顿的全部科学贡献中，数学成就占有突出的地位，这不仅是因为这些成就开拓了崭新的近代数学，而且还因为牛顿正是依靠他所创立的数学方法实现了自然科学的一次巨大综合而开拓了近代科学。单就数学方面的成就，就使他与古希腊的阿基米德、德国的“数学王子”高斯一起，被称为人类有史以来最杰出的三大数学家。,微积分的发明和制定是牛顿最卓越的数学成就。微积分所处理的一些具体问题，如切线问题、求积问题、瞬时速度问题和函数的极大、极小值问题等，在牛顿之前就己经有人研究。,17,世纪上半叶，天文学、力学与光学等自然科学的发展使这些问题的解决日益成为燃眉之急。当时几乎所有的科学大师都竭力寻求有关的数学新工具，特别是描述运动与变化的无穷小算法，并且在牛顿诞生前后的一个时期内取得了迅速的发展。牛顿超越前人的功绩是在于他能站在更高的角度，对以往分散的努力加以综合，将自古希腊以来求解无限小问题的各种技巧统一为两类普遍的算法,微分与积分，并确立了这两类运算的互逆关系，从而完成了微积分发明中最后的也是最关键的一步，为其深入发展与广泛应用铺平了道路。,牛顿将毕生的精力献身于数学和科学事业，为人类做出了卓越的贡献，赢得了崇高的社会地位和荣誉。自,1669,年担任卢卡斯教授职位后，,1672,年由于设计、制造了反射望远镜，他被选为英国皇家学会的会员。,1688,年，被推选为国会议员。,1697,年，发表了不朽之作,自然哲学的数学原理,。,1699,年，任英国造币厂厂长。,1703,年当选为英国皇家学会会长，以后连选连任。直至逝世为止。,1705,年被英国女王封为爵士，达到了他一生荣誉之巅。,1727,年,3,月,31,日，牛顿在患肺炎与痛风症后溘然辞世，葬礼在威斯特敏斯特大教堂耶路撒冷厅隆重举行。当时参加了牛顿葬礼的伏尔泰（,F. M. A. Voltaire,）看到英国的大人物都争相抬牛顿的灵柩后感叹说：“英国人悼念牛顿就像悼念一位造福于民的国王”。三年后诗人波普（,A. Pope,）在为牛顿所作的墓志铭中写下了这样的名句：,自然和自然规律隐藏在黑夜里，,上帝说：降生牛顿！,于是世界就充满光明。,博学多才的符号大师,莱布尼茨,莱布尼茨（,Leibniz),，,1646,年,7,月,l,日出生于德国莱比锡的一个书香门第。其父亲是莱比锡大学的哲学教授，在莱布尼茨,6,岁时去世了。莱布尼茨自幼聪慧好学，童年时代便自学他父亲遗留的藏书，并自学中、小学课程。,1661,年，,15,岁的莱布尼茨进入了莱比锡大学学习法律，,17,岁获得学士学位，同年夏季，莱布尼茨前往热奈大学，跟随魏格尔（,E.weigel,）系统地学习了欧氏几何，使他开始确信毕达哥拉斯,柏拉图（,Pythagoras-Plato),的宇宙观：宇宙是一个由数学和逻辑原则所统率的和谐的整体。,1664,年，,18,岁的莱布尼茨获得哲学硕士学位。,20,岁他在阿尔特道夫获得博士学位。,1672,年，他以外交官身份出访巴黎，在那里结识了惠更斯（,Huygens,，荷兰人）以及其他许多杰出的学者，从而更加激发了莱布尼茨对数学的兴趣。在惠更斯的指导下，莱布尼茨系统研究了当时一批著名数学家的著作。,1673,年出访伦敦期间，莱布尼茨又与英国学术界知名学者建立了联系，从此，他以非凡的理解力和创造力进入了数学研究的前沿阵地。,1676,年他定居德国汉诺威，任腓特烈公爵的法律顾问及图书馆馆长，直到,1716,年,11,月,4,日逝世，长达,40,年。莱布尼茨曾历任英国皇家学会会员，巴黎科学院院士，创建了柏林科学院并担任第一任院长。,莱布尼茨的研究兴趣非常广泛。他的学识涉及哲学、历史、语言、数学、生物、地质、物理、机械、神学、法学、外交等领域，在每个领域中都有杰出的成就。然而，由于他独立创建了微积分，并精心设计了非常巧妙而简洁的微积分符号，从而使他以伟大数学家的称号闻名于世。,莱布尼茨在从事数学研究的过程中，深受他的哲学思想的支配，他说,dx,和,x,相比，如同点和地球，或地球半径与宇宙半径相比。在其积分法论文中，他从求曲线所围面积的积分概念出发，把积分看作是无穷小的和。并引入积分符号（它是通过把拉丁文“,Summa”,的字头,S,拉长而得到的）。他的这个符号，以及微积分的要领和法则一直保留到当今的教材中。莱布尼茨也发现了微分和积分是一对互逆的运算，并建立了沟通微分与积分内在联系的微积分基本定理，从而使原本各自独立的微分学和积分学成为统一的微积分学的整体。,莱布尼茨是数学史上最伟大的符号学者之一，堪称符号大师。