晶体的宏观对称元素

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本章是晶体对称理论的主题部分，也是我们课程的重点。,晶体的宏观对称,对称就是物体相同部分有规律的,重复。,对称的条件：具有两个或两个以上相同部分；,这些相同部分通过一定的操作有规律地重复。,不对称的图形,蝴蝶、花冠和建筑物的对称,一、对称的概念,Crystallology,晶体的对称,二、晶体对称的特点,所有晶体都具对称性。,一切晶体都具格子构造，而格子构造本身就是内部质点在三维空间周期性重复排列的体现（微观对称）。,通过平移，可使相同质点重复（也叫平移对称）。,晶体的对称是有限的（遵循,“,晶体对称定律,”,）。,晶体对称严格受格子构造规律的限制，只有符合格子构造规律的对称才能在晶体上出现。,晶体的对称不仅体现在外形上，同时,也体现在物理性质（如,光学、力学、热学、电学性质等）上。,由以上可见,:,晶体的格子构造决定了所有晶体都是对称的，但也限制了有些对称在晶体中是不能出现的。因此，晶体的对称可以作为晶体分类的最好依据。,Crystallology,晶体的对称,对称操作,：,是指使对称图形中相同部分重复的操作。,对称要素,：,在进行对称操作时所应用的辅助几何要素（点、线、面）。,三、晶体的宏观对称要素和对称操作,Crystallology,晶体的对称,晶体外形上可能存在的对称要素,：,1,、对称面（,P,）,2,、对称轴（,L,n,）,3,、对称中心（,C,）,4,、旋转反伸轴（,L,i,n,）,5,、旋转反映轴（,L,s,n,）,Crystallology,晶体的对称,1,、,对称面,（,P,）,对称面是把晶体平分为,互为镜像,的两个相等部分的假想平面。,相应对称操作：对一个平面的反映。,A,D,E,B,P,1,P,2,A,E,1,D,E,B,P,Crystallology,晶体的对称,该切面是对称面,该切面不是矩形体的对称面,Crystallology,晶体的对称,对称面在晶体中可能存在的位置：,垂直并平分晶面；,垂直晶棱并通过它的中心；,包含晶棱并平分晶面夹角。,晶体中可不存在对称面，也可存在一或多个对称面，最多可达,9,个。对称面的描述方法为,3P,、,9P,等。,立方体的九个对称面,Crystallology,晶体的对称,Crystallology,立方体的九个对称面极射赤平投影图,对称面的投影示例,晶体的对称,2,、,对称轴,（,L,n,）,对称轴是通过晶体中心的一根假想直线，晶体围绕此直线旋转一定角度后，相同的晶面、晶棱、角顶能重复出现。,相应的对称操作：围绕一根直线的旋转。,旋转一周，晶体的相同部分重复的次数称为,轴次（,n,）,；重复时所旋转的最小角度称为,基转角（,）；,n=360,。,Crystallology,晶体的对称,晶体外形上可能出现的对称轴有,L,1,（无实际意义）,、,L,2,、,L,3,、,L,4,、,L,6,，,相应的基转角分别为,360,、,180,、,120,、,90,、,60,。,L,2,、,L,3,、,L,4,和,L,6,的作图符号分别为 、,、,、。,轴次,n,2,的对称轴称为,高次轴,。,Crystallology,晶体的对称,晶体中的各种对称轴,Crystallology,晶体的对称,Crystallology,晶体对称定律：,由于晶体是具有格子构造的固体物质，这种 质点格子状的分布特点决定了晶体的对称轴只有,n,=1,，,2,，,3,，,4,，,6,这五种，不可能出现,n=,5,，,n,6,的情况。,为什么呢？,1,、,直观形象的理解：,垂直五次及高于六次的,对称轴的平面结构不能,构成面网，且不能毫无,间隙地铺满整个空间,即不能成为晶体结构,。,晶体的对称,2,、数学方法证明：,两个结点,A,和,A,它们相距一个平移单位,t,。旋转,得到,B,和,B,。