05-质心和动量

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,*,第三章 质点系统的运动规律,3.1,牛顿力学：从质点到质点系统,一、质心,二、质心运动定理,3.2,动量 动量定理,及动量守恒,一,动量 动量定理,二 动量守恒定律,1,3.1,牛顿力学：从质点到质点系统,如何拓展牛顿力学，使之更普遍？,研究对象：从质点到质点系统,新问题：质点系统有许多质点组成，质点之间存在相互作用，相对位移。如何解决？,引入新的参量进行描述；,原则：各质点或质元所受的力，写出动力学方程，方程联立；（分隔）,考虑系统之间的联系，进行约束（系统）,2,例,3.1,质量为,m,1,和,m,2,的两个小球,用长为,l,、,质量和伸,缩量都可忽略不计的细杆联接，置于光滑的水平桌面,上，开始时,m,2,固定不动，,m,1,绕,m,2,作匀速圆周运动，,其线速率为,v,0,，,如果 突然失去约束，求杆中张力？,解：,m,2,失去约束之后，,m,1,和,m,2,组成的系统是孤立系统，只有,杆中内力相互作用，属两体问题,在惯性系（,L,系）分别写出动力学方程：,C,3,当释放,m,2,时，,m,1,相对于,m,2,以速度,v,0,做圆周运动,实际上两体问题化为单体问题是选质心为参考点。,它有着普遍性，如地球和卫星；原子核和电子等等。,其向心力为：,4,*,两个质点的系统,由于内力总是成对出现的，,所以矢量和为零。,*,N,个质点的系统,质点系,(,组,),是指由若干个质点组成的系统。,质点系统的动力学,5,一、质心：质点系的质量中心,考虑由质量分别为,m,1,、,m,2,、,m,n,的,N,个质点,组成的质点系，每个质点相对于任一点,O,的位置,矢量分别为 ；其质心相对于,O,点的,定义为：,为质点系的总质量。,质心的位矢随坐标系的选取而变化，,但对一个质点系，,质心的位置是固定的、唯一的。,质点系统中引入一个,新的参考点,质心,。,分析方法：质点系统的运动可以看成两部分：,质心的平动；,质点系的各个质点都绕质心在运动。,6,直角坐标系中的分量式为：,如果物体具有一个对称中心，,则质心与对称中心重合；,若有一个对称轴，则质心,必在该轴上,。,质量连续分布时：,质量离散分布时：,7,例,3.4,一段均匀铁丝弯成半径为,R,的半圆形，求此半圆形铁丝的质心。,解：选如图坐标系，取长为,dl,的铁丝，质量为,dm,，,以,表示,质量线密度，,dm=,dl,。,分析得,质心应在,y,轴上。,注意：质心不在铁丝上。,因为在,x,方向,质量对称分布,所以,x,C,=0,8,二、质心运动定理,质点系的总动量,等于它的,总质量与它的质心的运动,速度的乘积。,质心运动定理：,系统的总质量和质心加速度,的乘积等于质点系所受外力的矢量和。,质心的运动，就好象一个质量等于系统的总质量,的质点，在施于这系统的外力作用下的运动,9,一质量为,m,1,=50kg,的人站在一条质量为,m,2,=200kg,，,长度为,l,=4m,的船的船头上。开始时船静止，试求：当人走到船尾时船移动的距离。假定水的阻力不计。,解：船和人分别作为一个质点组成的质点系统，,在水平方向上不受力，所,以质心速度不变,，初始态,质心静止，人在走动过程,中,质心的坐标值不变,。,初态：,末态：,10,以地面为参考系，设船的质心移动的距离为,d,，即,代入上式可得船移动的距离：,人对地移动的距离为：,11,大小：,mv,方向：速度的方向,单位：,kgm/s,量纲：,MLT,1,一、动量（描述质点运动状态，矢量）,大小：,方向：速度变化的方向,单位：,Ns,量纲：,MLT,1,二、冲量（力的作用对时间的积累，矢量）,三、动量定理,将力的作用过程与效果,动量变化,联系在一起,2,动量 动量定理,及动量守恒,2.1,动量 动量定理,12,F,为恒力时，可以得出,I,F,t,F,作用时间很短时如,(,碰撞,),，可用力的平均值来代替。,质点所受合外力的冲量，等于该质点动量的增量。