第九章 动量定理

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,第九章,动量定理,第一节,动量与冲量的概念,第二节,动量定理,第三节,质心运动定理,本章重点,1.,动量与冲量的计算,2.,动量守恒问题,3.,质心运动定理,第一节,动量与冲量的概念,一、质量中心,（简称,质心,）,C,的矢径为,取直角坐标系,Oxyz,质心的坐标为,x,C,、,y,C,、,z,C,重力场中,1.,质点的动量,:,P,=,m,v,（,1,）动量是矢量；,（,2,）,动量的量纲,dim,p,=MLT,-1,；,（,3,）动量的常用单位：,kgm/s,。,2.,质点系的动量,二、动量,质点、质点系机械运动的强度的一种度量,P,x,P,P,y,例,9-1,已知,m,2,=,m,3,=1/4,m,1,=10 kg,，,v,1,=2m/s,，,v,2,=4m/s,，求,P,。,p,y,= m,2,v,2,- m,3,v,2,sin60,= 5.4,kg,m/s,P,=,P,x,2,+ P,y,2,= 140.10,kg,m/s,=2.2,解：,p,x,=,m,1,v,1,+,m,2,v,1,+,m,3,(,v,1,+,v,2,cos60,),m,3,m,1,m,2,v,2,v,1,x,y,= 140,kg,m/s,tan,=,x,y,例,9-2,图示椭圆规尺,AB,的质量为,2,m,1,，曲柄,OC,的质量为,m,1,，而滑块,A,和,B,的质量均为,m,2,。已知,OC,=,AC,=,CB,=,l,，曲柄和尺的质心分别在其中点上，曲柄绕,O,轴转动的角速度,为常量。求图示瞬时系统的动量。,O,B,C,A,t,解,:,方法一,P,=(2.5m,1,+2m,2,),l,（,-sin,t,i,+cos,t,j,）,v,C2,v,C1,O,B,C,A,t,方法二,v,cy,=,v,cx,= -,= (2.5m,1,+2m,2,),l,（,-sin,t,i,+cos,t,j,）,x,y,例,9-3,在图示系统中，均质杆,OA,、,AB,与均质轮的质量均为,m,，,OA,杆的长度为,l,1,，,AB,杆的长度为,l,2,轮的半径为,R,轮沿水平面作纯滚动。在图示瞬时，,OA,杆的角速度为,，求整个系统的动量。,O,A,B,解,:,OA,杆作定轴转动；轮作平面运动；,AB,杆作瞬时平动。,C,v,C,v,A,v,B,三、冲量 力对时间的累计效应，冲量是矢量。,1,.,常力冲量,2,、,变力冲量,冲量的量纲,dim,I,=MLT,-1,，,和,动量相同。常用单位：,kg,m/s,微分形式:,d,P,=,F,d,t,积分形式,:,质点动量守恒,:,1.,若,F,= 0,则,P,=,c,(,恒矢量),2.,若,F,x,= 0,则,P,x,=,c,(,恒量),第二节,动量定理,一、质点的动量定理,注意,：,1,、动量定理为矢量形式。,2,、质点动量定理的积分形式提供了一种求变力冲量的方法。,3,、定理涉及,v,、,F,、,t,，已知其中足够量，可求其他。,二、质点系的动量定理,由,n,个质点组成的质点系，对其中第,i,个质点应用动量定理 ：,i = 1,，,2,，,3,，,，,n,：质点系以外的物体作用于质点的外力；,：,质点系内部物体作用于质点的内力。,求和：,注意：只有外力才能改变质点系的动量,交换求导和求和的顺序,质点系动量定理的微分形式,质点系动量定理的积分形式,取直角坐标轴，动量定理的投影式为,：,三、质点系动量守恒,在运动过程中质点系的动量,p,=,常矢量。,在运动过程中质点系的动量在,x,轴上的投影,p,x,=,常量。,质点系动量守恒常用于求运动量。,解题步骤：,1,、取研究对象；,4,、选取坐标，建立方程。,2,、画受力图；,3,、分析运动,例,9-4,小车重,W,1,= 2kN,，车上有一装沙的箱重,W,2,=1kN,，以,3.5km/h,的速度在光滑直线轨道上匀速行驶。今有一重,W,3,= 0.5kN,的物体铅垂落入沙箱中，求此后小车的速度。又设重物落人沙箱后，沙箱在小车上滑动,0.2 s,，然后与车面相对静止,求车与箱底间相互作用的摩擦力。,v,o,解,(,一,),1.,取小车，沙箱和重物组成的系统为研究对象。