教育专题：332简单的线性规划3

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,高二数学（上）教学课件,课题：简单的线性规划（3）线性规划的应用,2024/10/2,1,解线性规划应用问题的一般步骤,：,2,）设好变元并列出不等式组和目标函数,3,）,由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；,4,）,在可行域内求目标函数的最优解（注意整数解的调整）,1,）理清题意，列出表格：,5),还原成实际问题,(,准确作图，准确计算,),画出线性约束条件所表示的可行域，画图力保准确；,法,1,：移在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；,法,2,：算线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得（当两顶点的目标函数值相等时最优解落在一条边界线段上）。此法可弥补作图不准的局限。,2024/10/2,2,应用,1,有关二元一次代数式取值范围,解：由,、,同向相加可得：,求,2,x,+,y,的取值范围。,例,1.,若实数,x,y,满足,由,得,将上式与,同向相加得,+,得,以上解法正确吗？为什么？,2024/10/2,3,首先：我们画出,表示的平面区域,当,x=3,y=0,时,得出,2x+y,的最小值为,6,但此时,x+y=3,点,(3,0),不在不等式组的所表示的平面区域内,所以上述解答明显错了,1,2,3,4,5,6,7,x,6,5,4,3,2,1,0,-,1,-,1,-,2,y,-2,-3,-4,A,D,C,B,但不等式,与不等式,所表示的平面区域却不同？,（扩大了许多！）,从图中我们可以看出,没错,解得,2024/10/2,4,通过分析，我们知道上述解法中，,是对的，但用,x,的最大,(,小,),值及,y,的最大,(,小,),值来确定,2x+y,的最大,(,小,),值却是不合理的。,怎么来解决这个问题和这一类问题呢？这就是我们今天要学习的线性规划问题。,求,2,x,+,y,的取值范围。,例,1.,若实数,x,y,满足,2024/10/2,5,y,1,2,3,4,5,6,7,x,6,5,4,3,2,1,0,-,1,-,1,-,2,-2,-3,-4,A,D,C,B,我们设我们设,z=2x+y,方程变形为,y=-2x+z,等式表示斜率为,-2,纵截距为,z,的直线,把,z,看成参数,方程表示的是一组平行线,要求,z,的范围，现在就转化为求,这一组平行线中,与阴影区域有交点,且在,y,轴上的截距达到最大和最小的直线,.,由图，我们不难看出，这种直线的纵截距的最小值为过,A(3,1),的直线，纵截距最大为过,C(5,1),的直线。,所以,过,A(3,1),时，因为,z=2x+y,，所以,同理，过,B(5,1),时，因为,z=2x+y,，所以,2024/10/2,6,y,1,2,3,4,5,6,7,x,6,5,4,3,2,1,0,-,1,-,1,-,2,-2,-3,-4,A,D,C,B,解：作线形约束条件所表示的平面区域，即如图所示四边形,ABCD,。,作直线,所以，,求得,A(3,1)B(4,0),C(5,1)D(4,2),可使,达到最小值，,将直线,平移，平移到过,A,点,的平行线,与,重合时，,达到最大值。,可使,当,平移过,C,点时，与,的平行线,重合时，,例,1.,若实数,x,y,满足 求,2,x,+,y,的取值范围,2024/10/2,7,解法,2,：由待定系数法,:,设,2,x,+y=,m(x+y)+n(x-y,),=(,m+n)x+(m-n)y,m+n,=2,，,m-n,=1,m=3/2,，,n=1/2,2x+y,=,3/2,(,x+y,)+,1/2,(,x-y,),4,x+y,6,，,2,x-y,4,7,2x+y,11,例,1.,若实数,x,y,满足 求,2,x,+,y,的取值范围,2024/10/2,8,例,1:,某工厂生产甲、乙两种产品,.,已知生产,甲,种产品,1t,需消耗,A,种矿石,10t,、,B,种矿石,5t,、煤,4t,；,生产,乙,种产品,1,吨需消耗,A,种矿石,4t,、,B,种矿石,4t,、煤,9t.,每,1t,甲种产品的利润是,600,元,每,1t,乙种产品的利润是,1000,元,.,工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗,A,种矿石不超过,300t,、,消耗,B,种矿石不超过,200t,、,消耗煤不超过,360t.,甲、乙两种产品应各生产多少,(,精确到,0.1t),能使利润总额达到最大,?,甲产品,（,1t,）,乙,产品,（,1t,）,资源限额,（,t,）,A,种,矿石（,t,）,B,种矿石（,t,）,煤（,t,）,利润（元）,产品,消耗量,资源,列表,：,5,10,4,600,4,4,9,1000,300,200,360,设生产甲、乙两种产品,.,分别为,x t,、,yt,利润总额为,z,元,应用,2,有关利润最高、效益最大等问题,2024/10/2,9,例题分析,甲产品,（,1t,）,乙,产品,（,1t,）,资源限额,（,t,）,A,种,矿石（,t,）,B,种矿石（,t,）,煤（,t,）,利润（元）,产品,消耗量,资源,列表,：,5,10,4,600,4,4,9,1000,300,200,360,把题中限制条件进行,转化：,约束条件,10 x+4y300,5x+4y200,4x+9y360,x0,y 0,z=600 x+1000y.,目标函数：,设生产甲、乙两种产品,.,分别为,x t,、,yt,利润总额为,z,元,xt,yt,2024/10/2,10,例题分析,解,:,设生产甲、乙两种产品,.,分别为,x t,、,yt,利润总额为,z=600 x+1000y.,元,那么,10 x+4y300,5x+4y200,4x+9y360,x0,y 0,z=600 x+1000y.,作出以上不等式组所表示的可行域,作出一组平行直线,600 x+1000y=t,，,解得,交点,M,的坐标为,(12.4,34.4),5x+4y=200,4x+9y=360,由,10 x+4y=300,5x+4y=200,4x+9y=360,600 x+1000y=0,M,答,:,应生产甲产品约,12.4,吨，,乙产品,34.4,吨，,能使利润总额达到最大。