他曾说：“要发明，就要挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠实地描绘事物的内在本质，从而最大限度地减少人的思维劳动”。正像印度阿拉伯的数学促进了算术和代数发展一样，莱布尼茨所创造的这些数学符号对微积分的发展起了很大的促进作用。欧洲大陆的数学得以迅速发展，莱布尼茨的巧妙符号功不可没，除积分、微分符号外，他创设的符号还有商“,a,/,b,”,，比“,a,:,b,”,，相似“”，全等“”，并“”，交“”以及函数和行列式等符号。,牛顿和莱布尼茨对微积分都做出了巨大贡献，但两人的方法和途径是不同的。牛顿是在力学研究的基础上，运用几何方法研究微积分的；莱布尼茨主要是在研究曲线的切线和面积的问题上，运用分析学方法引进微积分要领的。牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣精深；但莱布尼茨的表达形式简洁准确，胜过牛顿。在对微积分具体内容的,研究上，牛顿先有导数概念，后有积分概念；莱布尼茨则先有求积概念，后有导数概念。除此之外，牛顿与莱布尼茨的学风也迥然不同。作为科学家的牛顿，治学严谨。他迟迟不发表微积分著作,流数术,的原因，很可能是因为他没有找到合理的逻辑基础，也可能是“害怕别人反对的心理”所致。但作为哲学家的莱布尼茨比较大胆，富于想象，勇于推广，结果造成创作年代上牛顿先于莱布尼茨,10,年，而在发表的时间上，莱布尼茨却早于牛顿,3,年。,虽然牛顿和莱布尼茨研究微积分的方法各异，但殊途同归。各自独立地完成了创建微积分的盛业，光荣应由他们两人共享。然而，在历史上曾出现过一场围绕发明微积分优先权的激烈争论。牛顿的支持者，包括数学家泰勒和麦克劳林，认为莱布尼茨剽窃了牛顿的成果。争论把欧洲科学家分成誓不两立的两派：英国和欧洲大陆。争论双方停止学术交流，不仅影响了数学的正常发展，也波及自然科学领域，以致发展到英德两国之间的政治摩擦。自尊心很强的英国民族抱住牛顿的概念和记号不放，拒绝使用更为合理的莱布尼茨的微积分符号和技巧，致使后来的两百多年间英国在数学发展上大大落后于欧洲大陆。一场旷日持久的争论变成了科学史上前车之鉴。,莱布尼茨的科研成果大部分出自青年时代，随着这些成果的广泛传播，荣誉纷纷而来，他也变的越来越保守。到了晚年，他在科学方面已无所作为。他开始为宫廷唱赞歌，为上帝唱赞歌，沉醉于神学和公爵家族的研究。莱布尼茨生命中的最后,7,年，是在别人带来的他和牛顿关于微积分发明权的争论中痛苦地度过的。他和牛顿一样，都终生未娶。,一、引例,二、导数的定义,三、导数的几何意义,四、函数的可导性与连续性的,第一节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,导数的概念,第二章,关系,一、 引例,1.,变速直线运动的速度,(,牛顿的例子）,设描述质点运动位置的函数为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则 到 的平均速度为,时刻的瞬时速度为,2.,曲线的切线斜率（莱布尼茨研究导数的例子）,曲线,在,M,点处的切线,割线,M N,的极限位置,M T,(,当 时,),割线,M N,的斜率,切线,MT,的斜率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两个问题的,共性,:,瞬时速度,切线斜率,所求量为,函数增量,与,自变量增量,之比的极限,.,类似问题还有,:,加速度,角速度,线密度,电流强度,是,速度增量,与,时间增量,之比的极限,是,转角增量,与,时间增量,之比的极限,是,质量增量,与,长度增量,之比的极限,是,电量增量,与,时间增量,之比的极限,变化率问题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、导数的定义,定义,1 .,设函数,在点,存在,并称此极限为,记作,:,即,则称函数,若,的某邻域内有定义,在点,处,可导,在点,的,导数,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若上述极限不存在,在点 不可导,.,若,也称,在,若函数在开区间,I,内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为,导函数,.,记作,:,注意,:,就说函数,就称函数,在,I,内可导,.,的导数为,无穷大,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,运动质点的位置函数,在 