教育专题：第一章第1讲集合的含义与基本关系

第一章 集合与逻辑用语,第,1,讲,集合的含义与基本关系,考纲要求,考纲研读,1.,集合的含义与表示,(1),了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系,(2),能用自然语言、图形语言、集合语言,(,列举法或,描述法,),描述不同的具体问题,2,集合间的基本关系,(1),理解集合之间包含与相,等的含义，能识别给定,集合的子集,(2),在具体情境中，了解全集与空集的含义,3,集合的基本运算,(1),理解两个集合的并集,与交集的含义，会求两个,简单集合的并集与交集,(2),理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会,求给定子集的补集,(3),能使用韦恩,(Venn),图表达集合的关系及运算,.,1.,集合是由元素组成,的，从集合中元素的,特征出发，可找到元,素与集合及集合与集,合之间的关系,2,对于集合的运算，,可充分借助于韦恩,(Venn),图或数轴的直,观性,3,对于与集合运算有,关的,新概念问题，通,过信息迁移构造出符,合要求的情景是关键,.,1,集合的含义与表示,互异性,无序性,(1),集合元素的三个特征：,_,、,_,和,_,(2),元素与集合的关系是,_,或,_,，用符号“,_”,或,“,_”,表示,描述法,(3),集合的表示法：,_,、,_,、图示法,(4),常用数集：自然数集,N,；正整数集,N,*,(,或,N,),；整数集,Z,；,有理数集,Q,；实数集,R,.,确定性,属于,不属于,列举法,2,集合间的基本关系,A,B,若,a,A,，则,a,B,(1),对于两个集合,A,与,B,，如果集合,A,中任何一个元素都是集,合,B,的元素，则称集合,A,包含于集合,B,，或集合,B,包含集合,A,，,记作,A,B,或,B,A,.,用符号表达即“,_”,(2),空集及其性质,空集是任何集合的,_,，其中“任何集合”当然也包括,了,，,故有,.,子集,真子集,空集是任何非空集合的,_,，即,A,(,而,A,),(3),子集的有关性质,A,B,_.,A,B,，,B,C,_.,A,C,若集合,A,有,n,个元素，则,A,的子集数为,_.,2,n,A,B,且,B,A,3,集合的运算及其性质,(1),集合的运算,x,|,x,A,且,x,B,交集：,A,B,_,并集：,A,B,_,补集：,U,A,_,(2),集合的运算性质,并集的性质：,A,A,、,A,A,A,、,A,B,B,A,、,A,B,A,B,A,.,交集的性质：,A,、,A,A,A,、,A,B,B,A,、,A,B,A,A,B,；,补集的性质：,A,U,A,U,、,A,U,A,、,U,(,U,A,),A,、,U,(,A,B,),(,U,A,)(,U,B,),、,U,(,A,B,),(,U,A,)(,U,B,),x,|,x,A,或,x,B,x,|,x,U,且,x,A,1,已知全集,U,R,，则正确表示集合,M,1,0,1,和,N,x,|,x,2,x,0,关系的韦恩,(Venn),图是,(,),B,2,集合,A,(,x,，,y,)|,x,y,0,，,B,(,x,，,y,)|,x,y,2,，则,A,B,是,(),C,A,(1,，,1),B.,x,1,y,1,C,(1,，,1),D,1,，,1,3,(2011,年四,川,),若全集,M,1,2,3,4,5,，,N,2,4,，则,M,N,(,),B,A,C,2,4,B,1,3,5,D,1,2,3,4,5,解析：,M,1,2,3,4,5,，则,M,N,1,3,5,故选,B.,4,(2012,年湖南,),设集合,M,1,0,1,，,N,x,|,x,2,x,，则,M,N,(,),A,0,B,0,1,C,1,1,D,1,0,0,5,(2012,年江苏,),已知集合,A,1,2,4,，,B,2,4,6,，则,A,B,_.,1,2,4,6,考点,1,集合间的基本关系,例,1,：,集合,A,x,|,2,x,5,，,B,x,|,m,1,x,2,m,1,(1),若,B,A,，求实数,m,的取值范围；,(2),当,x,R,时，没有元素,x,使,x,A,与,x,B,同时成立，求实,数,m,的取值范围,需,m,1,2,，,2,m,15,，,可得,2,m,3.,综上,m,3,时有,B,A,.,解析：,(1),当,m,1,2,m,1,，即,m,2,时，,B,.,满足,B,A,.,当,m,12,m,1,，即,m,2,时，要使,B,A,成立，,(2),x,R,，且,A,x,|,2,x,5,，,B,x,|,m,1,x,2,m,1,，,没有元素,x,使,x,A,与,x,B,同时成立即,A,B,.,若,B,即,m,1,2,m,1,，得,m,2,时满足条件,若,B,，则要满足条件有：,m,1,2,m,1,，,m,15,，,或,m,1,2,m,1,，,2,m,1,2,，,解得,m,4.,综上所述，有,m,2,或,m,4.,(1),空集是任何集合的子集，因此当,B,A,时需,考虑,B,的情形；,(2