1.3简单的逻辑连接词

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.3简单的逻辑连接词,一般的，用逻辑联结词“,”把命题,p,和,q,连接起来，就得到一个新命题，记作,pq,，读作“,p,且,q”.,思考,下面三个命题间有什么关系？,（,1,）,12,能被,3,整除；,（,2,）,12,能被,4,整除；,（,3,）,12,能被,3,整除 能被,4,整除。,且,且,注：,逻辑联结词,“且”,与日常用语中的,“,并且,”、“,及,”、“,和,”,相当；在日常用语中常用“且”连接两个语句。表明前后两者同时兼有，同时满足,.,1.3.1,且（,and,）,填空：一般地，我们规定,:,当,p,，,q,都是真命题时，,pq,是,；当,p,，,q,两个命题中至少有一个命题是假命题时，,pq,是,.,一句话概括：,同,真,为,真,一,假,必,假,.,真命题,假命题,命题,pq,的真假判断方法：,p,q,p,q,真,真,真,假,假,真,假,假,假,假,假,真,例,1,将下列命题用“且”联结成了新命题，判断它们的真假。（,1,）,p:,平行四边形的对角线互相平分，,q:,平行四边形的对角线相等；,（,2,）,p:,菱形的对角线互相垂直，,q:,菱形的对角线互相平分；,（,3,）,p:35,是,15,的倍数，,q:35,是,7,的倍数。,解：,p,q:,平行四边形的对角线互相平分且相等。,解：,p,q,:,菱形的对角线互相垂直且平分,。,解：,pq,:35,是,15,的倍数且是,7,的倍数。,假命题,假命题,真命题,例,2,用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断它们的真假：,（,1,）,1,是奇数，是素数；,（,2,）,2 3,都是素数。,既,又,和,解：,1,是奇数且,1,是素数 是假命题,解：,2,是素数且,3,是素数 是真命题,思考,下列三个命题间有什么关系？,（,1,）,27,是,7,的倍数；,（,2,）,27,是,9,的倍数；,（,3,）,27,是,7,的倍数 是,9,的倍数。,或,或,一般地，用逻辑联结词“”把命题,p,和命题,q,联结起来,就得到一个新命题，记作,p,q,读作“,p,或,q”,1.3.2,或,(or),一般地，我们规定,:,当,p,，,q,两个命题中,有,一个,命题是真命题时,pq,是,真,命题,；当,p,，,q,两个命题都是假命题时，,pq,是,假,命题,.,一句话概括：,同,假,为,假,一,真,必,真,.,命题,p,q,的真假判断方法：,p,q,p,q,真,真,真,假,假,真,假,假,假,真,真,真,如果,pq,为真命题,那么,pq,一定是真命题吗,?,反之,如果,pq,为真命题,那么,pq,一定是真命题吗,?,总结思考,pq,为真命题,pq,是真命题,pq,是真命题,pq,为真命题,例,3,：判断下列命题的真假：,（,1,）,22,；,（,2,）集合,A,是,AB,的子集或是,AB,的子集；,（,3,）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等,.,解,：（,1,）,p,：,2=2,；,q,：,22,p,是真命题,，,p,q,是真命题,.,（,3,）,p,：周长相等的两个三角形全等；,q,：面积相等的两个三角形全等,.,命题,p,、,q,都是假命题,，,pq,是假命题,.,（,2,）,p,：集合,A,是,AB,的子集；,q,：集合,A,是,AB,的子集,q,是真命题,，,pq,是真命题,.,例题分析,思考,：下面两个命题间有什么关系？,（,1,）,35,能被,5,整除；,(2)35,能被,5,整除。,一般地，对一个命题,p,，就能得到一个新命题，,记作,p,，读作“,非,p,”,或“,p,的否定,”,不,不,全盘否定,若,p,是真命题，则,p,必是假命题；若,p,是假命题，则,p,必是真命题。,真假相反,1.3.3,非（,not,）,例,4,写出下列命题的否定，并判断它们的真假：,（,1,）,p:y,=,sinx,是周期函数；,（,2,）,p:3 2,若方程,4x,2,+4(m-2)x+1=0,无实根,则,=16(m-2),2,-160,即,1m3,；,(2),2x+1,是整数；,(3),对所有的,xR,，,x3,；,(,4,),对,任意一个,xZ,，,2x+1,是整数,。