教育专题：1132多边形的内角和

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,11.3.2,多边形的内角和,第十一章 三角形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,11.3,多边形及其内角和,八年级数学上（RJ）,教学课件,情境引入,学习目标,1.,能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式,.,（重点）,2.,学会,运用多边形的内角和与外角和公式解决问题,.,（难点）,法国的建筑事务所atelierd将协调坚固的蜂窝与人类天马行空的想象力结合，创造了这个“,abeilles bee pavilion,”,.,导入新课,情景引入,思考：,你知道正六边形的内角和是多少吗？,问题,2,你知道长方形和正方形的内角和是多少 度？,问题,1,三角形内角和是多少度？,三角形内角和 是,180.,都是,360.,问题,3,猜想任意四边形的内角和是多少度？,讲授新课,多边形的内角和,一,猜想：,四边形,ABCD,的内角和是,360.,问题,4,你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？,猜想与证明,方法,1,：如图，连接,AC,所以四边形被分为两个三角形，,所以四边形,ABCD,内角和为,180,2=360,.,A,B,C,D,A,B,C,D,E,方法,2,：如图，在,CD,边上任取一点,E,，连接,AE,DE,，,所以该四边形被分成三个三角形，,所以四边形,ABCD,的内角和为,180,3-(,AEB,+,AED,+,CED,),=,180,3-180,=,360,.,方法,3,：如图，在四边形,ABCD,内部取一点,E,，,连接,AE,BE,CE,DE,，,把四边形分成四个三角形：,ABE,ADE,CDE,CBE,.,所以四边形,ABCD,内角和为：,180,4-(,AEB,+,AED,+,CED,+,CEB,),=180,4-360,=360,.,A,B,C,D,E,A,B,C,D,P,方法,4,：如图，在四边形外任取一点,P,连接,PA,、,PB,、,PC,、,PD,将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形,.,所以四边形,ABCD,内角和为,180 3,180=360.,这四种方法都运用了,转化思想,，把,四边形分割成三角形,，转化到已经学了的,三角形内角和,求解,.,结论：,四边形的内角和为,360,.,例,1,：,如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由,.,解：,如图，四边形,ABCD,中，,A,+,C,=180.,A,+,B,+,C,+,D,=(4,2)180=360,，,因为,B,D,=360,（,A,C,）,=360,180=,180.,所以,A,B,C,D,如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补,.,典例精析,【变式题】,如图，在四边形,ABCD,中，,A,与,C,互补，,BE,平分,ABC,，,DF,平分,ADC,，若,BE,DF,，求证：,DCF,为直角三角形,证明：在四边形,ABCD,中，,A,与,C,互补，,ABC,+,ADC,=180，,BE,平分,ABC,，,DF,平分,ADC,，,CDF,+,EBF,=90，,BE,DF,，,EBF,=,CFD,，,CDF,+,CFD,=90，,故,DCF,为直角三角形,运用了整体思想,A,C,D,E,B,A,B,C,D,E,F,问题,5,你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方,法求五边形和六边形内角和吗,?,内角和为,180 3=540.,内角和为,180 4=720.,n,边形,六边形,五边形,四边形,三角形,多边形内角和,分割出三角形的个数,从多边形的一顶点引出的对角线条数,图形,边数,0,n,-,3,1,2,3,1,2,3,4,n,-,2,（,n,-,2,）,180,1,180,=,180,2,180,=,360,3,180,=,540,4,180,=,720,由特殊到一般,分割,多边形,三角形,分割点与多边形的位置关系,顶点,边上,内部,外部,转化思想,总结归纳,多边形的内角和公式,n,边形内角和等于,(,n,-2)180.,例,2,一个多边形的内角和比四边形的内角和多720，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？,解：设这个多边形边数为,n,，则,（,n,-2）180=360+720，,解得,n,=8，,这个多边形的每个内角都相等，,（,8,-2）180,=,1080，,它每一个内角的度数为10808=135,典例精析,例,3,已知,n,边形的内角和=（,n,-2）180,（1）甲同学说，能取360；而乙同学说，也能取630甲、乙的说法对吗？若对，求出边数,n,若不对，说明理由；,解：360180=2，,630180=3,.,90，,甲的说法对，乙的说法不对，,360180+2=4,故甲同学说的边数,n,是4；,（2）若,n,边形变为（,n,+,x,）边形，发现内角和增加了360，用列方程的方法确定,x,解：依题意有,（,n,+,x,-2）180-（,n,-2）180=360，,解得,x,=2,故,x,的值是2,【变式题】,一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为,1125,，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？