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*,*,*,2.5,圆锥曲线的共同性质,第,2,章 圆锥曲线与方程,1,1.,理解并会运用圆锥曲线的共同性质，解决一些与圆锥曲,线有关的简单几何问题和实际问题,.,2.,了解圆锥曲线的统一定义，掌握圆锥曲线的离心率、焦,点、准线等概念,学习目标,2,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,3,问题导学,4,知识点,圆锥曲线的统一定义,思考,如何求圆锥曲线的统一方程呢？,答案,5,如图，过点,M,作,MH,l,，,H,为垂足，由圆锥曲,线的统一定义可知,M,M,|,FM,eMH,取过焦点,F,，且与准线,l,垂直的直线为,x,轴，,F,(,O,),为坐标原点，建立直角坐标系设点,M,的坐标为,(,x,，,y,),，,设直线,l,的方程为,x,p,，则,MH,|,x,p,|.,把,、,代入,OM,eMH,，,两边平方，化简得,(1,e,2,),x,2,y,2,2,pe,2,x,p,2,e,2,0.,这就是圆锥曲线,(,椭圆、双曲线、抛物线,),在直角坐标系中的统一方程,6,梳理,(1),圆锥曲线上的点到一个定点,F,和到一条定直线,l,(,F,不在定直线,l,上,),的距离之比等于,.,当,时，它表示椭圆；当,时，它表示双曲线；当,时，它表示抛物线其中,是圆锥曲线的离心率，定点,F,是圆锥曲线的,，定直线,l,是圆锥曲线的,常数,e,e,1,0,e,1,焦点,e,准线,7,8,题型探究,9,例,1,双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，两准线间的距离为,4,，且经过点,A,(2,，,3),，求双曲线的方程,类型一,已知准线求圆锥曲线的方程,解答,10,a,2,2,c,，,b,2,c,2,a,2,c,2,2,c,.,c,3,或,c,11.,a,2,6,，,b,2,3,或,a,2,22,，,b,2,99.,11,2,c,2,13,c,66,0,，,0,，此方程无实数解,12,反思与感悟,(1),在本例中，两准线间的距离是一个定值,，不论双曲线位置如何，均可使用,(2),已知准线方程,(,或准线间距离,),求圆锥曲线方程，该条件使用方法有两个：,利用统一定义，,直接列出基本量,a,，,b,，,c,，,e,的关系式,13,解答,14,设,F,1,为左焦点，连结,AF,1,，,BF,1,，则根据椭圆定义知，,AF,1,BF,1,2,a,AF,2,2,a,BF,2,4,a,(,AF,2,BF,2,),再设,A,、,B,、,N,三点到左准线距离分别为,d,1,、,d,2,、,d,3,，由梯形中位线定理，得,d,1,d,2,2,d,3,3.,由统一定义,AF,1,ed,1,，,BF,1,ed,2,，,15,例,2,已知,A,(4,0),，,B,(2,2),是椭圆,内的两个点，,M,是椭圆上的动点,(1),求,MA,MB,的最大值和最小值；,类型二,圆锥曲线统一定义的应用,解答,16,所以,A,(4,0),为椭圆的右焦点，,F,(,4,0),为椭圆的左焦点,因为,MA,MF,2,a,10,，,所以,MA,MB,10,MF,MB,.,17,(2),求,MB,MA,的最小值及此时点,M,的坐标,解答,18,由图可知点,M,到右准线的距离为,MM,，,由图可知当,B,，,M,，,M,三点共线时，,MB,MM,最小，,19,20,反思与感悟,(1),解答此类题目时，应注意式子中的系数特点，依此恰当地选取定义,(2),圆锥曲线的统一定义，可以灵活地将曲线上点到焦点的距离与到相应准线的距离进行转化，从而简化解题过程,21,跟踪训练,2,试在抛物线,y,2,4,x,上求一点,A,，使点,A,到点,B,(,，,2),与到焦点的距离之和最小,解答,22,由已知易得点,B,在抛物线内，,1,，准线方程为,x,1,，过点,B,作,C,B,准线,l,于,C,，直线,BC,交抛物线于,A,，则,A,B,A,C,为满足题设的最小值,所以,A,点的坐标为,(,x,2),又因点,A,在抛物线上，所以,A,(1,2),即为所求,A,点，此时最小值为,BC,1.,23,类型三,焦点弦问题,例,3,椭圆,C,的一个焦点为,F,1,(2,0),，相应准线方程为,x,8,，离心率,e,.,(1),求椭圆的方程；,解答,设椭圆上任一点,P,(,x,，,y,),，,两边同时平方，得,4,(,x,2),2,y,2,(8,x,),2,，,24,(2),求过另一个焦点且倾斜角为,45,的直线截椭圆,C,所得的弦长,解答,由,(1),知椭圆的另一个焦点坐标为,F,2,(,2,0),，过,F,2,且倾斜角为,45,的直线方程为,y,x,2,，,得,7,x,2,16,x,32,0.,设交点为,A,(,x,1,，,y,1,),，,B,(,x,2,，,y,2,),，,25,反思与感悟,(1),本例,(2),中若用一般弦长公式，而不用统一定义，计算起来则复杂一些,(2),对于圆锥曲线焦点弦的计算，利用统一定义较为方便,26,解答,27,设椭圆离心率为,e,，,M,(,x,，,y,),为椭圆上任一点，,整理得,(,x,3),2,(,y,1),2,e,2,x,2,.,直线,l,的倾斜角为,60,，,联立得,(4,e,2,),x,2,24,x,36,0.,设,A,(,x,1,，,y,1,),，,B,(,x,2,，,y,2,),，,28,29,当堂训练,30,1,2,3,4,5,a,5,，,b,3,，,c,4,，,答案,解析,31,1,2,3,4,5,2.,如果椭圆的两个焦点将长轴三等分，那么这个椭圆的两准线间距离是焦距的,_,倍,.,9,答案,解析,32,1,2,3,4,5,PF,1,15,，,PF,2,PF,1,2,a,15,6,21,，,答案,解析,33,4.,已知椭圆方程为,，右焦点为,F,，,A,(2,1),为其内部一点，,P,为椭,圆上一动点，为使,PA,2,PF,最小，,P,点坐标为,_.,答案,解析,由统一定义知，,2,PF,即为,P,到右准线的距离，因此，要使,PA,2,PF,最小，,P,点除了应在,y,轴的右侧外，还要使,AP,垂直于准线，,1,2,3,4,5,34,5.,在平面直角坐标系,xOy,中，若中心在坐标原点的双曲线的一条准线方程为,x,，且它的一个顶点与抛物线,y,2,4,x,的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为,_.,答案,解析,因为抛物线,y,2,4,x,的焦点坐标为,(,1,0),，由此可得,a,1.,1,2,3,4,5,35,规律与方法,1.,在学习圆锥曲线的统一定义时，应注意与前面学过的椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程、几何性质相联系，以提高自己综合应用知识的能力和解题的灵活性,.,2.,在已知准线方程时，一般转化为,的数量关系，结合其他条件求出基本量,a,，,b,，,c,.,若是求方程，可由准线的位置来确定标准方程的类型,.,3.,根据圆锥曲线的统一定义，可把圆锥曲线上的点到焦点的距离转化为到对应准线的距离，这是一个非常重要的转化方法，可简化解题过程,.,36,本课结束,37,
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