第4章 图形变换

,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,第四章 图形变换与裁剪,计算机学院,4.1 窗口视图变换,1.窗口和视图区,用户坐标系,（world coordinate system，简称WC）,设备坐标系,（device coordinate system，简称DC）,窗口区,（window）,视图区,（viewport）,2.窗口到视图区的变换,窗口区与视图区间的映射关系：,窗口区中的任一点,(x,w, y,w,),与视图区中的任一点,(x,v, y,v,),存,在如下对应关系：,（4-1）,（4-2）,X,w,O,w,W,x l,W,x r,Y,w,W,y b,W,y t,窗口,(x,w, y,w,),Y,u,X,u,O,u,V,x l,V,x r,V,y b,V,y t,视图区,(x,v, y,v,),窗口与视图区的对应关系,（4-3）,（4-4）,由式（4-1）和式（4-2）可分别解得：,令,有,（4-5）,（4-6）,4.2二维图形几何变换,4.2.1 二维图形几何变换的原理,二维图形由点或直线段组成,直线段可由其端点坐标定义,二维图形的几何变换：对点或对直线段端点的变换,1.平移变换（translation）,平行于x轴的方向上的移动量,平行于y轴的方向上的移动量,4.2.2几种典型的二维图形几何变换,x,y,平移变换,（4-7）,（4-8）,平行于x轴的方向上的缩放量,平行于y轴的方向上的缩放量,2.比例变换（scale）,指相对于原点的比例变换,y,x,相对于,原点,的比例变换,相对于,重心,的比例变换,y,x,重心,（4-10）,（4-9）,比例变换的性质,当 时，变换前的图形与变换后的图形相似,当 时，图形将放大，并远离坐标原点,当 时，图形将缩小，并靠近坐标原点,当 时，图形将发生畸变,3.旋转变换（rotation）,点P绕原点逆时针转,度角,（设逆时针旋转方向为正方向）,（4-11）,（4-12）,将式（4-11）代入式（4-12）得：,（4-13）,（4-14）,y,x,旋转变换,4.2.3 齐次坐标,（homogeneous coordinates）,技术,1.齐次坐标技术的引入,平移、比例和旋转等变换的组合变换,处理形式不统一，将很难把它们级联在一起。,2.,变换具有统一表示形式的优点,便于变换合成,便于硬件实现,3,.齐次坐标技术的基本思想,把一个n维空间中的几何问题转换到n+1维空间中解决。,4.齐次坐标表示,齐次坐标表示不是唯一的,有n个分量的向量,有n+1个分量的向量,哑元,或,标量因子,规格化的齐次坐标,5.基本几何变换的齐次坐标表示,平移变换,比例变换,旋转变换：,6. 无穷远点或无穷远区域的齐次坐标表示,时，齐次坐标 表示一个n维的无穷远点,逆时针为正,4.2.3常用的二维几何变换,1.对称变换,（symmetry）（反射变换或镜像变换）,（1）相对于y轴对称,（2）相对于x轴对称,o,y,x,对称变换（1）,y,x,o,对称变换（2）,（3）相对于原点对称（即中心对称）,（4）相对于直线y=x对称,o,x,y,对称变换（3）,x,y,o,y=x,对称变换（4）,（4）相对于直线y=-x对称,x,y,o,y=-x,对称变换（5）,2.错切变换（shear）,（1）沿 x 轴方向关于 y 轴错切,将图形上关于y轴的平行线沿x方向推成,角的,倾斜线，而保持y坐标不变。,x,错切变换（1）,y,x,（2）沿 y 轴方向关于 x 轴错切,将图形上关于x轴的平行线沿y方向推成,角的,倾斜线，而保持x坐标不变。,错切变换（2）,y,x,y,1.相对于任意点（x,0, y,0,）的比例变换,对任意点比例变换的步骤：,（1）平移变换,（2）相对于原点的比例变换,（3）平移变换,当（x,0, y,0,）为图形重心的坐标时，这种变换实现的是相对于重心的比例变换。,4.3.3 二维组合变换,令,任意点比例变换示意图,平移,平移,比例,则有,2.