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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.4,正态分布,高二数学 选修,2-3,引入,正态分布在统计学中是很重要的分布。我们知道，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于某一特定实数的概率可能大于,0,，人们感兴趣的是它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列；连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都为,0,，所以通常感兴趣的是它落在某个区间的概率。,离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用密度函数（曲线）描述。,复习,100,个产品尺寸的,频率分布直方图,25.235,25.295,25.355,25.415,25.475,25.535,产品,尺寸,（,mm),频率,组距,复习,200,个产品尺寸的,频率分布直方图,25.235,25.295,25.355,25.415,25.475,25.535,产品,尺寸,（,mm),频率,组距,复习,样本容量增大时,频率分布直方图,频率,组距,产品,尺寸,(mm),总体密度曲线,复习,产品,尺寸,(mm),总体密度曲线,高尔顿板,11,总体密度曲线,0,Y,X,导入,产品尺寸的总体密度曲线,就是或近似地是以下函数的图象：,1,、正态曲线的定义：,函数,式中的实数,、,(0),是参数，分别表示,总体的平均数与标准差，称,f(x),的图象称为,正态曲线,c,d,a,b,平均数,X,Y,若,用,X,表示落下的小球第,1,次与高尔顿板底部接触时的坐标,则,X,是一个随机变量,.X,落在区间,(a,b,的概率为,:,2.,正态分布的定义,:,如果对于任何实数,ab,随机变量,X,满足,:,则称为,X,的正态分布,.,正态分布由参数,、,唯一确定,.,正态分布记作,N,（,，,2,）,.,其图象称为,正态曲线,.,如果随机变量,X,服从正态分布，,则记作,X,N,（,，,2,）,在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布：,在生产中,，,在正常生产条件下各种产品的质量指标；,在测量中,，,测量结果；,在生物学中,，,同一群体的某一特征；,；,在气象中,，,某地每年七月份的平均气温、平均湿度,以及降雨量等，水文中的水位；,总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。,正态分布在概率和统计中占有重要地位。,m,的意义,产品,尺寸,(mm),x,1,x,2,总体平均数,反映总体随机变量的,平均水平,x,3,x,4,平均数,x,=,产品,尺寸,(mm),总体平均数,反映总体随机变量的,平均水平,总体标准差,反映总体随机变量的,集中与分散的程度,平均数,s,的意义,正态总体,的函数表示式,当,=0,，,=1,时,标准正态总体,的函数表示式,0,1,2,-1,-2,x,y,-3,3,=0,=1,标准正态曲线,（,，,（，+）,（,1,）当,=,时,函数值为最大,.,(3),的图象关于,对称,.,（,2,）,的值域为,（,4,）,当,时 为增函数,.,当,时 为减函数,.,0,1,2,-1,-2,x,y,-3,3,=0,=1,标准正态曲线,正态总体,的函数表示式,=,例,1,、下列函数是正态密度函数的是（）,A.,B.,C.,D.,B,例,2,、标准正态总体的函数为,（,1,）证明,f(x),是偶函数；,（,2,）求,f(x),的最大值；,（,3,）利用指数函数的性质说明,f(x),的增减性。,练习：,1,、若一个正态分布的概率函数是一个偶函数且该函,数的最大值等于 ，求该正态分布的概率密度函数的解析式。,20,25,30,15,10,x,y,5,35,2,、如图，是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差。,3,、正态曲线的性质,0,1,2,-1,-2,x,y,-3,=-1,=0.5,0,1,2,-1,-2,x,y,-3,3,=0,=1,0,1,2,-1,-2,x,y,-3,3,4,=1,=2,具有,两头低、中间高、左右对称,的基本特征,0,1,2,-1,-2,x,y,-3,=-1,=0.5,0,1,2,-1,-2,x,y,-3,3,=0,=1,0,1,2,-1,-2,x,y,-3,3,4,=1,=2,（,1,）曲线在,x,轴的上方，与,x,轴不相交,.,（,2,）曲线是单峰的,它关于直线,x,=,对称,.,3,、正态曲线的性质,（,4,）曲线与,x,轴之间的面积为,1,（,3,）曲线在,x,=,处达到峰值,(,最高点,),方差相等、均数不等的正态分布图示,3,1,2,=0.5,=-1,=0,=1,若 固定,随 值的变化而沿,x,轴平移,故 称为位置参数；,均数相等、方差不等的正态分布图示,=0.5,=1,=2,=0,若 固定,大时,曲线矮而胖；,小时,曲线瘦而高,故称,为形状参数。