教育专题：第21讲　矩形、菱形、正方形

宇轩图书,目 录,考点知识精讲,宇轩图书,上一页,下一页,首 页,中考典例精析,宇轩图书,上一页,下一页,首 页,考点训练,宇轩图书,上一页,下一页,首 页,举一反三,宇轩图书,上一页,下一页,首 页,第,21,讲矩形、菱形、正方形,考点知识精讲,中考典例精析,考点训练,举一反三,考点一 矩形的定义、性质和判定,1,定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形,2,性质：,(1),矩形的四个角都是直角；,(2),矩形的对角线,_,；,(3),矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，它的对称中心是对角线的交点,3,判定：,(1),有,的平行四边形是矩形；,(2),有三个角是直角的四边形是矩形；,(3),对角线相等的,是矩形,互相平分且相等,一个角是直角,平行四边形,考点二 菱形的定义、性质和判定,1,定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形,2,性质：,(1),菱形的四条边,，对角线互相,，并且每条对角线平分一组对角,;(2),菱形既是轴对称图形又是中心对称图形,3,判定：,(1),有一组邻边相等的平行四边形是菱形；,(2),四条边都相等的四边形是菱形；,(3),对角线,的平行四边形是菱形；,(4),对角线互相垂直平分的四边形是菱形,都相等,垂直平分,互相垂直,考点三 正方形的定义、性质和判定,1,定义：有一个角是直角的菱形是正方形或有一组邻边相等的矩形是正方形,2,性质：,(1),正方形四个角都是,，四条边都,；,(2),正方形两条对角线,，并且互相,，每条对角线平分一组对角,(3),正方形既是轴对称图形又是中心对称图形,3,判定：,(1),有一个角是直角的菱形是正方形；,(2),有一组邻边相等的矩形是正方形,(,正方形的判定可借助平行四边形、矩形、菱形来判定,),直角,相等,相等,垂直平分,考点四 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系,温馨提示：,1.,矩形、菱形和正方形具有平行四边形的所有性质,.,2.,平行四边形及特殊平行四边形的有关知识点较多，要想做到准确而不混淆就要从,“,边、角、对角线、对称性,”,这四个方面来研究它们的性质和判定，多用数形结合法，掌握它们的区别及联系，把握它们的特征是关键,.,(1)(2011,温州,),如图，在矩形,ABCD,中，对角线,AC,，,BD,交于点,O.,已知,AOB,60,，,AC,16,，则图中长度为,8,的线段有,(,),A,2,条,B,4,条,C,5,条,D,6,条,(2)(2011,佛山,),依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是,(,),A,矩形,B,菱形,C,正方形,D,梯形,(3)(2011,芜湖,),如图所示，从边长为,(a,4)cm,的正方形纸片中剪去一个边长为,(a,1)cm,的正方形,(a,0),，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形,(,不重复无缝隙,),，则矩形的面积为,(,),A,(2a,2,5a)cm,2,B,(3a,15)cm,2,C,(6a,9)cm,2,D,(6a,15)cm,2,【,点拨,】,本组题综合考查矩形、菱形、正方形的性质和判定,(2011,南京,),如图，将,ABCD,的边,DC,延长到点,E,，使,CE,DC,，,连接,AE,，交,BC,于点,F.,(1),求证：,ABFECF,；,(2),若,AFC,2D,，连接,AC,、,BE,，求证：四边形,ABEC,是矩形,【,点拨,】(1),证明两三角形全等的方法主要有,“,SSS,”“,SAS,”“,ASA,”,和,“,AAS,”,四种,(2),对角线相等或有一个角是直角的平行四边形是矩形,【,解答,】(1),证明：,四边形,ABCD,是平行四边形，,ABDC,，,AB,DC.ABF,ECF.EC,DC,，,AB,EC.,在,ABF,和,ECF,中，,ABF,ECF,，