),当,A,B,时也需考虑,B,的情形，如果,当集合,B,不是空集，要保证,B,A,，可以利用数轴，这样既直观又,简洁；,(3),虽然本题的难度不大，但都需要分两种情况讨,论，在,(1),中解不等式组时需求交集，而最终结果又,都要求两种讨论结果的,并集，因此本题还是综合性很强的,【,互动探究,】,1,(2011,年安徽,),设集合,A,1,2,3,4,5,6,，,B,4,5,6,7,，则满,足,S,A,且,S,B,的集合,S,的个数为,(,),B,A,57,B,56,C,49,D,8,解析：,集合,A,的所有子集共,有,2,6,64,个，其中不含,4,5,6,7,的,子集有,2,3,8,个，所以集合,S,共有,56,个故选,B.,D,2,(2011,年浙,江,),若,P,x,|,x,1,，则,(),A,P,Q,B,Q,P,C,R,P,Q,D,Q,R,P,解析：,P,x,|,x,1,，,Q,R,P,.,故选,D.,考点,2,集合的运算,例,2,：,设全集,U,x,|,x,20,的质数,，,M,U,N,3,5,，,N,U,M,7,19,，,(,U,M,)(,U,N,),2,17,，求集合,M,与,N,.,解析：,如图,D1,，由,(,U,M,)(,U,N,),2,17,，可知,M,，,N,中没,有元素,2,17.,图,D1,由,N,U,M,7,19,，,可知,N,中有元素,7,19,，,M,中没有元素,7,19.,由,M,U,N,3,5,，,可知,M,中有元素,3,5,，,N,中没有元素,3,5.,剩下的元素,11,13,不在,M,U,N,、,N,U,M,、,(,U,M,)(,U,N,),三部,分中，只能,11(,M,N,),，,13(,M,N,),M,3,5,11,13,，,N,7,11,13,19,集合问题大都比较抽象，解题时若借助,Venn,图进,行数形分析，往往可将问题直观,化、形象化，使问题灵活、直观、,简捷、准确地获解，当然本题还要注意的就是,1,既不是质数也不,是合数,【,互动探究,】,3,(2012,年湖北,),已知集合,A,x,|,x,2,3,x,2,0,，,x,R,，,B,x,|0,x,5,，,x,N,，则满足条件,A,C,B,的集合,C,的个数为,(,),A,1,个,B,2,个,C,3,个,D,4,个,D,考点,3,与集合有关的新概念问题,图,1,1,1,A,x,|0,x,2,B,x,|12,答案：,D,D,根据图形语言可知定义的,A,#,B,可转化为,A,#,B,A B,(,A,B,),所以需,要求,出和，借助数轴求出并集与交集解题,的关,键是由图形语言把新定义运算转化为原有的普通运算解出,【,互动探究,】,5,部分实数构成的集合,A,满足：任两个不同元素的和仍然,是,A,的元素；任两个不同元素的积仍然是,A,的元素；任一元,素的,n,次幂仍然是,A,的元素,(,n,N,),这样的有限集,A,有,(,),B,A,无限多个,B,2,个,C,3,个,D,4,个,解析：,集合,A,0,1,或,1,0,1,6,(2012,年江西,),若集合,A,1,1,，,B,0,2,，则集合,z,|,z,x,y,，,x,A,，,y,B,中的元素的个数为,(,),A,5,个,B,4,个,C,3,个,D,2,个,易错、易混、易漏,1,不清楚集合元素的性质,致误,于,(,),A,y,|,y,1,C,y,|,y,0,B,y,|,y,1,D,y,|,y,0,答案：,C,【,失误与防范,】,对于集合问题，要首先确定集合的元素是什,么,(,数集、点集或某类图形,),，然后确定处理此类问题的方法本题,很容易错误地认为是求函数,y,2,x,和,y,的定义域的交集，,错选,A,或,B.,实际上两集合的元素是,y,，是求两函数的值域的交集,1,对连续数集间的运算，要借助数轴的直观性，进行合理转,化；对离散数集间的运算，要借助,Venn,图，这是数形结合思想的,具体体现,2,本小节的重点是交集与并集的概念只要结合图形，抓住,概念中的关键词“且”、“或”，理解它们并不困难可以借助,代数运算帮助理解“且”、“或”的含义：求方程组的解集是求,各个方程的解集的交集，求方程,(,x,2)(,x,1),0,的解集，则是求,方程,x,2,0,和,x,1,0,的解集的并集；求不等式组的解集是求,各个不等式的解集的交集，求不等式,(,x,2)(,x,1)0,的解集，则是,求,x,20,，,x,10,，,x,10,的解集的并集,1,注意利用分类讨论的思想解决集合之间的关系和含有参数,的问题如在,A,B,的条件下，须考虑,A,和,A,两种情况，要,时刻注意对空集的讨论,2,在集合的运算过程中要注意集合元素具有互异性,3,属于符号“”、不属于符号“,”，它们只能用在元素,与集合符号之间；包含关系符号“”“”、包含于,(,被包含,),关系符号“,”或“”，它,们只能用在两个集合符号之间对,此，必须引起充分注意，不能用错，不要出现把,a,a,表示成,a,a,或,a,a,之类的错误；又如,0,是含有一个元素的集,合，,是,不含任何元素的集合，因此，有,0,，不能写成,0,或,0,