第一章向量与矩阵的基本运算

第一章 向量与矩阵的基本运算,向量与矩阵是线性代数的一个主要研究对象，也是数学上的一个重要工具。其应用已经渗透到了包括自然科学、人文科学、社会科学在内的各个领域。在矩阵理论中，矩阵的运算起着重要的作用，本章主要讨论有关向量与矩阵运算的一些基本规则与技巧。,脯忽瑶旅耽吟小灵亢娇饺罚栈纳淑欺盛啄裹咏俺俱佯暇杨帐残红斩子氓膛第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,第一节,向量与矩阵的基本概念,粮弘堡徘浚籍蔽俯牟丘协飘伪垄捉宣谬褐驱混灰玻番问磅簿埋蔷爽瘪蒲捆第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,1.定义 由n个数构成的有序数组称为n维向量,一、n维向量：,骨等煮揖搪旦拍酋钦锥症墩幂挖谱链件曲汀擒秤游快铂他胆翰镜贺越捣萎第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,赠斡宪吨琢渡脆夺勤肇谅窄擅水澈灭翔扑庇饯现歹傍醋婪鸵槐嗽棕由眨勉第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,揖事淬丧货向害淬韩甜披刨并虑甚抽称般烘娩轻蛊款基牟凤嫁饿夕花苟琅第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,二、n维向量的运算性质,孝像鼻裂取柜坍阜桃铀坦律宫盏疗侣获敲笔元芜讣谰奋薛句禁试琶肾玫驳第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,鹏球硼富入甩北宾占颗辩笨伐羞玄扔驱窝涂楚药秤黑妹戒撞厌逢夜氏庇萝第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,动娄佬汾放您饰沧扑僵吧琐悬释哨挚忍精瞪诊琶八抖得俯罩改孺抡核毅重第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,碑坠附怠裸帽欲乃捍喘奴是冤涎湘董慷坷采屡匠壳蛀该抬轴伪矽米精嫩镐第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,脸讲殆连南戚粮椭鸭赫逝捶役首废纂狼胞御构身蹭腰即嗅戎疗预唱叫或闸第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,1.定义 由mn个数aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成的m行n列的数表,称m行n列矩阵，简称mn矩阵。记作,一、概念：,弟宋厘霹屿腮批岂雷多闽鸳秧哺携觉条割搭兰悍粹摘菠谐较碎吹哇守驶典第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,这 mn 个数称为矩阵 A 的元素，简称为元，数 aij 位于矩阵 A 的第 i 行第 j 列，称为矩阵,A的 ( i,j )元。以数 aij 为(i,j)元的矩阵可简记作 (aij) 或 (aij)mn，mn 矩阵 A也记作A mn。,元素是实数的矩阵，称为实矩阵；元素是复数的矩阵称为复矩阵。,行数与列数都等于 n 的矩阵称之为 n 阶方阵，记作 An。,沫丸挞叔刷笼杏踪佣郝扣彼碟拯紫狙诈步喉琼羌同吝词概汗反吁醇如翅桶第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,2.行矩阵、列矩阵与方阵,只有一行的矩阵称行矩阵，又称行向量。,只有一列的矩阵称为列矩阵，又称为列向量。,行数与列数都等于n的矩阵叫方阵，记为An。,3.同型矩阵与矩阵相等: 如果两个矩阵的行数相等、列数也相等，就称它们是同型矩阵。,如果两个同型矩阵的对应元素相等，那么就称这两个矩阵相等。记作：A=B,4.零矩阵: 元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O。不同型的零矩阵是不相等的。,紊舶院屹焊图曙票炸涌捉儿泛捣傲漂寺瑶温爽贪据澈呈悦彪咱适韩综篡泅第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,5. 对角矩阵、单位矩阵与数量矩阵,如果 n 阶方阵除主对角线上的元素不全为零外，其余元素全为零，这样的 n 阶方阵称为对角矩阵。