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,10-1,概述,第三章 平面刚架有限元分析及程序设计,3.1,平面刚架的单元分析,3.2,平面刚架的整体刚度矩阵,3.3,等效结点荷载,3.4,单元内力计算,3.5,计算步骤和算例,3.6,程序设计,有限单元法及程序设计,3.1,平面刚架的单元分析,A,B,C,E,D,F,A,B,D,E,C,结构的离散化：尽量将结构离散成数量最少的等截面直杆单元,3.1.1,局部坐标系下的单元刚度矩阵,局部坐标系的建立,i,E,，,I,，,A,，,l,j,e,轴：沿单元的杆轴方向；,3.1,平面刚架的单元分析,轴：从 轴,顺,时针旋转,90,。,原点：以第一个节点为坐标原点；,杆端力、杆端位移及其符号,与坐标系的方向一致为正，即,弯矩、转角：绕杆端,顺,时针为正；,其它：与坐标轴同向为正。,e,杆端力,e,杆端位移,3.1,平面刚架的单元分析,位移法求刚度矩阵,e,e,e,1,、建立基本体系,基本结构,基本体系,杆端施加约束,杆端施加,单位,位移,3.1,平面刚架的单元分析,位移法求刚度矩阵,2,、建立基本方程,3.1,平面刚架的单元分析,6,个基本未知量，,6,个基本方程，,36,个系数；,e,位移法求刚度矩阵,3,、求系数和自由项,忽略轴向受力状态和弯曲受力状态之间的影响，受力状态可以看成是轴向受力状态和弯曲受力状态的叠加；,轴向受力状态：,e,3.1,平面刚架的单元分析,1,A,B,4,i,2,i,A,B,6,i,/,l,A,B,1,A,B,6,i,/,l,6,i,/,l,A,B,12,i,/,l,2,A,B,弯曲受力状态：（形常数,P279,）,3.1,平面刚架的单元分析,e,e,3.1,平面刚架的单元分析,e,e,3.1,平面刚架的单元分析,位移法典型方程为：,3.1,平面刚架的单元分析,局部坐标下的单元刚度方程,e,e,e,e,e,e,写成矩阵形式：,3.1,平面刚架的单元分析,e,局部坐标下自由单元的单元刚度矩阵,3.1,平面刚架的单元分析,单元刚度矩阵的性质,（,1,）单元刚度系数,k,ij,的意义,j,自由度产生的单位杆端位移引起的,i,自由度的杆端力,（,2,）单元刚度矩阵是对称矩阵,反力互等定理,（,3,）自由单元刚度矩阵是奇异矩阵,矩阵行列式等于零，逆阵不存在。,解不唯一,由杆端力只能求出变形，不能求杆端总的位移,（刚体位移+变形）。,解唯一,e,e,e,e,e,e,3.1,平面刚架的单元分析,（,2,）连续梁单元的刚度方程,单元两端只有转角位移，只考虑杆端转角和杆端弯矩的关系。,e,e,e,非奇异，可逆,3.1.2,特殊单元,（,1,）桁架单元刚度方程,e,e,e,奇异，不可逆,单元只有轴力，只考虑杆端轴向位移和杆端轴力的关系。,3.1,平面刚架的单元分析,3.1.3,整体坐标系下的单元刚度矩阵,1,单元坐标转换矩阵,整体坐标系下的杆端力,x,y,x,y,F,(1),F,(2),F,(3),F,(4),F,(5),F,(6),e,1,2,局部坐标系下的杆端力,x,y,x,y,1,2,e,3.1,平面刚架的单元分析,x,y,x,y,F,(1),F,(2),F,(3),1,3.1,平面刚架的单元分析,e,e,3.1,平面刚架的单元分析,坐标转换矩阵,e,e,e,e,3.1,平面刚架的单元分析,正交矩阵,其中:,整体坐标下的杆端位移,同理：,e,e,e,3.1,平面刚架的单元分析,2,整体坐标系下的单元刚度矩阵,e,e,e,e,e,e,整体坐标下的单元刚度方程,整体坐标下的,元刚度矩阵,e,e,e,e,e,e,e,e,e,e,e,e,e,e,e,e,e,e,e,e,e,e,e,e,e,e,e,3.1,平面刚架的单元分析,A,C,B,y,x,例题：,求图示刚架各单元在整体坐标系下的刚度矩阵。