教育专题：正多边形与圆

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,24.3,正多边形和圆,A,B,C,D,E,观察下列图形他们有什么特点？,各边相等,各角也相等的多边形叫做,正多边形,.,三条边相等，三个角相等（,60,度）。,四条边相等，四个角相等（,90,0,）。,正三角形,正方形,一,.,正多边形定义,如果一个正多边形有,n,条边，那么这个正多边形,叫做,正,n,边形,。,思考,:,菱形是正多边形吗,?,矩形是正多边形呢,?,菱形,矩形都不是正多边形,正,n,边形与圆的关系,1.,把正,n,边形的边数无限增多,就接近于圆,.,2.,怎样由圆得到多边形呢？,A,B,C,D,思考,1:,把一个圆,4,等分,并依次连,接这些点,得到正多边形吗,?,弧相等,弦相等（多边形的边相等）,圆周角相等（多边形的角相等）,多边形是正多边形,思考,2:,把一个圆,5,等分,并依次连接这些点,得到正多边形吗,?,证明：,AB=BC=CD=DE=EA,A,B,C,D,E,AB=BC=CD=DE=EA,BCE=CDA=3AB,A=B,同理,B=C=D=E,A=B=C=D=E,又顶点,A,、,B,、,C,、,D,、,E,都在,O,上,五边形,ABCDE,是,O,的,内接正五边形,.,定理,1,：,把圆分成,n,（,n3,）等份：,依次连结各分点所得的多边形是这个圆,的,内接正多边形,.,又五边形,PQRST,的各边都与,O,相切，,五边形,PQRST,的是,O,外切正五边形。,证明：连结,OA,、,OB,、,OC,，则：,OAB=OBA=OBC=OCB,TP,、,PQ,、,QR,分别是以,A,、,B,、,C,为切点的,O,的切线,OAP=OBP=OBQ=OCQ,PAB=PBA=QBC=QCB,又,AB=BC,AB=BC,PAB,与,QBC,是全等,的等腰三角形。,P=Q PQ=2PA,同理,Q=R=S=T,QR=RS=ST=TP=2PA,A,B,C,D,E,P,Q,R,S,T,O,定理,2,：,经过各分点作圆的切线，以相邻切,线的交点为顶点的多边形是这个圆的,外切正多边形,.,思考,3:,过圆的,5,等份点画圆的切线,则以相邻切,线的交点为顶点的多边形是正多边形吗,?,E,F,C,D,.,O,中心角,半径,R,边心距,r,正多边形的中心,:,一个正多边形的,外接圆的圆心,.,正多边形的半径,:,外接圆的半径,正多边形的中心角,:,正多边形的每一条,边所对的圆心角,.,正多边形的边心距：,中心到正多边形的,一边的距离,.,二,.,正多边形有关的概念,1.O,是正,ABC,的中心，它是,ABC,的,_,圆与,_,圆的圆心。,2.OB,叫正,ABC,的,_,它是正,ABC,的,_,圆,的半径。,3.OD,叫作正,ABC_,它是正,ABC,的,_,圆的半径。,A,B,C,.O,D,外接,内切,半径,外接,边心距,内切,4.BOC,是正,ABC,的,_,角,;,中心,BOC=_,度,;BOD=_,度,.,120,60,5,、正方形,ABCD,的外接圆圆心,O,叫做,正方形,ABCD,的,_,6,、正方形,ABCD,的内切圆的半径,OE,叫做,正方形,ABCD,的,_,A,B,C,D,.O,E,中心,边心距,7,、,O,是正五边形,ABCDE,的外接圆，弦,AB,的,弦心距,OF,叫正五边形,ABCDE,的,_,，,它是正五边形,ABCDE,的,_,圆的半径。,8,、,AOB,叫做正五边形,ABCDE,的,_,角，,它的度数是,_,D,E,A,B,C,.O,F,边心距,内切,中心,72,度,9,、图中正六边形,ABCDEF,的中心角是,_;,它的度数是,_;,10,、你发现正六边形,ABCDEF,的半径与边长具有,什么数量关系？为什么？,B,A,E,F,C,D,.O,AOB,60,度,1,、判断题。,各边都相等的多边形是正多边形。（）,一个圆有且只有一个内接正多边形（）,2,、证明题。,求证：顺次连结正六边形,各边中点所得的多,边形是正六边形。,A,B,C,D,E,F,A,B,C,D,E,3.,求证,：,正五边形的对角线相等。,证明：在,BCD,和,CDE,中,BC=CD,BCD=CDE,CD=DE,BCDCDE,BD=CE,同理可证对角线相等。,已知：,ABCDE,是正五边形，求证：,DB=CE,E,F,C,D,.,.,O,中心角,A,B,G,边心距把,AOB,分成,2,个,全等的直角三角形,设正多边形的边长为,a,半径为,R,则周长为,L=na.,R,a,正,n,边形的一个内角的度数是,_;,中心角是,_;,正多边形的中心角与外角的大小关系是,_.,相等,完成下表中正多边形的计算,(,把计算结果填入表中,),：,三、正多边形的有关计算,例,有一个亭子它的地基是半径为,4m,的正六边形,求地基的周长和面积,(,精确到,0.1,平方米,).,F,A,D,E,.,.,O,B,C,r,R,P,亭子的周长,L=6,4=24(m),F,A,D,E,.,.,O,B,C,r,R=4,P,3.,正多边形都是轴对称图形，一个正,n,边形共有,n,条对称轴，每条对称轴都通过,n,边形的中心。,四、正多边形的性质及对称性,4.,边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，,它的中心就是对称中心。,1,、正多边形的各边相等,2,、正多边形的各角相等,小结：,1,、怎样的多边形是正多边形？,2,、怎样判定一个多边形是正多边形？,各边相等,各角相等,的多边形叫做正多边形。,1,、两个正六边形的边长分别是,3,和,4,，这两个正六边形的面积之比等于,_,2,圆内接正方形的半径与边长的比值是,_,3,圆内接正四边形的边长为,4 cm,，那么边心距是,_,4,已知圆内接正方形的边长为，则该圆 的内接正六边形边长为,_,5,圆内接正六边形的边长是,8 cm,用么该正六边形的半径为,_,；边心距为,_,五,.,拓展练习,6,、已知正多边形的边心距与边长的比是，则此正多边形是,(),A,正三角形,B,、正方形,C,正六边形,D,正十二边形,7,以下有四种说法：顺次连结对角线相等的四边形各边中点，则所得的四边形是菱形；等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；顶点在圆周上的角是圆周角；边数相同的正多边形都相似，其中正确的有（）,A,1,个,B,2,个,C,3,个,D 4,个,8,正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（）,A.,互余,B.,互补,C.,互余或互补,D.,不能确定,9,若一个正多边形的每一个外角都等于,36,那么这个正多边形的中心角为（）,A,36 B,、,18,C,72 D,54,10,将一个边长为,a,正方形硬纸片剪去四角，使它成为正,n,边形，那么正,n,边形的面积为（）,A,、,11,正六边形螺帽的边长为,a,，那么扳手的开口,b,最小应是,(),A,、,六,.,画正多边形的方法,1.,用量角器等分圆,2.,尺规作图等分圆,(1),正四、正八边形的尺规作图,(2),正六、正三、正十二边形的尺规作图,(3),按照一定比例,画一个停车让行的交通标,志的外缘,停,(4),用量角器作五角星；,