,解：设此多边形的内角和为,x,，,则有,1125,x,1125,180,，,即,1806,45,x,1807,45,，,因为,x,为多边形的内角和，所以它是,180,的倍数，,所以,x,1807,1260.,所以,7,2,9,，,1260,1125,135.,因此，漏加的这个内角是,135,，这个多边形是九边形,思路点拨：多边形的内角的度数在,0,180,之间,.,例,4,如图，在五边形,ABCDE,中，,C,=100，,D,=75，,E,=135，,AP,平分,EAB,，,BP,平分,ABC,，求,P,的度数,解析：根据五边形的内角和等于540，由,C,D,E,的度数可求,EAB,+,ABC,的度数，再根据角平,分线的定义可得,P,AB,与,P,BA,的角度和，进一步求,得,P,的度数,可运用了整体思想,解：,EAB,+,ABC,+,C,+,D,+,E,=540，,C,=100，,D,=75，,E,=135，,EAB,+,ABC,=540-,C,-,D,-,E,=230,.,AP,平分,EAB,PAB,EAB,，,同理可得,ABP,ABC,，,P,+,PAB,+,PBA,=180，,P,=180-,PAB,-,PBA,=180 (,EAB,+,ABC,)=180 230=65,2,4,1,3,2,4,1,3,2,4,1,3,2,4,1,3,2,4,1,3,2,4,1,3,2,4,1,3,2,4,1,3,2,4,1,3,2,4,1,3,2,4,1,3,2,4,1,3,用形状、大小完全相同的任意四边形可拼成一块无空隙的地板，你知道这是为什么吗？,你知道吗？,多边形的外角和,二,如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和,问题,1,：,任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？,问题,2,：,五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？,E,B,C,D,1,2,3,4,5,A,互补,5,180,=900,E,B,C,D,1,2,3,4,5,A,五边形外角和,=360,=,5,个平角,五边形内角和,=,5180,(5,2)180,结论：五边形的外角和等于,360,.,问题,3,：,这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？,在,n,边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做,n,边形的外角和,n,边形外角和,n,边形的外角和等于,360,.,(,n,2)180,=360,=,n,个平角,-,n,边形内角和,=n,180,A,n,A,2,A,3,A,4,1,2,3,4,n,A,1,思考：,n,边形的外角和又是多少呢？,与边数无关,问题,4,：,回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？,每个内角的度数是,每个外角的度数是,练一练：,(1),若一个正多边形的内角是,120,那么这是正,_,边形,.,(2),已知多边形的每个外角都是,45,则这个多边形是,_,边形,.,六,正八,典例精析,例,4,已知一个多边形，它的内角和等于外角和的,2,倍，求这个多边形的边数,.,解：设多边形的边数为,n,.,它的内角和等于,(,n,2)180,，,多边形外角和等于,360,，,(,n,2)180=2 360.,解得,n,=6.,这个多边形的边数为,6.,例,5,已知一个多边形的每个内角与外角的比都,是,7:2,，求这个多边形的边数,.,解法一：设这个多边形的内角为,7,x,外角为,2,x,根据题意得,7,x,+2,x,=180,，,解得,x,=20.,即每个内角是,140,，,每个外角是,40.,360,40=9.,答：这个多边形是九边形,.,还有其他解法吗？,解法二：设这个多边形的边数为,n,根据题意得,解得,n,=9.,答：这个多边形是九边形,.,【变式题】,一个正多边形的一个外角比一个内角大60，求这个多边形的每个内角的度数及边数,解：设该正多边形的内角是,x,，外角是,y,，,则得到一个方程组 解得,而任何多边形的外角和是360，,则该正多边形的边数为360120=3，,故这个多边形的每个内角的度数是60，边数是三条,例,6,如图，在正五边形,ABCDE,中，连接,BE,，求,B,E,D,的度数,解：由题意得,AB,=,AE,所以,AEB,=(180,-,A,)=36,，,所以,B,E,D,=,AED,-,AEB,=108,-36,=72,.,当堂练习,1.,判断,(1),当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加,.(),(2),当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加,.(),(3),三角形的外角和与八边形的外角和相等,(),2.,一个正多边形的内角和为720，则这个正多边形的,每一个内角等于,_,120,3.,如图所示，小华从点,A,出发，沿直线前进10米后左转24，再沿直线前进10米，又向左转24，照这样走下去，他第一次回到出发地点,A,时，走的路程一共是,_,米,150,4.,一个多边形的内角和不可能是（）,A.1800 B.540 C.720 D.810,D,5.,一个多边形从一个顶点可引对角线,3,条，这个多边形,内角和等于（）,A.360 B.540 C.720 D.900,B,6.,一个多边形的内角和为,1800,，截去一个角后，求得到的多边形的内角和,.,解：,1800180,10,，,原多边形边数为,10,2,12.,一个多边形截去一个内角后，边数可能减,1,，可能不变，也可能加,1,，,新多边形的边数可能是,11,，,12,，,13,，,新多边形的内角和可能是,1620,，,1800,，,1980.,能力提升：,如图，求,1,2,3,4,5,6,7,的度数,.,解：如图，,3,4,8,9,，,1,2,3,4,5,6,7,1,2,8,9,5,6,7,五边形的内角和,540.,8,9,课堂小结,多边形的内角和,内角和计算公式,(,n,-2)180(,n,3,的整数）,外角和,多边形的外角和等于,360,特别注意：与边数无关,.,正多,边形,内角,=,，外角,=,