一阶隐式微分方程及其参数表示

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.4,一阶隐式微分方程及其参数表示,Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,本节要求,掌握下列四种类型方程的解法（参数表示）：,1,、可以解出,y,(,或,x,),的方程,这里假设函数 有连续的偏导数,.,解法,：,引进参数,则,(2.4.1),变为,两边关于,x,求导，并把 代入，得,关于,x,和,p,显式方程,若已得出,(2.4.3),的通解形式为,代入,(2.4.2),得,就是,(2.4.1),的通解。,(ii),若得出,(2.4.3),通解形式为,，则原方程,(2.4.1),有参数形式的通解,其中,p,是参数，,c,为任意常数。,(iii),若求得,(2.4.3),通解形式 ，,则原方程,(2.4.1),其中,p,是参数,c,为任意常数。,有参数形式通解,解法,两边对,y,求导,即,若求得为,则,(2.4.4),的通解为,若求得为,则,(2.4.4),的通解为,解法,1,：,解出,y,令,得,两边对,x,求导,例1,求解方程,当,时，上式乘以,p,，得,积分，得,将它代入,因此，方程参数形式通解,当,p,=0,时,由,可知，,y,=0,也是方程的解。,解出,x,，得,解法,2,：,解出,x,，,并令,得,两边对,y,求导,所以，方程的通解为,:,此外，还有解,y=0,解,令,得,两边对,x,求导，得,例2,求解方程,将它代入,得方程的通解,再由,得,将它代入,，又得方程的一个解,此解与通解,中的每一条积分曲线均,相切,(,如图,)(,P54,),这样的解我们称之为奇解,下一章将给,出奇解的确切含义。,P103,注意,:,x,y,o,2,、不显含,y,(,或,x,的方程,),解法：,引入变换,从,(2.4.7),得到,则，方程的参数形式通解为,(or,引入变换,从,(2.4.7),得到 ）,令,通解为,特殊情形,解法：,引入变换,从,(2.4.7),得到,则，方程的参数形式通解为,(or,引入变换,从,(2.4.7),得到,),若,有实根,则,也是方程的解。,令,通解为,特殊情形,若,有实根,则,也是方程的解。,解,令,则 由方程，得,从而,于是,求解方程,例,3,通解为,例,4,求解方程,解,把,代入原微分方程,令,得,由此得,且,方程的参数形式的通解为,此外,也是方程的解。,练习,求解方程,注意观察方程的解的特点,解,通解,奇解,克莱洛方程,Clairant,Equation,变量分离、线性、恰当方程等,能解出,转化,不能解出 或解出形式复杂,转化,引进参数变量变换,熟练掌握,小结,作业,:,P.69,第,1, 3, 4,题,Thank you for your attention !,谢谢,