,AFB,EFC,，,AB,EC,，,ABFECF.,(2),证法一：,AB,EC,，,ABEC,，,四边形,ABEC,是平行四边形,FA,FE,，,FB,FC.,四边形,ABCD,是平行四边形，,ABC,D.,又,AFC,2D,，,AFC,2ABC.AFC,ABF,BAF,，,AFC,2D,，,ABF,BAF.FA,FB.FA,FE,FB,FC.AE,BC.,ABEC,是矩形,证法二：,AB,EC,，,ABEC,，,四边形,ABEC,是平行四边形,四边形,ABCD,是平行四边形，,ADBC,，,D,BCE.,又,AFC,2D,，,AFC,2BCE.AFC,FCE,FEC,，,FCE,FEC.D,FEC.AE,AD.,又,CE,DC,，,ACDE,，即,ACE,90,.,ABEC,是矩形,(2011,宁波,),如图，在,ABCD,中，,E,、,F,分别为边,AB,、,CD,的中点，,BD,是对角线，过,A,点作,AGDB,交,CB,的延长线于点,G.,(1),求证：,DEBF,；,(2),若,G,90,，求证：四边形,DEBF,是菱形,【,点拨,】(1),一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,(2),一组邻边相等的平行四边形是菱形,1,下列命题中是真命题的是,(,),A,对角线互相垂直且相等的四边形是正方形,B,有两边和一角对应相等的两个三角形全等,C,两条对角线相等的平行四边形是矩形,D,两边相等的平行四边形是菱形,答案：,C,答案：,A,3,将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线,(,直角三角形的中位线,),剪去上面的小直角三角形将留下的纸片展开，得到的图形是,(,),答案：,A,4,如图，已知矩形,ABCD,，一条直线将该矩形,ABCD,分,割成两个多边形,(,含三角形,),，若这两个多边形的内角和,分别为,m,和,n,，则,m,n,不可能是,(,),A,360,B,540,C,720,D,630,答案：,D,5,将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸,片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则,1,2,.,6,如图，在等边三角形,ABC,中，点,D,是,BC,边的中点，以,AD,为边作等边三角形,ADE.,(1),求,CAE,的度数；,(2),取,AB,边的中点,F,，连接,CF,、,CE,，试证明四边形,AFCE,是矩形,答案：,(1)30,(2),利用定义判定四边形,AFCE,为矩形,90,矩形、菱形、正方形,训练时间：,60,分钟,分值：,100,分,一、选择题,(,每小题,4,分，共,40,分,),1,(2011,哈尔滨,),如图，在矩形,ABCD,中，对角线,AC,、,BD,相交于点,O,，,AOB,60,，,AB,5,，则,AD,的长是,(,),【,答案,】B,2,(2010,中考变式题,),如图，菱形,ABCD,中，,AB,5,，,BCD,120,，则对角线,AC,的长是,(,),A,20,B,15,C,10,D,5,【,解析,】,在菱形,ABCD,中，,AB,BC,5.,BCD,120,，,AC,平分,BCD,，,BCA,60,，,ABC,是等边三角形，,AC,AB,5.,【,答案,】D,3,(2010,中考变式题,),下列说法不正确的是,(,),A,一组邻边相等的矩形是正方形,B,对角线相等的菱形是正方形,C,对角线互相垂直的平行四边形是正方形,D,有一个角是直角的平行四边形是矩形,【,解析,】,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,【,答案,】C,4,(2012,中考预测题,),如图，点,P,是矩形,ABCD,的边,AD,上的一个动点，矩形的两条边,AB,、,BC,的长分别为,3,和,4,，那么点,P,到矩形的两条对角线,AC,和,BD,的距离之和是,(,),【,解析,】,5,(2010,中考变式题,),如图，已知矩形纸片,ABCD,，点,E,是,AB,的中点，点,G,是,BC,上的一点，,