第九章 场的量子化及其状态的描述(详细版)

单击此处编辑母版标题样式,*,第,9,章 场的量子化及其状态的描述,半经典理论,：对原子进行量子化处理，而电磁场仍然是经典场。理论是近似的，适用于无需考虑场的量子力学行为的场合，可使问题得到简化。,全量子理论,：对原子和场都采用量子化处理。理论是完备的，适用于任何场合，但是当场的量子力学效应可以忽略不计时，不利于问题简化。能给自发辐射以理论解释，从而能解释激光场由真空场到稳定场的建立过程，能研究激光场的相干性和光子统计性质，等等。,平面波的运动，在,一给定的空间位置处对应一个简谐振动,Fourier,分析告诉我们：任何振动,都可以归结为,若干不同,振幅、不同频率和不同初相的简谐振动的,叠加；任何波可以,归结为若干不同振幅、不同频率和不同初相的,平面波的,叠加,。,为了研究电磁场的量子化，可以先研究简谐振子的,量子化,。,9.1,一维谐振子的量子化,电磁波平面波简谐振动,量子化时，把经典力学量换成对应的力学量,算符,(,=,h,/2,h,是,Planck,常数,),：,在,x,轴上作一维振动的、质量为,m,的简谐振子，,假设弹性,系数为,，则它的固有振动角频率,为,=(,/,m,),1/2,，其,总能量,(,哈密顿量,Hamiltonian,),为,故能量,算符,(,Hamiltonian,算符,),为,设,|,x,是位置算符,x,的本征态,|,(,t,),是谐振子的态矢量,则位置表象下谐振子的波函数为,(,x,t,) =,，它满足以下,Schr,dinger,方程,求解上面这个方程可给出谐振子的全部量子力学内容，采用这种数理方法，是用一次量子化方法给出谐振子的量子化理论。为了跟场的量子化方法统一起来，下面我们用二次量子化方法给出谐振子的量子化理论，这是一种比较抽象但也更为简单的代数方法,9.1.,1 产生算符和湮灭算符,利用位置算符和动量算符，定义产生算符和湮灭算符如下：,它们互为厄米共轭（互为伴随算符）。反之,根据位置算符和动量算符之间的对易关系，,可以证明以下对易关系,定义粒子数算符,利用,可以证明,将湮灭和产生算符所表达的位置与动量算符,显然它与粒子数算符对易，因此它们有共同的本征态,得到,利用对易关系,代入谐振子的,Hamiltonian,算符,9.1.2,能量本征值（粒子数算符的本征值）,则必然有,n,0,，且当,n,=0,时，有,这是因为,引理,1,若粒子数算符的本征值和本征态分别用,n,和,|,n,表示，即有,当,n,0,时，有,利用数学归纳法，可以进一步证明,引理,2,这是因为,且满足,利用数学归纳法可以证明，对于任意正整数,定理,粒子数算符的本征值,n,只能是,非负整数,利用,引理,1,和,引理,2,可以证明,证明,思路：,引理,1,已经证明,n,0,，故只需证明,n,只能是整数即可。,反证法,：若,n,为正的非整数，则存在非负整数,l,使得,0,ln0,，而,(,n,-,l,-1),对应能量量子数为,n,的量子态。当,n,=0,时，谐振子的能量不为,0,，即谐振子存在基态能量,湮灭（产生）算符每作用于能量本征态,|,n,一次，能量量子数,n,就会减少（增加）一个。因此它代表湮灭（产生）一个粒子（能量量子）的算符,。,9.1.3,能量本征态,将本征态归一化,=1,，可求出它的一些表达式。一方面，粒子数算符的本征方程满足,另一方面，前面已经给出,因此有,其中常系数 和 根据归一化关系求出,于是,根据以上递推公式，有,于是得到,作为代表物理可观测量的厄米算符，粒子数算符的本征态（也即能量算符的本征态）满足正交归一和完备性关系，即,因此本征态集合,|,n,可以构成态矢量空间中的一组基矢，任意量子态可以用它展开。由于,|,n,代表粒子数为,n,的量子态，由基矢,|,n,构成的表象，称为粒子数表象或占有数表象，又称作,Fock,空间表象。,9.2,电磁辐射场的量子化,研究辐射场的量子化不必牵涉电磁相互作用，因而只需考虑真空无源区的自由辐射场。