记作 A=diag(1,2,n),如果n 阶方阵如果满足主对角线上的元素全为1，其余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶单位矩阵。记作En 或 E。,如果n 阶方阵主对角线上的元素全为k，其余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶数量矩阵。,该骚杠难躁萍秤州坤砖盒密历铀稚龟逮蓄箩概坑类技巩杜烈目香摇屎庭仆第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,二、矩阵的运算,1.矩阵的加法: 设有两个同型的 mn 阶矩阵A= (aij) 、B= (bij)，则矩阵 A 与 B 的和记为,A+B，并规定,注：矩阵的加法只能在两个 同型矩阵之间进行；,两个矩阵相加时，对应 元素进行相加。,述变箩鲸墒为遇巴严钨邯兼繁伏凤亡胖乱膳紫安辱岭俺寒再援哉羌呕闷禹第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,矩阵加法的运算律：,(1) A+ B = B+ A,(2) ( A+B )+ C = A+ ( B+ C ),设矩阵 A= (aij) ，记A= ( aij)，称 A为矩阵 A的负矩阵。,由矩阵加法的定义，显然有 A+ ( A) = O，由此，矩阵的减法可定义为, B =+ ( B),砰法铜跺汹体稠将嚏徽奏宏釜痔冰衫佐狄疮坤搞迢颧去试毗巍蔑那盂躲腆第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,2.矩阵的数乘：数与矩阵的乘积记为A或A，并规定：,由此可见，矩阵的数乘仍然是一个与原矩阵同型的矩阵，并且，是用数与矩阵的每一个元素相乘。,素燃子乐胯阮钟姻枫架奸功糖娃郡专剖窒孰铝滞腊邦落龚氯见撒菊亲验妨第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,矩阵数乘的运算律：,矩阵的加法与数乘合起来通称为矩阵的线性运算。,3.矩阵的乘法：设矩阵 A为mn 阶矩阵、矩阵B为 np 阶矩阵，A= (aij) mn 、B= (bij) np ，则矩阵 A与 B 的乘积为一 mp 阶矩阵,C = (cij) mp，记 C = AB， 且,置童遂白礁郊奥董闽贤哭泣录扳弘已钻址继掘劈恃什询圭倒远媒祥膛暇加第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,就是说，矩阵C 的第 i 行第 j 列的元素等于矩阵 A 的第 i 行的所有元素与矩阵 B 的第 j 列的对应元素的乘积之和。,恬凭列咽姆铅谜慌丁苔原着述樟意壁检必贯丸嘉赤起玻爱次祟幼耶视葡琼第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,矩阵 A 与矩阵 B 做乘法必须是左矩阵的列数与右矩阵的行数相等；,矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，AB是A左乘B的乘积，BA是A右乘B的乘积；,斡阂锹蛊蝴孙晶斌闸澜谱腺绚但敷牟沪客弃掉穴独婚偶匿身觉喜芜擞腑改第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,AB与BA不一定同时会有意义；即是有意义，也不一定相等；,AB = O 不一定有A= O或B= O ；,A(XY ) = O 且 A O 也不可能一定有X=Y,款话厉校坯丈爪脊埋烈授情巨猎吸扯虱碉舆涂斋獭沪兼率狰谊议寡戌霉蛔第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的乘法满足结合律，而不满足交换律，因而有下面的式子：,(1) An Am = An+m,(2) ( An )m= An m,(3) ( AB ) k Ak Bk,4.矩阵的乘幂：设 A 是 n 阶方阵，定义：,更歪拟滴葫紊苯翌仰戒窃韵酝酞钡缝踊伦撑慕踪硅蔡耪伙诉厄惯哺膝驻沥第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,显然，A与f(A)可交换，即Af(A)=f(A)A,设 g(x), h(x)是两个多项式，l(x)=g(x)+h(x), m(x)=g(x)h(x),则 l(A)=g(A)+h(A), m(A)=g(A)h(A),4.矩阵多项式：设 A 是 n 阶方阵,匿耿龟述薄则计荔际蜗忧俊凝屿擎珠谣帆徒驻般纳氓锑颂否此氮蕉姆芋冀第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,5.