,=0.5,0,1,2,-1,-2,x,y,-3,3,X=,=1,=2,(6),当,一定时，曲线的形状由,确定,.,越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；,越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中,.,（,5,）当,x,时,曲线下降,.,并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以,x,轴为渐近线,向它无限靠近,.,3,、正态曲线的性质,动画,例,3,、把一个正态曲线,a,沿着横轴方向向右移动,2,个单位，得到新的一条曲线,b,。,下列说法中不正确的是（）,A.,曲线,b,仍然是正态曲线；,B.,曲线,a,和曲线,b,的最高点的纵坐标相等,;,C.,以曲线,b,为概率密度曲线的总体的期望比以曲线,a,为概率密度曲线的总体的期望大,2;,D.,以曲线,b,为概率密度曲线的总体的方差比以曲线,a,为概率密度曲线的总体的方差大,2,。,C,正态曲线下的面积规律,X,轴与正态曲线所夹面积恒等于,1,。,对称区域面积相等。,S,(-,-,X,),S,(,X,)S(-,-X),正态曲线下的面积规律,对称区域面积相等。,S,(-,x,1,-,x,2,),-,x,1,-,x,2,x,2,x,1,S,(,x,1,x,2,)=,S,(-,x,2,-x,1,),4,、特殊区间的概率,:,m,-,a,m,+,a,x,=,若,XN ,则对于任何实数,a0,概率,为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面积随着 的减少而变大。这说明 越小,落在区间 的概率越大，即,X,集中在 周围概率越大。,特别地有,我们从上图看到，正态总体在 以外取值的概率只有,4.6,，在 以外取值的概率只有,0.3,。,由于这些概率值很小（一般不超过,5,），通常称这些情况发生为,小概率事件,。,例,4,、在某次数学考试中，考生的成绩 服从一个正态分布，即,N(90,100).,（,1,）,试求考试成绩 位于区间,(70,110),上的概率是多少？,（,2,）,若这次考试共有,2000,名考生，试估计考试成绩在,(80,100),间的考生大约有多少人？,练习：,1,、已知一次考试共有,60,名同学参加，考生的成绩,X,，,据此估计，大约应有,57,人的分数在下列哪个区间内？（）,(90,110 B.(95,125 C.(100,120,D.(105,115,A,2,、已知,XN(0,1),，则,X,在区间 内取值的概率等于（）,A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228,3,、,设离散型随机变量,XN(0,1),则,=,=,.,D,0.5,0.9544,4,、若已知正态总体落在区间 的概率为,0.5,，则相应的正态曲线在,x=,时达到最高点。,0.3,5,、已知正态总体的数据落在（,-3,-1,）里的概率和落在（,3,5,）里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望是,。,1,例,6,、若,XN(5,1),求,P(6X7).,例,5,、已知 ，且 ，,则 等于,(),A.0.1,B.0.2 C.0.3 D.0.4,A,例,7,、如图，为某地成年男性体重的正态曲线图，请写出其正态分布密度函数，并求,P,（,|X-72|20,）,.,x,y,72(,kg),练习,1.,（,06,湖北卷）,在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布,N(70,100),。已知成绩在,90,分以上（含,90,分）的学生有,12,名。试问此次参赛学生总数约为多少人？,2.,在某项测量中，测量结果服从正态分布若在内取值的概率为,0.4,，则在内取值的概率为,3,设随机变量服从标准正态分布，已知 ，则,=,（）,A,0.025B,0.050C,0.950D,0.975,作业、某年级的一次信息技术测验成绩近似的服从正态分布 ，如果规定低于,60,分为不及格，求：,（,1,）,成绩不及格的人数占多少？,（,2,）成绩在,8090,内的学生占多少？,
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