在开式的真空腔中，电磁场满足以下,Maxwell,方程组（,是真空光速,）,9.2.1,单模辐射场的量子化,选择,Cartesian,坐标系，使得单模辐射场沿,z,轴传播，电场振动方向（即偏振方向）在,x,轴方向上，则,E,=(,E,x, 0, 0),，磁场振动方向在,y,轴上,H,=(0,H,y, 0),，假定电磁场处于两镜腔内，沿,x,、,y,轴方向变化可忽略不计，则腔中单模电磁场的波动方程为,可用分离变量法求解以上方程，可得到,即有,A,为振幅，,为初相，,k,为波矢，,=kc,为角频率。单模场处于两镜腔内，满足驻波条件,其中,V=LS,为腔体体积，,L,为谐振腔的长度，,S,为谐振腔的横截面积，,M,为,归一化因子（具有质量量纲）,定义单模电磁场的广义坐标,(,具有长度量纲,),则方程,(1.24),可以表达为,显然广义坐标,Q,(,t,),满足如下谐振子方程,另一方面，由,Maxwell,方程,和,H,=(0,H,y, 0),有：,故,将,(1.27),式代入上式，得到,利用,上式可以写成,引入场的广义动量（具有动量量纲）,光腔体积内的电磁场能量为,利用,(1.28),和,(1.29),两式，得到,将,(1.27),和,(1.30),式代入上式，利用,(1.25),式得,因此电磁场的哈密顿量为：,这跟质量为,M,、频率为,的简谐振子的哈密顿量相同。事实上，前面已经指出，,Q,(,t,),满足频率为,的谐振子方程。把,Q,(,t,),看作广义坐标，把,P,(,t,),看作广义动量，跟前面一维谐振子的量子化类似，在场的量子化中，把经典的广义坐标广义动量共轭对,Q,和,P,换成对应的算符，且让它们满足以下对易关系：,同理引入产生和湮灭算符（它们互为厄米共轭 ）：,反之有：,电磁场的,Hamiltonian,算符为,于是电磁场算符可以表达为：,于是跟一维谐振子完全类似，对于电磁场我们有,(,n,=1, 2, 3,),：,电磁场的能量是离散化的，即能量是一份一份的组成的，每一份能量大小为,，我们称每一份这样的能量单元为电磁场的场量子，即光子。,粒子数算符即是光子数算符，其本征值,n,对应场所包含的光子数，本征态,|,n,对应光子数为,n,的场量子态。当光子数,n,=0,时，场的能量不为,0,，即场存在真空涨落所产生的“零点能” （又称为场的基态能量） ，它是产生自发辐射的物理根源。,湮灭,/,产生算符代表湮灭,/,产生一个光子的算符。,由于光子数本征态是正交归一的，可以用集合,|,n,n,=0, 1, 2,构成一个正交归一的基矢量组（称为光子数表象），一般的量子态,|,可以用这组基矢展开，展开的系数构成一个列矩阵，称为,|,在光子数表象下的矩阵表示。同理，任意一个算符,在光子数表象下存在矩阵表示,矩阵元为,利用,|,n,的正交归一性，以及,可知在光子数表象下，有,光子数算符在自身表象中自然是对角矩阵，对角元为它的本征值,在粒子数本征态下，电场强度的平均值为,即此时电场相位是完全随机的（电场矢量方向各向同性）。光强的平均值为,光子数为零时，存在电磁场的真空起伏（起伏的平均值为零），使得光强不为零。,表示,n,个光子的光强，因此,表示单模场中一个光子的光强，而 为一个光子的光场振幅。,在这里，虽然是针对谐振腔中的单模电磁场进行量子化，对于自由空间中的电磁场量子化也适用。无限大自由空间，可以看作是,V,时的情形，其中的归一化称为箱归一化。,9.2.2,多模电磁场的量子化,前面已经讲述单模电磁场的量子化。多模电磁场对应多个不同频率的单模电磁场的叠加，它是,Maxwell,方程组的一般解。因此在与前面相同的条件下，多模电磁场可以表达为：,其中,s=1, 2,，而,是第,s,个模（纵模）的广义坐标和广义动量,是第,s,模的单模电磁场， 是第,s,模的本征角频率， 是第,s,模的波数矢量的,z,分量。