,t,=mt,t,=2tsin(,-90,)+t=-2tcos,+t,所以，,mt=-2tcos,+t,t,2cos,=1-m,B B,cos,=(1-m)/2,-2,1-m 2,t,t,即,-1,m 3,m=-1,0,1,2,3,t,相应的,0,或,2,，,/3,A A,/2,，,2/3,，相应的轴次为,1,，,6,，,4,，,3,，,2,。,证明周次,n,只能为,1,2,3,4,6,。,（但是，在准晶体中可以有,5,、,8,、,10,、,12,次轴）,Crystallology,晶体的对称,对称轴在晶体中可能出露的位置：,通过晶面的中心；,通过晶棱的中点；,通过角顶。,在一个晶体中，除,L,1,外，可以无、也可有一或多种对称轴，而每一种对称轴也可有一或多个。,表示方法为,3L,4,、,4L,3,、,6L,2,等,。,Crystallology,晶体的对称,对称轴的投影,直立对称轴投影点位于基圆中心,水平对称轴投影点位于基圆上,倾斜对称轴投影点位于基圆内,对称轴为通过晶体中心的直线，因此它们为投影球的直径。,Crystallology,晶体的对称,图中可见，立方体的,L,4,、,L,3,和,L,2,分别是四、三和两个对称面的交线，其赤平投影点落于对称面投影的交点上。,立方体的对称要素及其赤平投影,Crystallology,晶体的对称,3,、,对称中心,（,C,）,对称中心：,是晶体内部的一个假想点，通过该点作任意直线，则在该直线上距对称中心等距离的两端，必定可以找到对应点。,相应对称操作：对一个点的反伸（倒反）。,Crystallology,晶体的对称,对称中心以字母,C,表示，图示符号为“,o”,或“,C”,表示。,晶体中可以有对称中心，也可以没有对称中心，若有只能有一个，而且必定位于晶体的几何中心。,晶体中如果存在对称中心，则所有晶面必然两两反向平行而且相等,。用它可以作为判断晶体有无对称中心的依据。,Crystallology,晶体的对称,反伸操作演示,4,、,旋转反伸轴,（,L,i,n,）,旋转反伸轴是一根假想的直线，当晶体围绕此直线旋转一定角度后，再对此直线上的一个点进行反伸，才能使晶体上的相同部分重复。,相应的对称操作：围绕一根直线的旋转和对此直线上一个点反伸的复合操作。,Crystallology,晶体的对称,例：具有,L,i,4,的四方四面体,C,a,Crystallology,晶体的对称,旋转反伸轴以,L,i,n,表示，轴次,n,可为,1,、,2,、,3,、,4,、,6,。符号记为,L,i,1,，,L,i,2,，,L,i,3,，,L,i,4,，,L,i,6,。,相应的基转角分别为,360,、,180,、,120,、,90,、,60,除,L,i,4,外，其余各种旋转反伸轴都可用其它简单的对称要素或它们的组合来代替：,L,i,1,C,；,L,i,2,P,；,L,i,3,L,3,C,；,L,i,6,L,3,P,Crystallology,晶体的对称,L,i,1,，,L,i,2,，,L,i,3,，,L,i,4,，,L,i,6,旋转反伸轴的作用如图所示,L,i,1,=C,L,i,2,=P,L,i,3,=,L,3,C,L,i,4,L,i,6,=,L,3,P,c,p,c,对旋转反伸轴通常只保留,L,i,4,和,L,i,6,，,图示符号分别为“”和“”。而其他旋转反伸轴都用简单对称要素代替。这是因为,L,i,4,不能被代替，,L,i,6,在晶体对称分类中有特殊意义。,但是，在晶体模型上有,L,i,4,的地方往往表现出,L,2,的特点，,容易误认为,L,2,。,我们不能用,L,2,代替,L,i,4,，就像我们不能用,L,2,代替,L,4,一样。,因为,L,4,高于,L,2,，,L,i,4,也高于,L,2,。,在晶体模型上找对称要素，一定要找出,最高的,。,Crystallology,晶体的对称,5,、,旋转反映轴,（,L,s,n,）,也是一根假想的直线，相应的操作为旋转加反映的复合操作。