绕任意点（x,0, y,0,）的旋转变换,绕任意点旋转变换的步骤：,（1）平移变换,（2）对图形绕原点进行旋转变换,（3）平移变换,(x,2,y,2,),(x,3,y,3,),(x,0,y,0,),O,x,y,(x,1,y,1,),(x,4,y,4,),相对于任意点(x,0,y,0,)的旋转变换,任意点旋转变换示意图,平移,平移,旋转,令,则有,例1 绕任一点C（cx，cy）的旋转变换矩阵T,C,C,C,其中 Sx=cx-(cxcos,-cysin,),Sy=cy-(cxsin,+cycos,),例2 相对于任一点C（cx,cy）进行比例变换,设T1为平移变换，T2为比例变换，T3为平移变换，则变换矩阵可以表示为：,例3 相对于直线ax+by+c=0进行对称变换,X,X,Y,Y,本题由5个基本变换复合而成，复合变换矩阵可按下式进行计算：,例4 证明：直线、平面经过变换后一般仍保持为直线、平面。,证明：设平面方程为 ax+by+cz+d=0,则平面上任意一点的齐次坐标为x y z 1总满足,若对该平面作任意的几何变换T，点P经过变换后变成点R，则R=P,T,因此 P=R,T,-1,所以,可见，所有R点的几何仍为一个平面，它的平面方程是：ax+by+cz+d=0,二维变换小结,1 恒等变换,2 比例变换,3 旋转变换,4 错切变换（沿x轴，沿y轴）,5 对称变换（对x轴，对y轴，对原点）,6 全比例变换,7 平移变换,总的特点：相对于原点,复合变换（平移，比例，旋转）,三维几何变换（1/8）,三维齐次坐标,(x,y,z)点对应的齐次坐标为,标准齐次坐标(x,y,z,1),右手坐标系,x,y,z,三维几何变换（2/8）,平移变换,三维几何变换（3/8）,放缩变换,三维几何变换（4/8）,旋转变换:右手螺旋方向为正,绕x轴,y,x,y,z,z,y,z,o,o,x轴指向纸外,三维几何变换（5/8）,绕y轴,z,y,z,x,x,z,x,o,o,y轴指向纸外,三维几何变换（6/8）,绕z轴,x,z,x,y,y,x,y,o,o,x轴指向纸外,绕轴旋转角,三维几何变换,错切变换,z,y,x,z,y,x,z,y,x,z,y,x,z,y,x,z,y,x,三维错切变换,沿z含x错切,沿z含y错切,沿y含x错切,沿y含z错切,沿x含y错切,沿x含z错切,错切变换,的另外几种形式,变换矩阵,变换结果,说明,沿X轴方向错切,错切平面离开Y轴，沿X方向错切dy，d0沿X轴正向错切，d0沿X轴正向错切，h0沿Y轴正向错切，b0沿Y轴正向错切，i0沿Z轴正向错切，c0沿Z轴正向错切，f0沿Z轴负向错切。,三维几何变换（8/8）,三维变换的一般形式,旋转、比例、错切、对称,平移,透视投影,总体比例,例：已知过原点的任意轴ON的矢量坐标x,y,z=30,40,50，点P的矢量坐标P=20,40,30，若P绕ON旋转30度，求P*,1）设ON为过坐标原点的一根任意轴，它对三根坐标轴的方向余弦分别为：n1=cos,n2=cos,n3=cosr;,欲求得空间任一点绕ON旋转的旋转变换矩阵，首先在Z轴上取一单位矢量K，K=0,0,1，将K绕Y轴旋转,1,角，然后再绕Z轴旋转,2,角，使K与ON重合，则ON轴的方向余弦n1,n2,n3与角,1，,2,的关系为：,即：n1=sin,1cos,2,n2=sin,1sin,2,n3=cos,1,2)将点P随ON轴一起采取与上述相反的旋转步骤，即先绕Z轴旋转-,2角，再绕Y轴旋转-,1角，使ON轴与OZ轴重合；然后使变换后的P点绕Z轴旋转,角，最后使ON轴连同旋转变换后的P点经两次旋转变换（先绕Y轴旋转,1角，再绕Z轴旋转,2角,）回到ON轴原来的位置，P点也达到变换后的位置P*，因此变换矩阵T为上述5种基本变换矩阵的乘积。,旋转变换T,on,是旋转变换的通式，可根据,T,on,来推导绕X,Y.Z轴的旋转变换矩阵Tx,Ty,Tz.,绕 X轴旋转时，认为ON与X轴重合，此时,=0，,=r=90,n1=,n2=n3=cos,=cosr=0,代入Ton得Tx.,绕 Y轴旋转时，认为ON与Y轴重合，此时,=,r=9,0，cos,=1=n2,n1=n3=cos,=cosr=0,代入Ton得Ty.,绕 Z轴旋转时，认为ON与Z轴重合，此时,r,=0，,=,=90,cosr,=1=n3,n1=n2=cos,=cos,=0,代入Ton得Tz.,令r= = =70.7,n1= =0.42,同理n2=0.57,n3=0.71,例：求经过点U(l,m,n)的轴线Un旋转,角的旋转变换矩阵。,