,语句,(1)(2),不能判断真假，不是命题；,语句,(3)(4),可以判断真假，是命题。,全称量词、全称命题定义：,短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示。,含有全称量词的命题，叫做全称命题。,常见的全称量词还有,“一切”“每一个”,“任给”“所有的”等,。,全称命题举例：,全称命题符号记法：,命题：对任意的,nZ,，,2n+1,是奇数；,所有的正方形都是矩形。,通常，将含有变量,x,的语句用,p(x,),q(x,),r(x,),表示，变量,x,的取值范围用,M,表示，那么，,全称命题“,对,M,中任意一个,x,，有,p(x,),成立,”可用符号简记为：,读作“,对任意,x,属于,M,，有,p(x,),成立,”。,解：,（,1,）假命题；（,2,）真命题；（,3,）假命题。,例,1,判断下列全称命题的真假：,（,1,）,所有的素数都是奇数；,（,2,）,（,3,）对每一个无理数,x,，,x,2,也是无理数。,小 结：,需要对集合,M,中每个元素,x,，证明,p(x,),成立,只需在集合,M,中找到一个元素,x,0,，使得,p(x,0,),不成立即可,（举反例）,练习：,1,判断下列全称命题的真假：,（,1,）每个指数函数都是单调函数；,（,2,）任何实数都有算术平方根,；,（,3,）,思考：,下列语句是命题吗？,(1),与,(3),，,(2),与,(4),之间有什么关系？,(1),2x+1=3,；,(2),x,能被,2,和,3,整除；,(3),存在一,个,x,0,R,，使,2x+1=3,；,(,4,),至少,有一个,x,0,Z,，,x,能被,2,和,3,整除。,语句,(1)(2),不能判断真假，不是命题；,语句,(3)(4),可以判断真假，是命题。,存在量词、特称命题定义：,短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，,并用符号“”表示。,含有存在量词的命题，叫做特称命题。,常见的存在量词还有,“有些”“有一个”,“对某个”“有的”等,。,特称命题举例：,特称命题符号记法：,命题：有的平行四边形是菱形；,有一个素数不是奇数。,通常，将含有变量,x,的语句用,p(x,),q(x,),r(x,),表示，变量,x,的取值范围用,M,表示，那么，,特称命题“,存在,M,中的一个,x,0,，使,p(x,0,),成立,”可用符号简记为：,读作“,存在一个,x,0,属于,M,，使,p(x,0,),成立,”。,解：,（,1,）假命题；（,2,）假命题；（,3,）真命题。,例,2,判断下列特称命题的真假：,（,1,）有一个实数,x,0,，使,x,0,2,+2x,0,+3=0,；,（,2,）存在两个相交平面垂直于同一条直线；,（,3,）有些整数只有两个正因数。,小 结：,需要证明集合,M,中，使,p(x,),成立的元素,x,不存在。,只需在集合,M,中找到一个元素,x,0,，使得,p(x,0,),成立即可,（举例证明）,练 习：,2,判断下列特称命题的真假：,（,1,）,（,2,）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；,（,3,）,解：,（,1,）真命题；（,2,）真命题；（,3,）真命题。,练习,（,2,）存在这样的实数它的平方等于它本身。,（,3,）任一个实数乘以,-1,都等于它的相反数；,（,4,）存在实数,x,，,x,3,x,2,；,3,、用符号“”与“”表达下列命题：,（,1,）实数都能写成小数形式；,同一全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法：,命题,全称命题,特称命题,所有的,xM,，,p(x,),成立,对一切,xM,，,p(x,),成立,对每一个,xM,，,p(x,),成,立,任选一个,xM,，,p(x,),成,立,凡,xM,，都有,p(x,),成立,存在,x,0,M,，使,p(x,),成立,至少有一个,x,0,M,，使,p(x,),成立,对有些,x,0,M,，使,p(x,),成,立,对某个,x,0,M,，使,p(x,),成,立,有一个,x,0,M,，使,p(x,),成,立,表述方法,