实际问题之最大利润问题

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,实际问题与二次函数,水柱形成形状,跳运时人在空中经过的路径,篮球在空中经过的路径,跳水运动员在空中经过的路径,何时获得最大利润？,何时橙子总产量最大？,养鸡场面积何时最大？,同学们，今天就让我们一起去体会生活中的数学给我们带来的乐趣吧！,2.,二次函数,y=ax,2,+bx+c,的图象是一条,，它的对称,轴是,，顶点坐标是,.,当,a0,时，抛,物线开口向,，有最,点，函数有最,值，是,；当,a0,时，抛物线开口向,，有最,点，函数有最,值，,是,。,抛物线,上,小,下,大,高,低,1.,二次函数,y=a(x-h),2,+k,的图象是一条,，它的对称轴是,，顶点坐标是,.,抛物线,直线,x=h,(h,，,k),基础扫描,3.,二次函数,y=2(x-3),2,+5,的对称轴是,，顶点,坐标是,。当,x=,时，,y,的最,值是,。,4.,二次函数,y=-3(x+4),2,-1,的对称轴是,，顶点,坐标是,。当,x=,时，函数有最,值，是,。,5.,二次函数,y=2x,2,-8x+9,的对称轴是,，顶点,坐标是,.,当,x=,时，函数有最,值，是,。,直线,x=3,(3,，,5),3,小,5,直线,x=-4,(-4,，,-1),-4,大,-1,直线,x=2,(2,，,1),2,小,1,基础扫描,题型一：最大利润问题,某商品现在的售价为每件,60,元，每星期可卖出,300,件，市场调查反映：每涨价,1,元，每星期少卖出,10,件；每降价,1,元，每星期可多卖出,20,件，已知商品的进价为每件,40,元，如何定价才能使利润最大？,来到商场,请大家带着以下几个问题读题,（,1,）题目中有几种调整价格的方法？,（,2,）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？,某商品现在的售价为每件,60,元，每星期可卖出,300,件，市场调查反映：每涨价,1,元，每星期少卖出,10,件；每降价,1,元，每星期可多卖出,20,件，已知商品的进价为每件,40,元，如何定价才能使利润最大？,来到商场,分析,:,调整价格包括涨价和降价两种情况,先来看涨价的情况：,设每件涨价,x,元，则每星期售出商品的利润,y,也随之变化，我们先来确定,y,与,x,的函数关系式。涨价,x,元时则每星期少卖,件，实际卖出,件,销额为,元，买进商品需付,元,因此，所得利润为,元,10 x,(300-10 x),(60+x)(300-10 x),40(300-10 x),y=(60+x)(300-10 x)-40(300-10 x),即,(0X30),解：设每件涨价为,x,元时获得的总利润为,y,元,.,y=(60-40+,x,)(300-10,x,),=(20+,x,)(300-10,x,),=-10,x,2,+100,x,+6000,=-10(,x,2,-10,x,),+6000,=-10,(,x,-5),2,-25,+,6000,=-10(,x-,5),2,+6250,当,x,=5,时，,y,的最大值是,6250.,定价,:60+5=65,（元）,(0,x,30),怎样确定,x,的取值范围,(0X30),可以看出，这个函数的图像是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图像的最高点，也就是说当,x,取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值。由公式可以求出顶点的横坐标,.,所以，当定价为,65,元时，利润最大，最大利润为,6250,元,解,:,设每件降价,x,元时的总利润为,y,元,.,y=,(60-40-,x,)(300+20,x,),=(20-,x,)(300+20,x,),=-20,x,2,+100,x,+6000,=-20,（,x,2,-5x-300,）,=-20,（,x-2.5,）,2,+6125,（,0,x,20,）,所以定价为,60-2.5=57.5,时利润最大,最大值为,6125,元,.,答,:,综合以上两种情况，定价为,65,元时可,获得最大利润为,6250,元,.,由,(2)(3),的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗,?,怎样确定,x,的取值范围,（,1,）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；,（,2,）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。,解这类题目的一般步骤,某商店购进一批单价为,20,元的日用品,如果以单价,30,元销售,那么半个月内可以售出,400,件,.,根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高,1,元,销售量相应减少,20,件,.,售价,提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润,?,解：设售价提高,x,元时，半月内获得的利润为,y,元,.,则,y=(30-20+x)(400-20 x),=-20 x,2,+200 x+4000,=-20(x-5),2,+4500,当,x=5,时，,y,最大,=4500,答：当售价提高,5,元时，半月内可获最大利润,4500,元,我来当老板,牛刀小试,某果园有,100,棵橙子树,每一棵树平均结,600,个橙子,.,现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少,.,根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结,5,个橙子,.,若每个橙子市场售价约,2,元，问增种多少棵橙子树，果园的总产值最高，果园的总产值最高约为多少？,创新学习,1.,在,2006,年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：,销售价,x,（元,/,千克）,25,24,23,22,销售量,y,（千克）,2000,2500,3000,3500,（,1,）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（,x,，,y,）所对应的点连接各点并观察所得的图形，判断,y,与,x,之间的函数关系，并求出,y,与,x,之间的函,数关系式；,（,2,）若樱桃进价为,13,元,/,千克，试求销售利润,P,（元）与销售价,x(,元,/,千克,),之间的函数关系式，并求出当,x,取何值时，,P,的值最大？