这个结论称为动量定理。,在坐标下可有分量表达式,*,注意：动量为状态量，冲量为过程量。,13,例,3.5,质量为,2.5g,的乒乓球以10,m/s,的速率飞来，被板推挡后，又以,20,m/s,的速率飞出。设两速度在垂直,于板面的同一平面内，且它们与板,面法线的夹角分别为45,o,和30,o,，,求：（1）,乒乓球得到的冲量；,（2）,若撞击时间为0.01,s,，,求板施于球的平均冲力的大小和方向。,45,o,30,o,n,解：,取挡板和球为研究对象，,由于作用时间很短，忽略重力影响。,设挡板对球的冲力为,则有：,y,x,14,取坐标系，将上式投影，得,乒乓球得到的冲量,撞击时间为0.01,s,，,板施于球的平均冲力大小和方向：,为,I,与,x,方向的夹角,这表明冲力来自于桌面给予小球的正压力和摩擦力之和。,。,15,此题也可用矢量法解，,作矢量图用余弦定理,和正弦定理，可得：,y,x,16,例,3.6,一,质量均匀分布,的柔软细绳,铅直地悬挂着，绳的下端刚好触,到水平桌面上，如果把绳的上端,放开，绳将落在桌面上。试证明：,在绳下落的过程中,，任意时刻作,用于桌面的压力，等于已落到桌,面上的绳重量的三倍,。,证明：,取如图坐标，以,落在桌面部分的绳为研究系统,，设,t,时刻已有,x,长的柔绳落至桌面,。,考察系统动量增量：,随后的,dt,时间内将有质量为,dx,（,Mdx,/L,),的柔绳,以,dx/dt,的速率碰到桌面而停止，它的动量变化率为：,o,X,mg,N,17,o,x,根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：,柔绳对桌面的冲力,F,F,即：,而已落到桌面上的柔绳的重量为,mg,=,Mgx,/L,所以,N,=,F,+,mg,=,2Mgx/L,+,Mgx/L,=,3mg,负号表示动量减少,N,mg,18,积分形式,微分形式,以,和 表示系统的合外力和总动量，则：,2.2,动量守恒定律,一、质点系的动量定理,质点系（内力、外力）,19,二、质点系的动量守恒定律,一个质点系所受的合外力为零时，,这一质点系的总动量就保持不变。,说明,*,系统,动量,守恒,，但每个质点的动量可能变化。,*,动量守恒可在,某一方向上,成立。,*,动量守恒定律在微观高速范围仍适用,。,20,例,3.8,一个有,1/4,圆弧滑槽的大物体质量为,M,，,停在,光滑的水平面上，另一质量为,m,的小物体自圆弧,顶点由静止下滑。,求：当小物体滑到底时，大物体,M,在水平面上移动的距离？,解：选如图坐标系，在,m,下滑,过程中，,M,和,m,组成的系统在,水平方向上合外力为零，因此,水平方向上动量守恒。,又因：初态合动量为零,21,例,3.7,火箭飞行原理,设火箭在,自由空间,飞行，即,不受引力、空气阻力等任何,外力的影响。,由动量守恒定律：,略去二阶无穷小量,设火箭点火时的质量为,M,i,，,初速为,v,i,，,燃料烧完后,质量为,M,f,，,速度为,v,f,，,对上式积分得：,以地面为参考系，在,t,+,dt,时刻总动量,:,22,火箭在燃料烧完后所增加的速度与喷气速度成正比，,也与火箭的始末质量比的自然对数成正比。,*,如果以喷出气体,dm,为所考虑系统，它在,dt,时间内,的动量变化率为：,根据牛顿第二定律它等于喷出气体受火箭,的推力；所以喷出气体对火箭的反作用力：,如,火箭发动机的燃烧速率,1.38,10,4,kg/s,，,喷出气体的相对速度,2.94,10,3,m/s,，,它,受推力的理论值为：,相当于,4000,吨海轮所受的浮力。,*,多级火箭的各质量比,N,1,、,N,2,喷气,速率,u,1,、,u,2,火箭,的最终速度,23,总结,*,定律中的速度应是对同一惯性系的速度，,动量和应是同一时刻的动量之和。,*,动量守恒定律只适用于惯性系。是惯性系中平移对称性的必然结论。,是物理学中的普遍规律。,*,在碰撞、爆炸等相互作用时间极短的过程中，,可忽略引力。,24,