,3.1,平面刚架的单元分析,(,4,),(,5,),(6),(,2,),(3),(,1,),(6),(2),(1),(3),(5),(4),局部坐标系下的单元刚度矩阵,3.1,平面刚架的单元分析,整体坐标系下的单元刚度矩阵,单元,：,3.1,平面刚架的单元分析,单元,：,3.1,平面刚架的单元分析,3.2.1,整体刚度矩阵的集成步骤,1,、定位,3.2,平面刚架的整体刚度矩阵,单元自由度编号,2,、累加,整体自由度编号,单元刚度系数,整体刚度系数,例：,如图所示平面刚架，求整体刚度矩阵。,总码:对结点位移进行编码,局码:对每个单元的杆端位移进行编码,(2),(1),(3),(5),(4),(6),(,5,),(,4,),(6),(,1,),(3),(,2,),A,C,B,1,2,3,4,0,0,0,0,0,y,x,1,、对总体结点位移进行编码；,2,、对单元结点位移进行编码；,3.2,平面刚架的整体刚度矩阵,y,x,3,、计算整体坐标系下的单元刚度矩阵,3.2,平面刚架的整体刚度矩阵,（,1,）集成单元,定位向量,A,C,B,1,2,3,4,0,0,0,0,0,4,、定位和累加,3.2,平面刚架的整体刚度矩阵,（,2,）集成单元,定位向量,A,C,B,1,2,3,4,0,0,0,0,0,3.2,平面刚架的整体刚度矩阵,总体刚度矩阵为,3.2,平面刚架的整体刚度矩阵,C,1,C,2,A,B,D,1,3,2,4,5,6,总体编码：铰结点的两个杆端转角位移分别编码。,3.2.2,铰结点的处理,3.2,平面刚架的整体刚度矩阵,7,4,5,集成单元,C,1,C,2,A,B,D,1,3,2,4,5,7,6,3.2,平面刚架的整体刚度矩阵,集成单元,C,1,C,2,A,B,D,1,3,2,4,5,7,6,3.2,平面刚架的整体刚度矩阵,集成单元,C,1,C,2,A,B,D,1,3,2,4,5,7,6,3.2,平面刚架的整体刚度矩阵,总刚,3.2,平面刚架的整体刚度矩阵,有限元方程：,3.3,等效结点荷载,3.3.1,基本方程,反映结点位移和位移引起的结点力之间的关系，并不反映作用在结构上的实际荷载与位移之间的关系；,位移法的基本方程是结点力的平衡方程：,为外荷载单独作用时，在基本结构中引起的结点约束力；,为结点位移单独作用时，在基本结构中引起的结点约束力；,式中：,因此：,作用在单元上的荷载，既有结点荷载，也有非结点荷载，因此需要将非结点荷载转换成等效的结点荷载。,3.3,等效结点荷载,3.3.2,等效结点荷载的概念,等效结点荷载和原荷载在基本结构中产生的约束力相等；,原荷载产生的约束力：,因此：,等效原则：,等效结点荷载 产生的约束力也应该为,位移法的基本方程：,将结点集中荷载在等效结点荷载列阵中进行“定位”；,将单元等效结点荷载在等效荷载列阵中“定位”、“累加”。