,解：（,1,）正确描点、连线由图象可知，,y,是,x,的一次函数设,y,kx,b,，,点（,25,，,2000,），（,24,，,2500,）在图象上，,解之得：,y,500 x,14500,（,2,）,P,（,x,13,）,y,（,x,13,）,（,500 x,14500,）,500 x 2,21000 x,188500,500,（,x,21,）,2,32000,P,与,x,的函数关系式为,P,500 x,2,21000 x,188500,，当销售价为,21,元,/,千克时，能获得最大利润,有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去。假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变。现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹,1000,千克放养在塘内，此时的市场价为每千克,30,元。据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升,1,元，但是，放养一天需各种费用支出,400,元，且平均每天还有,10,千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克,20,元。,（,1,）设,x,天后每千克活蟹的市场价为,P,元，写出,P,关于,x,的函数关系式；,（,2,）如果放养,x,天后将活蟹一次性出售，并记,1000,千克蟹的销售总额为,Q,元，写出,Q,与,x,的函数关系式；,（,3,）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润销售总额收购成本费用）？增大利润是多少？,2.,某超市经销一种销售成本为每件,40,元的商品据市场调查分析，如果按每件,50,元销售，一周能售出,500,件；若销售单价每涨,1,元，每周销量就减少,10,件设销售单价为,x,元,(x50),，一周的销售量为,y,件,(1),写出,y,与,x,的函数关系式,(,标明,x,的取值范围,),(2),设一周的销售利润为,S,，写出,S,与,x,的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，利润随着单价的增大而增大？,(3),在超市对该种商品投入不超过,10000,元的情况下，使得一周销售利润达到,8000,元，销售单价应定为多少？,中考链接,2,：某高科技发展公司投资,500,万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金,1500,万元进行批量生产。已知生产每件产品的成本为,40,元，在销售过程中发现：当销售单价定为,100,元时，年销售量为,20,万件；销售单价每增加,10,元，年销售量将减少,1,万件，设销售单价为,x,元，,年销售量,为,y,万件，,年获利,（年获利年销售额生产成本投资）,z,万元。,（,1,）试写出,y,与,x,之间的函数关系式；（不必写出的取值范围）,（,2,）试写出,z,与,x,之间的函数关系式；（不必写出的取值范围）,（,3,）计算销售单价为,160,元时的年获利，并说明同样的年获利，销售单价还可以定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？,（,4,）公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年年获利不低于,1130,万元。请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价,x,（元）应确定在什么范围内？,解：（,1,）依题意知，当销售单价定为,x,元时，年销售量减少,(x-100),万件,.,y=20-(x-100)=-x+30.,即,y,与,x,之间的函数关系式是,:y=-x+30.,（,2,）由题意，得：,z=(30-)(x-40)-500-1500=-x,2,+34x-3200.,即,z,与,x,之间的函数关系式是,:z=-x,2,+34x-3200.,(3),当,x,取,160,时，,z=-160,2,+34160-3200=-320.,-320=-x,2,+34x-3200.,整理，得,x,2,-340+28800=0.,由根与系数的关系，得,160+x=340.x=180.,即同样的年获利，销售单价还可以定为,180,元,.,当,x=160,时，,y=-160+30=14;,当,x=180,时，,y=-180+30=12.,即相应的年销售量分别为,14,万件和,12,万件,.,1,10,1,10,1,10,1,10,1,10,1,10,1,10,1,10,1,10,1,10,1,10,（,4,）,z=-x,2,+34x-3200=-(x-170),2,-310.,当,x=170,时，,z,取最大值，最大值为,-310.,也就是说：当销售单价定为,170,元时，年获利最大，并且到第一年底公司还差,310,万元就可以收回全部投资,.,第二年的销售单价定为,x,元时，则年获利为：,z=(30-x)(x-40)-310,=-x,2,+34x-1510.,当,z=1130,时，即,1130=-x,2,+34x-1510.,整理，得,x,2,-340 x+26400=0.,解得,x,1,=120,x,2,=220.,函数,z=-x,2,+34x-1510,的图象大致如图所示：由图象可以看出：当,120 x220,时，,z1130.,所以第二年的销售单价应确定在不低于,120,元且不高于,220,元的范围内,.,1,10,1,10,1,10,1,10,1,10,1,10,O,O,120,170,220,x(,元,),z(,万元,),1380,1130,例：某机械租赁公司有同一型号的机械设备,40,套。经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为,270,元时，恰好全部租出。在此基础上，当每套设备的月租金每提高,10,元时，这种设备就少租出一套，且没租出的一套设备每月需支出费用（维护费、管理费等）,20,元。设每套设备的月租金为,x,（元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益租金收入支出费用）为,y,（元）。,（,1,）用含,x,的代数式表示未出租的设备数（套