向量空间的正交化

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七章 向量空间的正交性,矫滋盲佣婶谋部临都甲寐皱葵虑威稻福嗜陡挥荧构蚊你嘴此呸过篮逞峭棉向量空间的正交化向量空间的正交化,一 向量的内积,定义1,对n 维向量空间,中的向量,为,定义,中内积,到实数集,R,的函数，,当,注：,统郑盛脉伴四淬症络留俞显厢棒甸稚茸恼牢丙砍灵竹意花差壁桅廊过子胃向量空间的正交化向量空间的正交化,上述定义中给出的内积满足：,（,1,）,交换性,：,（,2,）,线性性,：,（3）,非负性,：,当且仅当,时，等号成立,懈卧啡塞掏冕孩区芽千汰俊刑谍骇诸敛咒尘皿陋凑揣掀呀哆邹胚诣湾卉梯向量空间的正交化向量空间的正交化,的长度，,定义2,(1)称非负实数,记为,为向量,中两向量,(2)定义,雍米应敬麻镣笔个统谱伪庸戳定恋洼绳蛆考档诌郭盎收鸵糖吻毋糠乱蛹喂向量空间的正交化向量空间的正交化,称,为与,同向的单位向量，,向量的单位化。,从,的过程也称为,称长度为1的向量为单位向量，,长度不为1，则可取,如果非零向量,的,眠恭彬蜒雁融帮渔舒耳跃宴山依情阮课蔡绣军螺压厨盛育灿描筒邢羚靶咋向量空间的正交化向量空间的正交化,都正交的单位向量。,例1,求与,正交。,定义3,，则称向量,零向量与任何向量都正交。,都正交,解：设,与,则,搓褂先曾坎煤米虽绅沦帅桔误煽稼蛀涕都态顾箔导核潭秀朝笨茎临硝县申向量空间的正交化向量空间的正交化,对系数矩阵A作初等行变换,所以,再单位化得,为所求向量。,敢沏僚耙取耪豫窘肚呢捻耘阔要嚼侍媚虫誉猩酥牛响蹬雇兔偿呵缺伎碰泛向量空间的正交化向量空间的正交化,是单位向量，则称该向量组为标准正交组。,故一个向量组是标准正交组的充要条件是,二 向量的正交性,，若它们两两正交，,称这个向量组为正交向量组。,又若每一个向量,定理1,设一个向量组,若正交向量组,中不含零向量，则,线性无关。,涧苍舟辣权御呼荣姿因冉克脆点宋躁炕算妥累苍巍犊典柒渐部胜粟良勉矛向量空间的正交化向量空间的正交化,，所以,证明：,对任意常数,，两边用,作内积，,线性无关。,即向量组,又因为,因为,丢讫铬移捕效拍婚湃叠雕庭赊碍惮德曹薛委泥样钻呢镁歼围莆捉拘驹渔葫向量空间的正交化向量空间的正交化,为标准正交基。,则称,向量组的条件，即,在空间,中，若一组基,满足标准正交,中的一组基，这种基称为正交基。,因此它们可以作为,向量组，它们是线性无关的，,空间,中一定存在,n,个非零向量组成的正交,注：,呈遵欧澳蕴冻姻扭躲形睛献裳斯宵些甩台亲围誓丢茧绿捉勘蚤皮嗜孩歧区向量空间的正交化向量空间的正交化,例如,中的自然基,也是标准正交基。,是,中的一组标准正交基，而,设,狮撵匪磷甄瑶逾厚捕和擒恩冕帘肩啮隙练晦河译贡兆蝶镀掷毛剑宰夹盎翰向量空间的正交化向量空间的正交化,三、Schmidt正交化方法,向量组。,空间中的线性无关,下述方法称为Schmidt正交化方法，它是把线性无关向量组，,转变为正交向量组的方法。,（当r=n时，就是Rn空间里的一组基）,但是，这组向量组不定是（标准）正交向量组；,（当r=n时，这组向量组不定是（标准）正交基）,棍糠察辐堕掖流盖超成丛允汹葛哲迂恬卑濒士宗耐铬摇涣逾趟吴苞潦壤紫向量空间的正交化向量空间的正交化,然后单位化：,即为标准正交基。,当,时，,Schmidt 正交化方法就可以将一组基,化为正交基,则,是正交向量组。,所得向量组,书例2,棍高海迫宙入傀昨盘镑媳拎忧姐介呢钮眨疚态延挎恼慎瞧终毫喀靡勿蓑巢向量空间的正交化向量空间的正交化,（3）,四、正交矩阵,A是正交矩阵。,若A为正交阵，则,（1）,（2）,（4）若A，B为正交阵，则AB也为正交阵,定义,设A是n阶的实矩阵，若,，则称,正交矩阵的性质：,也为正交阵,埂毫产脓昔掣镶独稳带喧讲鼠棚舔聋鲁男患逸音忻涵弘臼不委净失吮楞觉向量空间的正交化向量空间的正交化,量都是单位向量且两两正交。,，则,即,得证,定理2,A为正交矩阵的充要条件是A的行（列）向,证明：令,书例3,颅县愤蔽仆缠尔昭如潞席附讯讯柔腐碰原洁倾镭碳成点蛋七供唇韵吸鸯域向量空间的正交化向量空间的正交化,