点集拓扑讲义

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,拓扑空间与连续映射,1,2.1,度量空间与连续映射,2,3,实数集,R,常见度量空间,4,常见度量空间,n,维欧氏空间,R,n,5,常见度量空间,令平方收敛的所有实数序列构成的,集合为,H,，记,Hilbet,空间,6,常见度量空间,7,离散空间的例子,8,问 题,在非空集合,X,上定义度量的方,式是否唯一？,想一想刚才给出的离散度量空,间有什么性质？,9,10,11,如果,y,X,属于,x,X,的某一个球形,邻域，则,y,有一个球形邻域包含于,x,的那个球形邻域,.,x,.,y,12,定义,2.1.3,设,A,是度量空间,X,的一个子集,.,如果,A,中的每一点都有一个球形邻域包含于,A,，则称,A,是度量空间,X,中的一个开集,.,.,a,A,13,实数空间,R,中的开集,开区间（,a,b,）、（,a,+,）、（,-,，,a,）,(),a,b,x,.,(),14,问 题,实数空间中的闭区间,a,b,、半开半闭,区间,a,b,),、,(,a,b,、无穷区间,a,+),、,(-,，,a,是否为开集？,度量空间中的球形邻域是否为开集？,15,继 续,证（,2,）,16,.,x,U,V,2.1.1(1),返 回,17,18,19,定理,2.1.3,设,x,是度量空间,X,中的一个点则,X,的子集,U,是,x,的一个邻域的充要条件是,x,有某一个球形邻域包含于,U.,20,必要性：,若,U,是点,x,的一个邻域，,。,x,U,V,开集,21,充分性,。,x,U,22,23,24,25,X,Y,.,.,U,X,.,.,Y,证明,证明,26,证明：,对 的任一邻域,U,有 的一个球形邻域 包含于,U,，,由,f,在点连续，故有的一个球形邻域 满足,显然有,因此是的一个邻域,返回,27,证明：,对的任意球形邻域,，则,是的一个邻域，则有一个球形邻域 使得,故,从而,f,在点处连续,.,28,29,30,U,开集,V,X,Y,f,开集,31,作 业,第,47,页,2,，,3,题,思考题：,5,，,7,题,32,