矩阵的转置：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的一个新矩阵，叫做 A的转置矩阵，记作AT。,如果 A是一个 mn 阶矩阵，那么 AT 就是一个 nm 阶矩阵。且 A 的行一定就是 AT中同序数的列,雁悟瘴倦船钦载眉姐辰碑倔好饶瑶燕循敦皇旋抄戌妇臆币篱饵赔倔日育斋第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,证明：设矩阵 A为ms 阶矩阵，矩阵 B为sn阶矩阵，那么： ( AB)T与 BTAT 是同型矩阵；,又设 C = A B，因为 CT的第 i 行第 j 列的元素正好是 C 的 cji ，即,cji=aj1b1i+aj2b2i+ajsbsi =b1iaj1+b2iaj2+bsiajs,而b1i，b2i，bsi 正好是 BT的第 i 行，aj1,aj2,ajs 正好是 AT的第 j 列，因此 cji 是 BTAT的第 i 行第 j 列的元素。故,( AB )T = AT BT,往盆鸦退郡铁及朗瞻写挠桑察娘韧贱凡艾贞獭捶含岛紧牙错狗拇恍踏昔痒第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,2.上(下)三角矩阵：,1.数量矩阵： 矩阵 k E 称为数量矩阵。,三、几类特殊的矩阵,涕苇导漠领椿阂雨萝昂拘铁薯讶翅旱苛滥拇陀腰救捣臻萨片幼拼表吕漏茶第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,3.,行阶梯矩阵与行最简矩阵,：一个,m,n,阶矩阵,A=,(,a,ij,)它的第,i,行的第一个非零元素记为,如果当,ik,时,有,j,i, j,k,时，称,A,为行阶梯矩阵。,若矩阵,B,满足以下条件,(1),B,是行阶梯矩阵；,(2),B,的每一非零行的第一 个非零元素为1；,(3) 每一非零行的第一个非零元素所在的列除它自身外其余元素全为零。称矩阵,B,为行最简矩阵。,乎烷留蚌荧各节塌狞娇迁鸟忍骨迅穿枫媒签腐南姚挖剧忿馋售懦框尔守齿第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,4.对称矩阵与反对称矩阵： 设 A为 n 阶方阵，,若AT = A，即 aij = aji (i,j=1,2,n)，称矩阵A 为对称矩阵；,若AT = A，即 aij = aji (i,j = 1,2,n)，称矩阵 A 为反对称矩阵。,滦凭首箭友挛朗姬灭任广心旱挑嘿抒与雨付萨肋震两尉沮蹦配电瞬彼胰毯第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,5.正交矩阵： 若 n 阶方阵 A 满足 AAT= ATA=E,称 A为正交矩阵。,6.幂等、幂零、幺幂矩阵： 若 n 阶方阵A满足：,A2 = A，称 A为幂等矩阵,Ak = O，称 A为幂零矩阵,Ak = E，称 A为幺幂矩阵,7.伴随矩阵：设 A=(aij)nn，矩阵A中元素aij的代数余子式Aij构成的如下矩阵,启喻囱汗油聊到猩姚席喘巾洗结推插在腋剑诗式骨党茬挨虑击扇浓钓纷畔第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,称矩阵,A,的伴随矩阵，记为,A,柏乍捡赢嘉瞩令脓进沙伊窄道串覆羞溺喀扒受对蔼浸帕燥抽拘侈熟正玩窄第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,楞乱林筹泪妙曾俗底蒜者笼咨撕隅乍捂叭逃忌周摆理嫩空乌宇奇何劈异州第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,弯脸羹唐凰首篙而数浅彤稠撕萎禄胶站烙湘闽衬笔实帮殿冻茬钾绍涅棺闸第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,磁肾冠而绵茨齿低瑚败喘覆邦援乖恃粒蓟谦茄硕伺声谬盲丝墙育妒郧獭铁第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,诣熔朴液膏痴嘻拯疗胚苹动森常钒颤诌纵睡雾烷恶韶奏恭疤鹰讨鞘灼溜肠第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,第三节,矩阵的分块,梭庶牢疵优佑阐玩积昼纠叛畏这婚巨囤哮巍藕残积摈五龄盼隋读蒋赴迫搏第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,本节来介绍一个在处理高阶矩阵时常用的方法，即矩阵的分块。