,（,4,）整体结构的等效结点荷载,（,3,）计算整体坐标系下的等效结点荷载,（,2,）确定局部坐标系下的等效结点荷载,e,e,e,e,e,e,e,（,1,）单元,和,结点位移编码,3.3.3,等效结点荷载的计算步骤,e,e,e,e,3.3,等效结点荷载,例题,8,kN,6,kN,7,kNm,5,m,4.8,kN/m,10,kN,2.5,m,2.5,m,（,2,）局部坐标系下的等效结点荷载,2,1,3,4,8,kN,4kN,4kN,5kNm,5kNm,12kN,12kN,10kNm,10kNm,4.8kN/m,解,（,1,）单元划分，,结点位移编码,3.3,等效结点荷载,（,3,）整体坐标系下的等效结点荷载,2,1,3,4,3.3,等效结点荷载,集成单元,集成单元,单元定位,结构的等效结点荷载,（,4,）结构的等效结点荷载,结点集中荷载定位,单元等效结点荷载定位、累加,2,1,3,4,3.3,等效结点荷载,例题,求等效结点荷载,解,(2),局部坐标下的等效结点荷载,(3),整体坐标下的等效结点荷载,4,m,15,kN/m,40,kN,2,m,30kN,30kN,20kNm,20kNm,15kN/m,15kN,15kN,5kNm,5kNm,15kN/m,(1),单元和结点位移编码,3.3,等效结点荷载,集成单元,集成单元,结构的等效结点荷载,(4),结点等效结点荷载集成,结点集中荷载定位,单元等效结点荷载定位累加,15,kN/m,40,kN,3.3,等效结点荷载,3.4,单元内力的计算,杆端位移引起的杆端力：,因此：,(1),整体坐标系下的单元杆端位移,(2),局部坐标系下的单元杆端位移,(3),局部坐标系下的单元杆端力,e,e,e,e,e,e,e,e,e,e,e,e,外荷载引起的杆端力：,(1),形成局部坐标系下的单元刚度矩阵,(2),形成整体坐标系下的单元刚度矩阵,(3),定位累加形成结构整体刚度矩阵,2,形成刚度矩阵,1,确定整体和局部坐标系、单元和结点位移编码,3,形成等效结点荷载,(1),形成局部坐标系下的单元等效结点荷载向量,(2),形成整体坐标系下的单元等效结点荷载向量,(3),定位累加形成等效结点荷载列向量,3.5,计算步骤和算例,3.5.1,计算步骤,4,解整体刚度方程，求结点位移,5,求各单元的杆端内力,(1),整体坐标系下的单元杆端位移,(2),局部坐标系下的单元杆端位移,(3),局部坐标系下的单元杆端力,6,绘制各单元的杆端内力图,3.5,计算步骤和算例,解,1,确定整体和局部坐标系、单元和结点位移编码,2,1,A,B,C,D,4,3,5,6,3.5.2,算例,3.5,计算步骤和算例,例题,做图示刚架的内力图,12m,1,kN/m,6m,A,B,C,D,矩形截面,立柱,:,横梁,:,设,:,2,形成刚度矩阵,(1),形成局部坐标系下的单元刚度矩阵。,3.5,计算步骤和算例,(2),形成整体坐标系下的单元刚度矩阵。,3.5,计算步骤和算例,(3),定位累加，形成整体坐标系下的整体刚度矩阵,3.5,计算步骤和算例,3,形成等效结点荷载,(1),形成局部坐标系下的单元等效,结点荷载,向量,(3),定位累加形成等效结点荷载列向量,(2),形成整体坐标系下的单元等效结点荷载向量,3.5,计算步骤和算例,4,解整体刚度方程，求结点位移,3.5,计算步骤和算例,5,求各单元的杆端内力,(1),确定整体坐标系下的杆端位移,2,1,A,B,C,D,4,3,5,3.5,计算步骤和算例,(2),确定局部坐标系下的杆端位移,3.5,计算步骤和算例,5,求各单元的杆端内力,3.5,计算步骤和算例,3.5,计算步骤和算例,1kN/m,1.24kN,2.09kNm,4.76kN,8.49kNm,0.43kN,0.43kN,0.43kN,0.43kN,2.09kNm,3.04kNm,1.24kN,1.24kN,1.24kN,3.04kNm,1.24kN,4.38kNm,0.43kN,0.43kN,3.5,计算步骤和算例,6,画出内力图,2.09,8.49,4.38,3.04,M,图,(,kNm,),1.24,4.76,1.24,0.43,F,Q,图,(,kN,),0.43,0.43,1.24,F,N,图,(,kN,),3.5,计算步骤和算例,C,1,A,B,D,C,2,1,4,1,2,3,例题 