第五讲-第8章相关-2011

生物统计,第八章 相关,变量间的关系有两类：,一类是变量间存在着完全确定性的关系，可以用精确的数学表达式来表示。,如长方形的面积（,S,）与长（,a,）和宽（,b,）,的关系可以表达为：,S=,ab,。,它们之间的关系是确定性的，只要知道了其中两个变量的值就可以精确地计算出另一个变量的值，这类变量间的关系称为,函数关系,。,另一类是变量间不存在完全的确定性关系，不能用精确的数学公式来表示。,如黄牛的体长与体重的关系；仔猪初生重与断奶重的关系；猪瘦肉率与背膘厚度、眼肌面积、胴体长等的关系等等，,这些变量间都存在着十分密切的关系，但不能由一个或几个变量的值精确地求出另一个变量的值。,像这样一类关系在生物界中是大量存在的，统计学中把这些变量间的关系称为,相关关系,，把存在相关关系的变量称为,相关变量,。,相关变量间的关系一般分为两种,:,一种是,因果关系,，即一个变量的变化受另一个或几个变量的影响。如仔猪的生长速度受遗传特性、营养水平、饲养管理条件等因素的影响，子代的体高受亲本体高的影响；,另一种是,平行关系,，它们互为因果或共同受到另外因素的影响。如黄牛的体长和胸围之间的关系，猪的背膘厚度和眼肌面积之间的关系等都属于平行关系。,统计学上采用回归分析（,regression analysis,）,研究呈因果关系的相关变量间的关系。,表示原因的变量称为自变量，表示结果的变量称为依变量。,研究“一因一果”，即一个自变量与一个依变量的回归分析称为,一元回归分析,；,研究“多因一果”，即多个自变量与一个依变量的回归分析称为,多元回归分析,。,一元回归分析又分为,直线回归分析,与,曲线回归分析,两种；多元回归分析又分为,多元线性回归分析,与,多元非线性回归分析,两种。,统计学上采用相关分析,(correlation analysis),研究呈平行关系的相关变量之间的关系。,对两个变量间的直线关系进行相关分析称为,简单相关分析,（也叫,直线相关分析,）；,对多个变量进行相关分析时，研究一个变量与多个变量间的线性相关称为,复相关分析,；研究其余变量保持不变的情况下两个变量间的线性相关称为,偏相关分析,。,直线相关与直线回归,直线相关与直线回归分析，是研究涉及连续型正态随机变量的，,两个连续型变量（,x,y,）,间的线性关系的统计方法。,数理统计理论要求：作直线相关分析的双随机变量（,x,y,），,应,服从二维正态分布；两个变量不分主次、地位平等。例如对身高与,体重间的关系的研究。作直线回归分析的双变量（,x,y,）,中，一个为,正态分布随机变量，即因（依）变量；另一个为可观测非随机变量，,即自变量，两个变量地位不再平等。例如对植株高度（因变量）随,生长周数（自变量）的变化规律的研究，植株高度为正态随机变量，,生长周数为可观测非随机变量。,实际应用时，对双变量样本资料（,x,i,y,i,），,i=1,n,，,只要,x,、,y,中,有一个是正态分布随机变量，一般都可同时作直线相关和直线回归分,析，对上述理论上的要求一般不作严格限制。,一、直线相关的散点图,(Scatter),分析,直线相关分析中的样本，是平面上的,n,个点（,x,i,y,i,）,i=1,n,，,它们在平面上的典型散布情况,散点图有以下几种：,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,0,r,1,1,r,0,r=,0,r=,0,r=,0,r=,0,1.,正相关,2.,负相关,5.,零相关,8.,零相关,7.,零相关,6.,零相关,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,r=,1,r=,1,3.,完全正相关,4.,完全负相关,第一节 直线相关,correlation analysis,二、直线相关的定量分析,（一）直线相关系数（总体记为,，,样本记为,r,）,样本直线相关系数：,其中,Lxy,称为离均差乘积和。可以证明：,-1r1,。,由下图易知，,L,xy,的符号代表了相关的性质,:,L,xy,0,为正相关；,L,xy,大小可初步反映相关的密切程度。,0,r,1,正相关,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,+,+,0,r,1,正相关,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,+,+,1,r,0,负相关,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,+,+,1,r,0,负相关,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,+,+,0,r 0,L,xy,小,L,xy,0,L,xy,大,但直接用,L,xy,描述直线相关关系，会受到,样本容量,n,大小,的影响，还会受变量,x,、,y,的,单位制,及其,变异大小,的影响，引入直线相关系数,就解决了这些问题。,r,可以客观描述,x,y,之间的直线关联的性质和密切程度。,结合散点图及,r,的取值情况，当,r0,时，称为正相关；当,r0,时，称为负相关；当,r=0,时，称为零相关；当,r=1,时，称为完全正相关；当,r=-1,时，称为完全负相关。,（二）直线相关关系即直线相关系数的检验,假设,H,0,：,=0,即总体直线相关系数为零，亦即总体内,x,与,y,之间无直线相关关系。,方法一,.,查,r,表法，由,r,与界值,r,比较，自由度,df,=n-2,。,若,r,0.05,，,尚不能认为总体直线相关系数不为零，即尚不能认为总体内,x,与,y,存在直线相关关系；,若,r,r,n-2,（,0.05,）,P0.05,，,则认为总体直线相关系数不为零，即总体内,x,与,y,之间存在直线相关关系。