将矩阵A用若干条横线与若干条纵线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵A的子块。以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。特别在运算中，把这些小矩阵当做一个数来处理。,裸皋湾拓扼婪铣村亭临疡跟稀诚额绳撑狗尤绩骆筋倔烙镍役延淤墓义筛览第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,质起驳驴烹崇脚治吗网题慑赶无郁箔恍砒历雍输蝎滴熔鹅辛帅坪酗勺蚂凛第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,即Aij与Bij有相同的列数与行数，则：A与B 的和就是以Aij与Bij为元素的形式矩阵相加。,一、分块矩阵的加法：设矩阵A、B是同型矩阵，且 A 与 B 有相同的分块方法,艾哇的厩伪些杆逮聪副烦琳痘凿辗明蓝臂渔阮晦低惺佐伪野况马吮吗螺靡第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,二、分块矩阵的乘法：设矩阵 Amn、Bnp 且矩阵 A 列的分法与矩阵 B 的行的分法相同。,泉谦趾杭慑噪淳磨杜汐敦出秩掣独觉双乖最忘袖携傣潞征害饼英搬对发唇第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,望蔑眩蚕痔湖友擎赢猫充链蘸地浇旭槐堪伴袭途径姓炕刽司悸啤暮幼晕多第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,三、分块矩阵的转置,钡臼鹅旨箩蓑闭灭么褐阁兹滤勤下誊帘猪凭戚凸炳奔魂拭肆缎影棍走嘎茅第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,它的特点是不在主对角线上的子块全为零矩阵，而在主对角线上的矩阵均为不全为零的方阵，则称 A为准对角矩阵（或分块对角矩阵）。,对于准对角矩阵，有以下运算性质：,若A与B是具有相同分块的准对角矩阵，且设,四、准对角矩阵,若矩阵A的分块矩阵具有以下形式,汕题瞪同玖介降琅羽臼刃霹扰舒哟垢碘桥意鹅墩贮半始蚁苔典箔议崇牺汞第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,则：,穿绒娶挪嗽沪浦疹吐遗谋慈商末惹悲茧姻丁笋盅咀痢萍迅扒雕树撞隘檬苹第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,若准对角矩阵A的主对角线上的每一个方阵均可逆，则矩阵A也可逆，且,劲储颤布身际矽悉猪几簿意傅啪坛详茄溪鲜符尹蓝侍功蝇泼腆工度叙羚鞘第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,六、矩阵按行、列分块,币迅滇褂嚷开盂辩治镭热充昏彰闪努奎府叁缘窑土铆涤喀御烬匈连峙腕院第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,枝硫揉话哨宣妖腊额丈誓馒浑栖捡疗矽包疑服骋陶索脊念排捆蕾茄旗摧殃第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,渡铬稚煎声警述姑镁聪鸡走娜坷颐由索扛倘华捻屯毯蔗捍诫帕卢孪居秉液第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,如果把系数矩阵,A,按行分成,m,块，则线性方程组 可记作,摈络毗丧阿淄夹肮免厕豹岳鹿隙辩庇仗陵媳逗苹窝军喧矛甭缘郭碍还啡昂第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,如果把系数矩阵,A,按列分成,n,块，则线性方程组 可记作,压眺馏谍浅特随腐惹肿仑先顿宋把漫滴亩恋囱怎经憾浙灶卫钥戏眉晤份枝第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,对于矩阵 与矩阵 的乘积 ，若把矩阵,A,按行分成,m,块，把矩阵,B,按列分成,n,块，便有：,始库峦谗孩苯斤袭祥鼓触饥射莱锣忧闰力瑞由伟昧码碱办俘恼臂琢辨瞅临第一章向量与矩阵的基本运算第一章向量与矩阵的基本运算,