求整体刚度矩阵,.,已知整体坐标系的单元刚度矩阵,.,3.5.3,忽略轴向变形刚架的分析,3.5,计算步骤和算例,集成单元,解,1,C,1,A,B,D,4,C,2,1,2,3,3.5,计算步骤和算例,集成单元,1,C,1,A,B,D,4,C,2,1,2,3,3.5,计算步骤和算例,集成单元,1,C,1,A,B,D,4,C,2,1,2,3,3.5,计算步骤和算例,整体刚度矩阵,3.5,计算步骤和算例,例题,做图示刚架的内力图,12m,1,kN/m,6m,A,B,C,D,2,1,A,B,C,D,1,3,解,1,确定整体和局部坐标系、单元和结点位移编码,3.5,计算步骤和算例,2,形成刚度矩阵,(1),形成局部坐标系下的单元刚度矩阵。,3.5,计算步骤和算例,(2),形成整体坐标系下的单元刚度矩阵。,3.5,计算步骤和算例,(3),定位累加，形成整体坐标系下的整体刚度矩阵,集成单元,2,1,A,B,C,D,1,3,3.5,计算步骤和算例,集成单元,2,1,A,B,C,D,1,3,3.5,计算步骤和算例,集成单元,2,1,A,B,C,D,1,3,3.5,计算步骤和算例,整体刚度矩阵,3,形成等效结点荷载,(1),形成局部坐标系下的单元等效结点荷载向量,(3),定位累加形成整体坐标系下的等效结点荷载列向量,(2),形成整体坐标系下的单元单元等效结点荷载向量,3.5,计算步骤和算例,4,解整体刚度方程，求结点位移,3.5,计算步骤和算例,5,求各单元的杆端内力,(1),由结点位移，确定各单元的局部坐标系下的杆端位移,3.5,计算步骤和算例,3.5,计算步骤和算例,5,求各单元的杆端内力,3.5,计算步骤和算例,3.5,计算步骤和算例,1kN/m,1.25kN,2.09kNm,4.75kN,8.41kNm,1.25kN,3.09kNm,1.75kN,4.47kNm,0.43kN,0.43kN,2.09kNm,3.09kNm,6,画出内力图,3.5,计算步骤和算例,2.09,8.41,4.47,3.09,M,图,(,kNm,),1.25,4.75,1.26,0.43,F,Q,图,(,kN,),0.43,0.43,1.25,F,N,图,(,kN,),忽略轴向变形时，只是整体位移编码数量减少了。,在坐标转换时仍然要用,66,的局部坐标系下的单元刚度矩阵和坐标转换矩阵。,3.5,计算步骤和算例,往年考题解析,3.5,计算步骤和算例,往年考题解析,3.5,计算步骤和算例,往年考题解析,3.5,计算步骤和算例,往年考题解析,3.5,计算步骤和算例,作业,P428 9-3 9-5(a),P430 9-10 9-11,作业,3.6,程序设计,3.6.1,程序框图,输入数据,单元局,部荷载,坐标转换矩阵,单元整体荷载,集成整体刚,度矩阵元素,约束条件处理、解方程,计算单元轴力、约束反力,单元循环,包括单元、结点、材料、荷载、约束数据,单元局,部刚度,单元整体刚度,集成整体等效结点荷载向量元素,形成整体刚度方程,3.6,程序设计,3.6.2,程序说明,
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