时刻的瞬时速度,曲线,在,M,点处的切线斜率,说明,:,在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,1.,求函数,(,C,为常数,),的导数,.,解,:,即,例,2.,求函数,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明：,对一般幂函数,(,为常数,),例如，,（以后将证明）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,3.,求函数,的导数,.,解,:,则,即,类似可证得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,即：,特别：,例,4,例,5,解：,即：,特别：,例,6,求,在,处导数,解：,当,时，上式为,-1,；,当,时，,不存在,在,处不可导,.,即,上式为,1,在点,的某个,右,邻域内,单侧导数,若极限,则称此极限值为,在 处的,右 导数,记作,即,(,左,),(,左,),例如,在,x,= 0,处有,定义,设函数,有定义,存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理,.,函数,在点,且,存在,简写为,在点,处,右,导数存在,定理,.,函数,在点,必,右,连续,.,(,左,),(,左,),若函数,与,都存在,则称,显然,:,在闭区间,a,b,上可导,在开区间,内可导,在闭区间,上可导,.,可导的,充分必要条件,是,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、 导数的几何意义,曲线,在点,的切线斜率为,若,曲线过,上升,;,若,曲线过,下降,;,若,切线与,x,轴平行,称为,驻点,;,若,切线与,x,轴垂直,.,曲线在点,处的,切线方程,:,法线方程,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,7,等边 双曲线,例,8,求,四、 函数的可导性与连续性的关系,定理,1.,证,:,设,在点,x,处可导,存在,因此必有,其中,故,所以函数,在点,x,连续,.,注意,:,函数在点,x,连续未必可导,.,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,9.,解,:,但在原点,(0 , 0),有垂直切线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在 处连续，但不可导,例,10,在,x,= 0,处连续 ,但不可导,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（左右导数存在但不等）,注：连续是可导的必要条件，,若不连续，则一定不可导,在,（,0,，,0,）,处,无切线,思考与练习,1.,函数 在某点 处的导数,区别,:,是函数,是数值,;,联系,:,注意,:,有什么区别与联系,?,？,与导函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,设,存在,则,3.,已知,则,4.,若,时,恒有,问,是否在,可导,?,解,:,由题设,由夹逼准则,故,在,可导,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5.,设,问,a,取何值时,在,都存在,并求出,解,:,故,时,此时,在,都存在,显然该函数在,x,= 0,连续,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,解,:,因为,1.,设,存在,且,求,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在,处连续,且,存在，,证明,:,在,处可导,.,证,：,因为,存在，,则有,又,在,处连续,所以,即,在,处可导,.,2.,设,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,