多模电磁场的,Hamiltonian,对应所有单模电磁场的,Hamiltonian,之和：,其中 为第,s,模的,Hamiltonian,量子化之后，经典力学量换成对应的算符，由此得到多模电磁场的,Hamiltonian,算符为：,其中 为第,s,模的,Hamiltonian,算符：,广义坐标算符与广义动量算符满足以下对易关系：,与单模电磁场相似，引入光子的湮灭算符和产生算符分别如下：,根据坐标算符与动量算符之间的对易关系，可以求得：,倒过来有：,把上式代入多模电磁场的,Hamiltonian,算符表达式，并利用产生算符和湮灭算符满足的对易关系，可得到：,其中：,用 表示第,s,模的粒子数算符本征态，则有,对于多模辐射场，假设第,s,个模中有,n,s,个光子（,s=1,2,，,n,s,=,0,1,2,），则粒子数算符的本征态矢可以写成所有单模本征态矢的张量积（并式矢）,则有,利用上式可得,即多模电磁场的总能量等于各个单模能量之和。第,s,模的产生和湮灭算符只对第,s,模的本征态作用，故有,利用单模本征态的正交归一关系,和完备性关系,，可以得到多模本征态的正交归一和完备性关系如下：,因此可以用多模本征态构成的基矢量组张成一个,Fock,空间（粒子数占有表象），电磁场的任意一个量子状态矢量,|,可以用这组基矢展开，展开系数构成的列矩阵，称为,|,在该,Fock,空间中的表示。具体地，有,展开系数模的平方,表示在态,|,中，在第,1,模中找到,n,1,个光子、且在第,2,模中找到,n,2,个光子、,且在第,s,模中找到,n,s,个光子的概率。电磁场算符为,与单模类似，我们有,多模场的真空态指的是多模场中的每一个模都没有光子，,n,1,=,n,2,=,n,s,=0,，显然真空态的零点能为各个模的零点能之和：,同理，在真空态下，电场场强的平均值为零，而它的平方（对应光强）的平均值不为零,对空间取平均，即得到多模场的零点起伏,光子数为零的电磁场基态，虽然存在零点涨落，但不足以引起原子吸收一个光子而从低能级向上一能级跃迁的（实）过程发生（违背能量守恒，真空能量不为零），但是可以引起能量守恒的自发辐射发生。,在前面讨论电磁辐射场的量子化中，粒子数算符是,Hermitian,算符，其本征值,n,（粒子数）对应物理上的可观测量，其本征态,|,n,对应光子数为,n,的量子态。由于光子数与场振幅的平方成正比，,|,n,仅反映量子化电磁场的振幅方面的信息。但是要了解一个波场的全部信息，得知道它的频率、振幅和相位（初相）。因此，下面将研究与量子化电磁场的相位对应的位相算符及其特性。,9.3,单模位相态与单模光子数态,9.3.1,位相算符的引入,首先来看看经典电磁场的表达式，以沿,x,轴方向偏振、沿,z,轴传播的单色平面波电场为例，它有如下形式的一般解：,因此，经典场的振幅和初相可以由系数,a,来确定，即分别对应,a,的模和相位（振幅跟,|,a,|,相差的常数因子,2,，在这里不改变问题的实质）。,其中,在场的上述表达方式下，从经典场到量子化场，经典场量换成场算符，相应的振幅因子,a,和,a,*,分别换成湮灭算符和产生算符（相差一个常数因子），即有：,与“经典场的振幅和初相分别对应系数,a,的模和相位”相对应，场算符的振幅算符和初相算符（位相算符）由湮灭算符来定义：,以上定义符合“场振幅的平方与光子数成正比”。由于光子数算符存在零的本征值，为了让振幅算符有逆，以上采用 而不是 来定义，含义是,但是，在量子力学中，不能直接把 把当作位相算符，否则会引起理论上的不自洽性（具体分析超出本教学范围）。因此，通常把该算符的余弦函数和正弦函数取作位相算符（显然它们都是厄米的）,是厄米算符（对应实数的经典量即初相），粒子数算符是厄米的，故有（ ）,因为（,h.c.,表示前一项的厄米共轭）,在粒子数表象下，其矩阵形式为,利用,不难验证,因此，粒子数算符与位相算符是不对易的，二者没有共同的本征态。例如当场处于粒子态,|,n,时，就不可能处于某个确定的位相态，从而当粒子数具有确定值,n,时（也即场的振幅有确定大小时），场所处在的相位就完全不确定，反之亦然。,因此，量子化场的粒子数（振幅）与相位不能同时确定。一般地，按照量子力学理论，若算符满足关系 ，则有测不准关系,其中,A,和,B,是相应力学量算符的均方根误差,力学量算符的均方根误差，是量子涨落产生的偏差，使得力学量的测量值偏离平均值。