图形围绕它旋转一定角度后，并对垂直它的一个平面进行反映，可使图形的相等部分重复。,旋转反映轴的作用可以由旋转反伸轴来代替：,L,s,1,P,L,i,2,；,L,s,2,C,L,i,1,；,L,s,3,L,3,P,L,i,6,；,L,s,4,L,i,4,；,L,s,6,L,3,C,L,i,3,Crystallology,晶体的对称,综上所述，在晶体的外部形态上可能存在而且具有独立意义的对称要素只有九种：,对称中心：,C,对 称 面：,P,对 称 轴：,L,1,、,L,2,、,L,3,、,L,4,、,L,6,旋转反伸轴：,L,4,i,、,L,6,i,Crystallology,晶体的对称,在结晶多面体中，可以有一个对称要素单独存在，也可以有若干对称要素组合一起共存。,对称要素组合不是任意的，必须符合对称要素的组合定律。,对称要素的组合服从以下定律：,四、对称要素的组合,Crystallology,晶体的对称,定理一,：,若有一个二次轴,L,2,垂直于,L,n,，则必有,n,个,L,2,垂直于,L,n,。,即：,L,n,L,2,L,n,nL,2,；,相邻两个,L,2,的夹角是,L,n,基转角的一半。,逆定理：,如果两个,L,2,相交，在交点上且垂直两个,L,2,必产生一个,L,n,，其基转角是两个,L,2,夹角的两倍。并导出其他,n,个在垂直,L,n,平面内的,L,2,。,例如,:,L,4,L,2,L,4,4,L,2,L,3,L,2,L,3,3L,2,Crystallology,晶体的对称,定理二,：,若有一个对称面,P,垂直于偶次对称轴,L,n,，则交点必为对称中心,C,。,即,：,L,n,P,L,n,P,C,（,n,为偶数）,逆定理：,L,n,C,L,n,P,C,(,n,为偶数,),P C,L,2,P,C,此定理说明了,L,2,、,P,、,C,三者,中任两个可以产生第三者。,Crystallology,晶体的对称,因为偶次轴包含,L,2,。,定理三：若有一个对称面,P,包含对称轴,L,n,，则必有,n,个,P,包含,L,n,；相邻两个,P,的夹角为,L,n,的,基转角的一半,。,L,n,P,/,L,n,nP,/,逆定理：,两个,P,相交，其交线必为一,L,n,，其基转角为相邻两,P,夹角的两倍，并导出其他,n,个包含,L,n,的,P,。,（定理,3,与定理,1,是类似的）,例如：,L,6,P,/,L,6,6P,/,思考,:,两个对称面相交,60,交线处会产生什么对称轴？,Crystallology,晶体的对称,定理四：,若有一个,L,2,垂直于,L,n,i,，或有一个,P,包含,L,n,i,，则,当,n,为奇数时，,L,n,i,L,2,或,L,n,i,P,L,n,i,nL,2,nP,当,n,为偶数时，,L,n,i,L,2,或,L,n,i,P,L,n,i,n/2L,2,n/2P,Crystallology,晶体的对称,晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶体形态的,对称型,或,点群,。一般来说，当强调对称要素时称对称型，强调对称操作时称点群。,为什么叫点群？,因为对称型中所有对称操作可构成一个群，符合数学中群的概念，并且在操作时有一点不动，所以称为点群。,根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律，推导出晶体中可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅有,32,种。那么，这,32,种对称型怎么推导出来？,五、,32,种对称型,(,点群,),及其推导,Crystallology,晶体的对称,1,、,A,类对称型,(,高次轴不多于一个,),的推导,1,）对称轴,L,n,单独存在，可能的对称型为,L,1,；,L,2,；,L,3,；,L,4,；,L,6,2,）对称轴与对称轴的组合。在这