,(12.4,34.4),经过可行域上的点,M,时,目标函数在,y,轴上截距最大,.,90,30,0,x,y,10,20,10,75,40,50,40,此时,z=600 x+1000y,取得最大值,.,2024/10/2,11,【,例,3】,营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供,0.075kg,的碳水化合物,0.06kg,的蛋白质,0.06kg,的脂肪,.,1kg,食物,A,含有,0.105kg,碳水化合物,0.07kg,蛋白质,0.14kg,脂肪,花费,28,元,;,而,1kg,食物,B,含有,0.105kg,碳水化合物,0.14kg,蛋白质,0.07kg,脂肪,花费,21,元,.,为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物,A,和食物,B,多少,kg,？,应用,3,有关成本最低、运费最少等问题,得点,M,的坐标为,答：每天需要同时食用食物,A,约,0.143 kg,，,食物,B,约,0.571 kg,，能够满足日常饮食要求，,且花费最低,16,元,.,幻灯片,13,幻灯片,14,2024/10/2,12,解：设每天食用,xkg,食物,A,ykg,食物,B,总花费为,z,元,则目标函数为,z=28x+21y,且,x,、,y,满足约束条件,整理为,作出约束条件所表示的可行域，,如右图所示,目标函数可变形为,如图，作直线,当直线,平移经过可行域时，在,点,M,处达到,轴上截距,的最小值，即此时,有最小值,.,解方程组,，,返回幻灯片,12,2024/10/2,13,线性规划的应用练习：,1,、已知：,-1a+b1,，,1a-2b3,，求,a+3b,的取值范围。,解法,1,：由待定系数法,:,设,a+3b=m(a+b)+n(a-2 b),=(m+n)a+(m-2n)b,m+n,=1,，,m-2n=3,m=5/3,，,n=-2/3,a+3b=5/3(a+b)-2/3(a-2 b),-1a+b1,，,1a-2 b3,-11/3a+3 b1,解法,2,：,-1a+b1,，,1a-2 b3,-22a+2 b2,，,-32 b-a-1,-1/3a5/3,-4/3b0,-13/3a+3 b5/3,2024/10/2,14,已知：,-1a+b1,，,1a-2b3,，求,a+3b,的取值范围。,解法,2,约束条件为：,目标函数为：,z=a+3b,由图形知：,-11/3z1,即,-11/3a+3 b1,2024/10/2,15,x,y,0,2x+y-600=0,300,600,x+2y-900=0,A(100,400),2.,某家具厂有方木材,90m,3,，,木工板,600m,3,，,准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料,0.1m,3,、,木工板,2m,3,；,生产每个书橱需要方木料,0.2m,3,，,木工板,1m,3,，,出售一张书桌可以获利,80,元，出售一张书橱可以获利,120,元；,（,1,）怎样安排生产可以获利最大？,（,2,）若只生产书桌可以获利多少？,（,3,）若只生产书橱可以获利多少？,（,1,）设生产书桌,x,张，书橱,y,张，利润为,z,元，则约束条件为,0.1x+0.2y90,2x+y600,x,，,yN,*,Z=80 x+120y,作出不等式表示的平面区域，,当生产,100,张书桌，,400,张书橱时利润最大为,z=80100+120400=56000,元,（,2,）若只生产书桌可以生产,300,张，用完木工板，可获利,24000,元；,（,3,）若只生产书橱可以生产,450,张，用完方木料，可获利,54000,元。,将直线,z=80 x+120y,平移可知：,900,450,求解：,2024/10/2,16,产品,资源,甲种棉纱（吨）,x,乙种棉纱（吨）,y,资源限额（吨）,一级子棉（吨）,2,1,300,二级子棉（吨）,1,2,250,利润（元）,600,900,3,某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱,1,吨需耗一级子棉,2,吨、二级子棉,1,吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉,1,吨、二级子棉,2,吨，每,1,吨甲种棉纱的利润是,600,元，每,1,吨乙种棉纱的利润是,900,元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过,300,吨、二级子棉不超过,250,吨,.,甲、乙两种棉纱应各生产多少,(,精确到吨,),，能使利润总额最大,?,2024/10/2,17,解：设生产甲、乙两种棉纱分别为,x,吨、,y,吨，利润总额为,z,元，则,Z=600 x+900y,作出,可行域,，可知直线,Z=600 x+900y,通过点,M,时利润最大。,解方程组,得点,M,的坐标,x=350/3117,y=200/367,答：应生产甲、乙两种棉纱分别为,117,吨、,67,吨，能使利润总额达到最大。,2024/10/2,18,4,、咖啡馆配制两种饮料甲种饮料每杯含奶粉,9g,、,咖啡,4g,、糖,3g,乙种饮料每杯含奶粉,4g,、,咖啡,5g,、糖,10g,已知每天原料的使用限额为奶粉,3600g,，,咖啡,2000g,糖,3000g,如果甲种饮料每杯能获利,0.7,元，乙种饮料每杯能获利,1.2,元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大,？,解：将已知数据列为下表：,消耗量,资源,甲产品（,1,杯）,乙产品,(1,杯,),资源限额（,g,）,奶粉（,g,）,9,4,3600,咖啡,(g),4,5,2000,糖,(g),3,10,3000,利润（元）,0.7,1.2,产品,2024/10/2,19,设每天应配制甲种饮料,x,杯，乙种饮料,y,杯，则,作出可行域：,目标函数为：,z=