这种误差不是由于测量设备或测量人员造成的，而是自然界本身内在的随机性造成的。,由此可以算出量子化场的粒子数（振幅）与相位之间存在以下测不准关系,上式表明，粒子数（场振幅）越确定，测量值越准确（即偏差越小），则场的相位就越不准确，测量值偏差就越大，反之亦然。量子化场的振幅与相位不能同时确定，这是量子化电磁场与经典电磁场之间的又一个重要区别。,9.3.2,位相算符的本征态,位相态,不难验证，前面定义的两个位相算符不对易,因此二者没有共同的本征态。不过，上式左端仅有一个矩阵元不为零：,其他的无穷多个矩阵元皆为零。因此，从极限意义上考虑，同时是两个位相算符的本征态的状态形式是可能的。,考虑到在经典电磁场中，相位,是一个单一的变量，不必分为,cos,和,sin,等两种表达形式，因此不必用两个不同的量子力学算符的本征态来表示位相态。为此，定义位相态,其中,(S+1),-1/2,是归一化系数。因此位相态对应粒子数态的无穷叠加。类似于周期函数的离散傅立叶变换或级数展开，只是对,n,求和不是从,-,开始的，不把复指数函数当作展开基。类似共轭坐标,-,动量本征态之间的傅立叶变换。,上式右端展开系数模的平方都相等，故在位相态上（相位是确定的），包含各种可能的光子数的几率均相等，即光子数是完全不确定的。位相态满足正交归一关系，例如,可以证明，这样定义的位相态同时是两种位相算符的本征态（证明从略，可参考教材第,173-174,页），即有,从而有,此结果仅在,S,+,时（即光子数趋于无穷大时，过渡到经典力学）成立。,9.3.3,单模光子数态,前面已经分别讨论了光子数算符及其本征态，位相算符及其本征态。现在来看看单模光子数态和单模位相态的物理性质。在单模光子数态,|,n,下，粒子数算符满足,这是显然的，因为按照量子力学，力学量算符在它的本征态下测量，必有确定值。,但是对于位相算符，考虑到,可验证,因此，当光场处于,|,n,态且,n,0,时，有,考虑到（,n,0,）,即当电磁场处于,|,n,态（,n,0,）时，其光子数（因而最大振幅）有确定值，而相位可以取,0,2,之间的任意值。,下图表示单模光子数态,|,n,的振荡电场是时间的函数（单模下每个正弦波的振荡频率都一样），,最大,振幅是确定的，但相位在,0,2,之间完全随机分布，即相位是混乱的，完全不确定的。,对于单模光子数态,|,n,，前面已经给出,其中第二式子是同时取量子平均和空间平均之后的结果。上图中电磁波（最大）振幅可定量地表示为,电磁场在波动过程中，某一固定位置处的振幅大小（电场矢量大小）在,0,和最大值,E,0,之间周期性地变化着，因此电场强度的均方根偏差为,当然，当电磁场处于,|,n,态时，它的最大振幅是确定的。此时它的相位是完全不确定的，具有在,0, 2,范围内随机分布的相位的正弦波，平均值为零，而正弦波的最大振幅（对应光强或者光子数）是确定的。,9.3.4,单模位相态,在单模位相态,|,下，前面已经表明，位相算符的不确定量在,S,时为零，即单模位相态的相位是完全确定的,但是光子数是不确定的，即有,由此得到,因此在单模位相态,|,下，光子数的平均值和不确定量均为无穷大，而相对偏差为,是一个有限的确定值,上面的结果说明，当光场处于单模相位态时，与处于单模光子数态的情形刚好相反，此时电磁场具有完全确定的相位，而具有完全不确定的光子数。下图描述了这种情况,单模位相态的光场随时间变化的情况，相位完全确定，振幅在,0,之间变化，因而完全不确定,前面的结果表明，由于光子数算符与位相算符之间不对易，量子化的电磁场的振幅与相位不能同时确定。在光子数态,|,n,下，振幅完全确定而相位完全不确定；在位相态,|,下，相位完全确定而振幅完全不确定。因此这两种态属于两个极端情形。对于电磁场，通常我们既需要了解一定的振幅信息，也同时需要了解一定的相位信息，即使两种信息都存在一定的不确定性，也没关系。下面给出的相干态就能满足这一点。