3.6 算符与力学量的关系

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.6算符与力学量关系,我们,已讲过,，当体系,处,算符,的本征态,时,算符表示的,力学量,有确定的值,这个值就是,算符在,中,的本征,值,。,如果,体系不处在,算符,的本征态,时,这时候,算符,和它所,表示的,力学量之间的关系如何,?,力学量算符本征函数组成完备系,有一组函数,n,(x) (n=1,2,.),如果任意函数,(x,),可以按这组函数展开,:,则称这组函数,n,(x),是完备的。,为求系数,(3.6.1）,以,乘上式两边,并积分,所以,(3.6.2,）,则上式变为,利用,(3.6.3,）,则有,利用,如果波函数,(x,),归一化,(3.6.1）,称为几率振幅。,力学量平均值就是指多次测量的平均结果，,如测量长度,x,，,测了,10,次，其中,4,次得,x,1,，,6,次得,x,2,，,则,10,次测量的平均值为：,力学量的平均值,对于任意的微观态 ，知道了力学量的全部可能取值 及概率 后，该状态下力学量的平均值由以下公式给,出,该方法常被称为概率平均法,(3.6-4,）,考虑到厄米算符本征态的完备性 及正交归一性可得,该方法又被称为状态平均法，只要已知算符 ，不必通过 的本征态及本征值，可直接在任意态 下求出平均值。,(3.6-5,）,量子力学基本假定,任何力学量算符,F,的本征函数,n,(x),组成正交归一完备系,在任意已归一态,(x),中测量力学量,F,得到本征值,n,的几率等于,(x),按,n,(x),展开式中对应本征函数,n,(x),前的系数,c,n,的绝对值平方。,(3.6-4,）,(3.6-5,）,如果波函数不归一,则,(3.6-6,）,任意态在连续谱 情况下的展开,在此情况下，求和应变为积分,例题一 设粒子处于范围在 的一维无限深势阱中，,状态用波函数,描述，求粒子能量的可能值及相应概率。,解：无限深势阱中，粒子能量的本征态及本征值为,求解该问题，首先必须弄清任意态 究竟包含了能量,本征态中的那几个。,解法,1,利用 求 （能量分布函数）,利用三角函数公式及正交性，得,仅有 所以能量的可能值及概率为,概率 概率,解法,2,直接将 展开,所以能量的可能值及概率为,概率 概率,能量的平均值为,求解此类问题的技巧：对于任意态 ，有时利用,直接积分既麻烦又易错；若能将 直接,改写成力学量本征态的叠加，可使问题一目了然。,例如 对于 针对动量,应展开为,针对一维无限深势阱，应展开为,例,1,：已知空间转子处于如下状态,试问（,1,）,是否是,L,2,的本征态？,（,2,）,是否是,L,z,的本征态？,（,3,）求,L,2,的平均值；,（,4,）在,态中分别测量,L,2,和,L,z,时得到的可能值及其相应的几率。,解：,没有确定的,L,2,的本征值，故,不是,L,2,的本征态。,是,L,z,的本征态，本征值为,。,（,3,）求,L,2,的平均值,方法,I,验证归一化：,归一化波函数,方法,II,（,4,）,例,2,：,设,t=0,时，粒子的状态为,(x) = A sin,2,kx + (1/2)coskx ,求粒子的平均动量和平均动能。,解：,可写成单色平面波的叠加,可写成单色平面波的叠加,比较二式，因单色平面波动量有确定值：,或,从而得：,归一化后。,|c(p,i,)|,2,表示粒子具有动量为,p,i,的几率，于是就可以计算动量和动能的平均值了。,（,1,）动量平均值,（,2,）动能平均值,-,分立谱 连续谱,展开式：=,n,C,n,n,= C,d,系数： ,n,=,n,*,d ,=,*,d,正交归一：,n,*,m,d=,nm,*,d=（,）,完备性：,n,n,（r,）,n,(r)= (r,-r), ,（r,）,(r)d= (r,-r),平均值：,f,n,n,*,(r)F(r) d,d,*,(r)F(r) d,n,n,=1 ,d,d：表示测得本征值为d的几率。,-,例题一 任意态,求 态中 的可能值、概率及 。,解法一 可以看出 是 的共同本征函数所组成，,列表对应求解：,解法二 由 得,由 正交归一性得,例题,2,粒子状态处于一维谐振子的基态,试求：,（,1,）平均值 ；（,2,）平均值 ；,（,3,）动量的概率分布。,解：（,1,）,（,2,）,（,3,） 动量本征函数 则,为 的函数！,