,P,x,=,P,x,0,设重物落入后小车最后具有的速度为,v,v,0,= 3.5 km/h,解得,:,v,= 3km/h,F,N,1,F,N,2,W,W,3,2.,画受力图，系统水平方向动量守恒，,v,o,3.,运动分析,v,= 3 km/h=0.63m/s,(,二,),1,.,取,小车,为研究对象,F,N,1,F,N,2,P,2,x,-,P,1,x,=,I,(,e,),x,F,= 0.14,kN,W,3,F,F,N,2,.,画受力图,3.,运动分析,4,、选取坐标，建立方程。,x,例,9-,5,如图所示，质量为,m,1,的矩形板可在垂直于板面的光滑平面,上运动，板上有一半径为,R,的圆形凹槽，一质量为,m,2,的甲虫以,相对速度,v,r,沿凹槽匀速运动。初始时板静止，甲虫位于圆形凹槽,的最右端，试求甲虫运动到图示位置时，板的速度和加速度及地,面作用在板上的约束反力。,解：,1,、,取质点系为研究对象；,2,、作出受力图；,3,、运动分析：板作平动，甲虫的运动由牵连、相对运动的合成；,4,、系统水平方向的动量守恒,（一）、求板的速度和加速度,系统的动量为,x,y,求导,（二）、求地面作用在板上的约束力,x,y,第三节 质心运动定理,一、质心运动定理,将矢量形式的质心运动定理投影：,自然轴：,直角坐标轴：,质心运动定理常用来求力，特别用来求约束反力。两种方法：,先写出,x,c,、,y,c,，求导得,a,cx,、,a,cy,，代入方程求力。,先求各,a,i,，用,求力。,二、质心运动守恒,，,v,C,=,常矢量，若,v,Co,=0,，,r,C,=,常矢量,，,v,C,x,=,常数，若,v,C,x,o,=0,，,x,C,=,常数。当,x,C,为常数时，,质心运动,守恒常用于求运动量，多为求位移。,常用公式为：,例,9-6,电动机的外壳用螺栓固定在水平基础上，外壳与定子的总,质量为,m,1,。质心位于转轴的中心,O,1,，转子质量为,m,2,，转子的质心,O,2,到,O,1,的距离为,e,。若转子匀速转动，角速度为,w,。求基础的支座,的反力。,4,、用质心运动定理求力。,解：,1,、,取质点系为研究对象；,2,、作出受力图；,3,、运动分析：,转子匀速转动；,解法一 先写出,x,c,、,y,c,，求导得,a,cx,、,a,cy,，代入方程求力。,解法二 先求出各,a,i,，用质心运动定理常用来求力,例,9-7,在上例中若电动机没有用螺栓固定，各处摩擦不计，初始,时电动机静止，求转子以匀角速度转动时电动机外壳的运动。,4,、系统水平方向质心运动守恒,解：,1,、,取质点系为研究对象；,2,、作出受力图；,3,、运动分析：,定子平动，转子平面运动；,-,m,1,x+ m,2,(,e,sin,t,-,x,) = 0,x,F,N,x,例,9-8,均质杆,AD,和,BD,长为,l,质量分别为6,m,和4,m,，,铰接如图,，,开始时维持在铅垂面内静止,。,设地面光滑,，,两杆被释放后将分开倒向地面,，,求,D,点落地时偏移多少,。,A,B,D,60,A,B,D,60,解,:,1.,取,AD,和,BD,组成的系统为研究对象。,C,1,和,C,2,分别为,AD,杆和,BD,杆,的质心，,C,为系统的质心,。,C,1,C,2,= 0.5,l,= 0.2,l,取过质心,C,的铅垂轴为,y,轴建立坐标如图。,C,1,C,2,C,x,y,O,x,D,0,= 0.25,l,- 0.2,l,= 0.05,l,2.,画,系统,受力图。,A,B,D,60,C,1,C,2,C,x,y,O,6,mg,4,mg,v,c,0,= 0,，,v,c,x,= 0,，,x,C,=,C,-,由于,F,(e),x,= 0,，,v,c,x,= c,系统的质心沿,y,轴作直线运动。当,D,点落地时,C,点应与,O,点重合,。,F,N,1,F,N,2,3.,运动分析,4.,系统水平方向质心运动守恒,画,系统,完全落地时的位置图。,A,B,D,O,C,1,C,2,(C),= 0.4,l,x,D,= 0.5,l,- 0.4,l,= 0.1,l,x,=,x,D,-,x,D,0,= 0.1,l,- 0.05,l,= 0.05,l,x,y,小 结,一、 质点系的动量,二、,变力冲量,三、质点系的动量定理,微分形式,积分形式,四、质心运动定理,五、质心运动守恒,，,v,C,=,常矢量，若,v,Co,=0,，,r,C,=,常矢量,，,v,C,x,=,常数，若,v,C,x,o,=0,，,x,C,=,常数,