,9.4,相干态,9.4.1,相干态的定义,相干态存在多种等价定义，下面把相干态定义为湮灭算符的本征态,由于湮灭算符不是厄米算符，因此“本征值是实数”和“本征矢是正交和完备的”这些定理不再适用。因此本征值,可以为任意复数，即,为了讨论相干态的性质，利用粒子数态的完备性，将相干态用粒子数态展开,将湮灭算符作用于上式，有,将上式代入本征方程 ，有,将上式左乘,的归一化条件求得（忽略一个相位因子）,因此，相干态可以表达为,上式可以作为相干态另一种等价定义（此时原来的定义就成为它的推论），它可以看作是由真空态,|0,经平移算符 平移得到。,9.4.2,相干态的性质,正交归一性,超完备性,因此，我们选择的相干态是归一化的：,=1,；但是不同相干态之间不正交：,0 for,z,1,z,2,，,这跟厄米算符的本征态不同。只有当,|,z,1,-,z,2,|,时，,0,。这意味着一个相干态可以表达为其他相干态的线性组合，即彼此线性相关。,尽管不同相干态相互不正交，它们的全部集合却是完备的，因而是超完备的。,可以证明以下完备性关系,其中，,z,=,x,+i,y,=,r,exp(i,),，则,d,2,z,=d,x,d,y=r,d,r,d,，积分是对整个复,z,平面进行。这种完备性意味着任何量子态均可以用相干态的全体来展开，这使得相干态的全体集合构成一个新的完备基，称为相干态表象。它是超完备的，它的一个子集就可以构成一组完备基。超完备基如同二维平面上用三根坐标轴建立的坐标系。,证明：,利用,z,=,r,exp(i,),，以及,有,因此，在相干态下，光子数（因而电磁波的振幅）是不确定的，但是要比位相态下的光子数不确定性小（比较二者的相对涨落）：,相干态下的平均光子数与光子分布,当单模场处于相干态,|,z,时，在相干态,|,z,中具有,n,个光子的概率是,即相干态的光子数分布是,Poisson,分布。激光器在远高于阀值时，其光子分布就是,Poisson,分布，即激光场的光子就是相干态的光子。,利用粒子数算符、产生和湮灭算符来表达位相算符，并且把相干态用光子数本征态展开，代入下式左端，可以得到相干态下的平均相位（平均光子数较大时的近似结果）：,相干态下的平均相位,进一步地,因此，位相的量子涨落偏差为,同理,因此，在相干态下，场的相位是不确定的，但是要比光子数态下的相位不确定性小：,由前面的讨论可知，在相干态下，场的振幅和相位都是不确定的，但其不确定性，分别要比位相态下的振幅和光子数态下的相位不确定性小，光子数态和位相态是两个极端，而相干态介于二者其中，兼顾场的振幅和相位，并允许振幅和相位同时都有一定的不确定性，它们的不确定性满足测不准关系所允许的最小值,相干态下的测不准关系,前面讨论量子化电磁场时，为方便计以特殊坐标系下的场量某一分量为例。依此类推，一般地，单模电场强度算符可以表达为,相干态下的电场强度的量子涨落,由此可以求得（,z,=|,z,|exp(i,),）,于是，在相干态下场的起伏为,即电场幅度的起伏为与该模式的光子数无关，但相对起伏却随着光子数增大而减少。因此，当平均光子数,|,z,|,2,较小时，场的振幅和相位都有一定的不确定度；而当平均光子数,|,z,|,2,较大时，场趋向于同时有确定振幅和确定相位的经常场。如下图所示：,在相干态下，光子数少时，振幅与相位都有起伏；光子数较多时，振幅与相位起伏都变小,利用相干态的完备性关系，可以把态矢和算符按相干态展开,9.4.3,态矢与算符按相干态的展开,将任意态矢,|,f,和相干态,|,z,都用光子数态,|,n,展开，可得到,的具体表达式（,f,m,=,）,同理,其中 是算符在相干态表象下的矩阵元。利用光子数本征态的完备性关系有,相干态是非厄米算符,(,湮灭算符,),的本征态；,相干态是非正交的，超完备的,相干态的光子分布是泊松分布,相干态的振幅和相位都有一定不确定度，当 光子数,n,，相干态的光场变成同时有确定 振幅和相位的经典光场,相干态是测不准量最小的量子态（准波包），或者说是最接近经典场的量子态,经典流产生的辐射对应相干态。其中在电磁耦合项中，场对应场算符，而流是经典流（而不是流算符）,相干态是相干度为,1,的纯量子态,