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,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第五章三角比,5.4.5,两角和与差的余弦、正弦和正切,5.5.1,二倍角与半角的正弦、余弦和正切,一、二倍角公式,在公式 中，令 ，则可得：,在公式 中，如果只含有正弦,(,余弦,),，则可得：,例,1.,已知,求 的值,.,解：,解毕,例,2.,求证,:(1),(1),证：左边,=,证毕,注意公式 的又一种变形,：,(2),例,2.,求证,:(1),(2),证：,(2),证毕,上面公式被称为,三倍角的余弦公式,课堂练习,:,1.,已知 ，求,.,2.,利用二倍角公式求下列各式的值：,(1),(2),(3),(4),3.,试用 表示,4.,求证,:(1),(2),(3),(4),课堂练习答案：,1.,已知 ，求,.,解：,注意,“,二倍角,”,是一个相对概念,2.,利用二倍角公式求下列各式的值：,(1),(2),(3),(4),课堂练习答案：,课堂练习答案：,3.,试用 表示,解：,解法二：,替换,解毕,4.,证,:(1),(2),(3),(4),课堂练习答案：,证毕,第五章三角比,5.5.1,二倍角与半角的正弦、余弦和正切,5.5.2,二倍角与半角的正弦、余弦和正切,例,1.,利用 化简：,(1),(2),(3),例,2.,已知,解得：,求 的值,.,解：,观察到,例,3.,已知 ，求 的值,.,解：根据同角三角比的关系求,或,解毕,例,3.,已知 ，求 的值,.,解法二：,解毕,例,3.,已知 ，求 的值,.,解法三：先求 再根据同角三角比求值,.,或,解毕,例,4.,证明：,(1),(3),(2),例,4.,证明：,(1),证：左边,=,证毕,例,4.,证明：,(2),证：左边,=,证毕,例,4.,证明：,(3),证：左边,=,证毕,(,选用,),例,5.,已知 ，且,求 的值,.,解：,故,解毕,第五章三角比,5.5.2,二倍角与半角的正弦、余弦和正切,5.5.3,二倍角与半角的正弦、余弦和正切,思考,问题一：角 与角 有什么关系？,问题二：如何用 表示,问题三：如何证明？,一、半角公式,由二倍角公式 可得：,两式分别相除，得,半角的正切公式 还可以表示为：,根号前的正负号由角 所在象限确定,.,例,1.,已知 ，求,的值,.,解：,解毕,思考 条件改为 是第三象限角？,例,2.,已知 ，且 是第二象限,角，求,.,解,:,解方程得,或,是第二象限角,是第一或三象限角,解毕,课堂练习：,3.,利用半角公式计算,.,1.,已知 ，求 的值,.,2.,已知 是第三象限角，求,.,4.,求证：,课堂练习答案：,1.,2.,是第三象限角,是第二或四象限角,也可以利用 计算,课堂练习答案：,3.,课堂练习答案：,4.,求证：,证：,证毕,证法二：,证毕,第五章三角比,5.5.3,二倍角与半角的正弦、余弦和正切,(,选讲,),5.5.4,二倍角与半角的正弦、余弦和正切,万能置换公式,、,积化和差与和差化积,思考 能否只用 来表示？,一、万能置换公式,当 有意义，即 时，,上面这组公式叫做,万能置换公式,作用：角 的全部三角比都用 表示,.,例,1.,已知 ，求 的值,.,解：,解毕,例,2.,求证：,证：,证法二：,证法三：,(,万能公式,),证毕,思考 如何证明下列两个等式？,(1),(2),思考 有没有类似的恒等式,?,证,:(1),右边使用 展开即得左边,.,(2),令,(1),中,则 ，,代入,(1),式即得证,.,二、积化和差,利用 作加减运算可得：,例：,三、和差化积,令 中令 得：,例：,例,3.,求证：,(1),(2),(1),证,:,左边,=,右边,证毕,例,3.,求证：,(1),(2),(2),证,:,左边,=,=,右边,证毕,(,选用,),例,4.,在 中，求证：,证：左边,=,=,右边,证毕,
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