BEG,60,，现沿直线,EG,将纸片折叠，使点,B,落在纸片上的点,H,处，连接,AH,，则与,BEG,相等的角的个数为,(,),A,4,个,B,3,个,C,2,个,D,1,个,【,解析,】,由题意知，,BEG,HEG,，则,BE,HE,；,BEG,HEG,，,BEH,2,BEG,.,点,E,是,AB,的中点，,AE,BE,，,AE,HE,.,EAH,EHA,.,BEH,EAH,EHA,2,EAH,.,BEG,EAH,EHA,HEG,.,则与,BEG,相等的角有,3,个,【,答案,】B,7,(2012,中考预测题,),如图，在矩形,ABCD,中，,AB,3,，,BC,5,，过对角线交点,O,作,OE,AC,交,AD,于,E,，则,AE,的长是,(,),A,1.6 B,2.5 C,3 D,3.4,A,矩形,B,菱形,C,正方形,D,等腰梯形,【,解析,】,由作图方法可知,AC,AD,BC,BD,，所以四边形,ADBC,一定是菱形,【,答案,】B,9,(2012,中考预测题,),顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是,(,),A,矩形,B,直角梯形,C,菱形,D,正方形,【,解析,】,顺次连接四边形各边中点得平行四边形，另外由对角线垂直可得到平行四边形有一个角是直角，所以得到的是矩形,【,答案,】A,10,(2011,杭州,),在矩形,ABCD,中，有一个菱形,BFDE,(,点,E,，,F,分别在线段,AB,，,CD,上,),，记它们的面积分别为,S,矩形,ABCD,和,S,菱形,BFDE,，现给出下列命题：,A,是真命题，是真命题,B,是真命题，是假命题,C,是假命题，是真命题,D,是假命题，是假命题,二、填空题,(,每小题,4,分，共,16,分,),11,(2011,铜仁,),已知菱形的两条对角线长分别为,2 cm,，,3 cm,，则它的面积是,_cm,2,.,【,答案,】3,12,(2011,山西,),如图，四边形,ABCD,是平行四边形，添加一个条件：,_,，可使它成为矩形,【,解析,】,对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形,【,答案,】,ABC,90,(,或,AC,BD,等,),13,(2011,潍坊,),如图所示，已知长方形,ABCD,，,AB,3 cm,，,AD,4 cm,，过对角线,BD,的中点,O,作,BD,的垂直平分线,EF,，分别交,AD,、,BC,于点,E,、,F,，则,AE,的长为,_,14,(2010,中考变式题,),如图，在边长为,2 cm,的正方形,ABCD,中，点,Q,为,BC,边的中点，点,P,为对角线,AC,上一动点，连接,PB,、,PQ,，则,PBQ,周长的最小值为,_cm(,结果不取近似值,),三、解答题,(,共,44,分,),15,(10,分,)(2010,中考变式题,),如图，,O,为矩形,ABCD,对角线的交点，,DE,AC,，,CE,BD,.,(1),试判断四边形,OCED,的形状，并说明理由；,(2),若,AB,6,，,BC,8,，求四边形,OCED,的面积,【,答案,】,解：,(1),四边形,OCED,是菱形,DE,AC,，,CE,BD,，四边形,OCED,是平行四边形,又在矩形,ABCD,中，,OC,OD,.,四边形,OCED,是菱形,(2),连接,OE,，由四边形,OCED,是菱形得，,CD,OE,.,OE,BC,.,又,CE,BD,，四边形,BCEO,是平行四边形，,OE,BC,8,，,16,(8,分,)(2011,广州,),如图所示，,AC,是菱形,ABCD,的对角线，点,E,、,F,分别在边,AB,、,AD,上，且,AE,AF,.,求证：,ACE,ACF,.,【,答案,】,证明：,AC,是菱形,ABCD,的对角线，,CAE,CAF,.,在,ACE,和,ACF,中，,AE,AF,，,CAE,CAF,，,AC,AC,，,ACE,ACF,(SAS),17,(12,分,)(2012,中考预测题,),如图，在,ABC,中，点,O,是,AC,边上的一个动点，过点,O,作直线,MN,BC,，设,MN,交,BCA,的平分线于点,E,，交,BCA,的外角平分线于点,F,.,(1