第八讲 矩阵对策

書式設定,書式設定,第 2,第 3,第 4,第 5,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,对策现象,带有竞争或斗争性质的现象,对策论,(game theory),用数学方法研究对策现象的分支学科,对策现象的三要素,局中人,:,一局对策中的决策者或不相容利益的参与者或竞争者,策略,：,局中人在整个决策过程中一系列行动的一个方案,支付,:,一局对策中最终结局获得的收益或损失,三,.,矩阵对策,每个局中人总希望取得尽可能大的胜利，即期望的“最小利益”为“最大”，“最大损失”为“最小”,对策,有限对策,无限对策,零和对策,非零和对策,多人对策,两人对策,最大最小原则,两人有限零和对策,局中人只有两人；,每人只有有限个对策；,局中人支付之和为零（赢为正；输为负）,公司,A,，公司,B,的同一产品竞争市场份额，各有三种办法扩大销售额（由于市场需求一定，一家扩大，意味另一家缩减），三种方法比如：改进包装；广告；降价公司,A,的三种策略表示为,1,2,3,，公司,B,的三种策略为,1,2,3,，在不同策略下销售量增长百分比不同下表中表示公司,A,的增长率，而公司,B,的即为相反数,例,1,扩大销售型,公司,A,公司,B,2,1,2,3,0,-,3,-,1,0,-,2,矩阵表示为,A,中行的编号为公司,A,的编号，称“行方”的策略编号,A,中列的编号为公司,B,的编号，称“列方”的策略编号,矩阵,A,称为甲方或行方的,支付矩阵,例,2,钱币游戏,两个参加者（称为局中人,P1,和,P2,）各出示一枚钱币，在不让对方看见的情况下，将钱币放在桌上。若两个钱币都呈正面或反面，则,P1,得,1,分，,P2,得,-1,分；若一正一反，则,P1,得,-1,分，,P2,得,1,分。,1.,支付矩阵的规则,局中人,P1,的策略用矩阵的行数表示；,局中人,P2,的策略用矩阵的列数表示；,矩阵中的数为局中人,P2,支付给局中人,P1,的单位值；正值：,P2,P1,，负值：,P1,P2,；,局中人,P1,得到的值就是局中人,P2,失去的值；,因此也称“二人零和对策”。,例,3,求：该矩阵对策的最佳方案,解题思路,P1,的选择：最坏的结果是,G,中每行的最小数，（,-8,，,2,，,-10,，,-3,）；从中选出最好的结果：,2,。,P2,的选择：最坏的结果是,G,中每列的最大数，（,9,，,2,，,6,）；从中选出最好的结果：,2,。,（,a2,b2,）是,P1,和,P2,双方最佳的选择。,2,.,矩阵对策的数学模型,的策略：,的策略：,的赢得矩阵：,上述对策可简化为：,矩阵,G,的一般解法,1,）取每行的最小值：,3,）取每列的最大值：,2,）从上述值中选最大值：,4,）从,3,）项中选最大值：,5,）若,时，,P1,的最优纯策略；,P2,的最优纯策略；,对策的解；,对策,的值。,例,3,某耕地根据种植计划以及自然条件，规划与收益存在如下表所示的关系。,试求出最佳规划方案。,3,.,混合策略,举例,解题步骤,1,）假设 选,a1,概率为,x,，则选,a2,概率为,1-x,；,选,b1,概率为,y,，则选,b2,概率为,1-y,；,2,）求,P1,的收入期望值：,3,）当,4,）对,x,y,在闭区间,0,，,1,上的任何值，,或,时，,总 结,矩阵对策：,纯策略集：,纯策略集：,矩阵：,混合策略：,混合策略：,支付（赢得）：,那么：,如果存在,，对任意,都成立时,和,局中人,P1,的最优策略；,局中人,P2,的最优策略；,对策的值；,对策的解；,最优策略的解法,假设策略的值是,V,，最优策略及策略的解可通过下式求得。,例,4,求最优策略及对策,的值。,解题步骤：,1,）列出求,P1,方的最优策略方程组,2,）求取等号时的方程组解：,3,）列出求,P2,方的最优策略方程组,4,）求取等号时的方程组解：,5,）,P1,方,P2,方,对策的值,e.g.5,玩命,or,胆小鬼对策,两位驾车人驾车相向行驶，直到最后一秒才决定是拐弯还是不拐弯,可能发生下列几种结果,谁也不急拐弯，最后两车相撞 给以,0,值,两局中人均拐弯 给以值,3,一位局中人急转弯，另一位未让步而作为赢家,给急转弯者以,1,分，不转弯者以,5,分,局中人,II,I,局,中,人,I,=,急转,=,不转,=,急转,=,不转,3,1,5,0,局中人,I,局,中,人,II,=,急转,=,不转,=,急转,=,不转,3,5,1,0,I,的支付矩阵,II,的支付矩阵,此对策中，若两者都想得,5,分，则发生惨祸，全部玩完实际上两人最好的做法是同时停车或转弯，各得,3,分,Remark,此例已不是,2,人有限零和对策问题（因为在每个对局中，双方支付的代数和不为零），称为,双矩阵对策,