,方法二,.,由,t=(r-)/(1-r,)/(n-2),与界值,t,比较，自由度,df,=n-2,。,比较结果及结论与方法一类似，只需将,r,换为,t,即可。,方法一与方法二具有完全等价性，即检验结论、,P,值恒一致。,实际中只需选择其一即可。,三、直线相关分析实例,例,8.1,某品种水稻由播种至齐穗的天数,x,与其间的总积温,y(,日,度,),数据如下表。试做相关分析。,先做散点图如下，可见有直线相关趋势。,1400,1450,1500,1550,1600,1650,50,70,55,60,65,.,.,.,.,.,.,.,.,.,x,y,样品号,1 2 3 4 5 6 7 8 9,x 70 67 55 52 51 52 51 60 64,y 1616.3 1610.9 1440.0 1440.7 1423.3 1471.3 1421.8 1547.1 1533.0,再求直线相关系数,r=,L,xy,/,L,xx,L,yy,=0.959,。,对可能存在的直线相关关系进行检验：,假设,H,0,：,=0,df,=9 2=7,r,r,0.001,7,P0.001,结论：某水稻品种由播种至齐穗的天数与其间的总积温之间有正直线相关关系。,【,例,8.2】,计算,10,只绵羊的胸围（,cm,）,和体重,(,kg,),的相关系数。,表,10,只绵羊胸围和体重资料,R=0.847 Sig=0.0020.01,为研究,m,个定量指标变量（,x,1,，,x,2,，,，,x,m,）,间的关联情况，通常要对,n,个研究对象观测,n,组数据（,x,1i,x,2i,，,x,mi,），,i=1,2,n,（,一般,n,应远大于,m,），,且诸,x,i,应满足正态分布等条件。然后对这,n,组数据做多元线性相关分析。,一、简单相关分析,对诸,x,i,计算,两两间,的直线相关系数,r,ij,（,也称零级相关系数），可粗略反映各变量之间的关联情况。,第二节 多元线性相关分析,二、偏相关分析,计算偏相关系数,r,ij,，,表示在扣除其它变量的影响后,x,i,与,x,j,之间的直线相关系数，,表示被扣除影响的其它变量的下标。在这里偏相关系数与简单相关系数相比，更能真实反映,x,i,、,x,j,间的关联情况。,偏相关系数的计算公式为：,r,ij,=-,C,ij,C,ii,C,jj,式中，,C,ij,、,C,ii,、,C,jj,为（,x,1,x,2,x,m,）,的相关矩阵,r,的逆矩阵,r,-1,中的元素。,对偏相关系数也可进行检验，方法是由独立自变量个数,=m-1,，剩余自由度,=nm1,查专用相关系数检验表，可得,r,0.05,r,0.01,。,若,r,ij,0.05,不能认为,x,i,、,x,j,之间存在偏相关关系；,若,r,ij,r,0.05,P0.05,说明,x,i,、,x,j,之间存在偏相关关系。,SPSS,操作步骤：,Analyze,Correlation,Partial,把分析变量选入,Variable,框,把控制变量选入,Controlling for,框,Continue,OK,例,8.3,随机抽测,29,名儿童的血中微量元素钙、镁、锰、铁、铜及血红蛋白含量，数据如下表。试求,相关系数。,1 54.89 30.86 448.7 0.012 1.010 13.50,2 72.49 42.61 467.3 0.008 1.640 13.00,3 53.81 52.86 425.6 0.004 1.220 13.75,4 64.74 39.18 469.8 0.005 1.220 14.00,5 58.80 37.67 456.6 0.012 1.010 14.25,6 43.67 26.18 395.8 0.001 0.594 12.75,7 54.89 30.86 448.7 0.012 1.010 12.50,8 86.12 43.79 440.1 0.017 1.770 12.25,9 60.35 38.20 394.4 0.001 1.140 12.00,10 54.04 34.23 405.6 0.008 1.300 11.75,11 61.23 37.35 446.0 0.022 1.380 11.50,12 60.17 33.67 383.2 0.001 0.914 11.25,13 69.69 40.04 416.7 0.012 1.350 11.00,14 72.28 40.12 430.8 0.000 1.200 10.75,15 55.13 33.02 445.8 0.012 0.918 10.50,16 70.08 36.81 409.8 0.012 1.190 10.25,17 63.05 35.07 384.1 0.000 0.853 10.00,18 48.75 30.53 342.9 0.018 0.924 9.75,19 52.28 27.14 326.3 0.004 0.817 9.50,20 52.21 36.18 388.5 0.024 1.020 9.25,21 49.71 25.43 331.1 0.012 0.897 9.00,22 61.02 29.27 258.9 0.016 1.190 8.75,23 53.68 28.79 292.8 0.048 1.320 8.50,24 50.22 29.17 292.6 0.006 1.040 8.25,25 65.34 29.99 312.8 0.006 1.030 8.00,26 56.39 29.29 283.0 0.016 1.350 7.80,27 66.12 31.93 344.2 0.000 0.689 7.50,28 73.89 32.94 312.5 0.064 1.150 7.25,29 47.31 28.55 294.7 0.005 0.838 7.00,样品号 钙,x,1,镁,x,2,铁,x,3,锰,x,4,铜,x,5,血红蛋白,x,6,简单相关分析,:,钙 镁 铁 锰 铜 血红