第六章 内力计算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第六章 静定结构的内力计算,61,内力 截面法,62,轴向拉压杆的内力,63,梁的内力剪力和弯矩,6-4,剪力图和弯矩图,6-5,用叠加法作弯矩图,6-6,静定平面桁架内力,1,建筑力学,6-1,内力 截面法,一、内力的概念,对于所研究的物系受到其它物系给予的作用力称之为,外力,，而将此物系内部各物体之间的相互作用力称为,内力,。,当我们讨论构件的强度和刚度等问题时，一般总是以某一构件（不能再拆的结构元件）作为研究对象，因此，其它构件对此构件的作用力，就称为它所受到的外力。而,内力,则指的是此构件内部之间或各质点之间的相互作用力,。,当构件受到外力作用时，其形状和尺寸都将发生变化。构件内力也将随之改变，这一因外力作用而引起构件内力的改变量，称为,附加内力,。其作用趋势是力图使构件保持其原有形状与尺寸。,2,建筑力学,研究构件的变形和破坏问题，离不开讨论附加内力与外力的关系以及附加内力的限度。因为我们的讨论只涉及附加内力。,故以后即把附加内力简称为内力。,二、内力的求法截面法,为显示和计算内力，通常运用截面法，其一般步骤如下：,1,）截开 在需求内力的截面处，将构件假想截成两部分。,2,）代替 留下一部分，弃去另一部分，并用内力代替弃去部分对留下部分的作用。,3,）平衡 根据留下部分的平衡条件求出该截面的内力。,3,建筑力学,6-2,轴向拉压杆的内力,受力特征,：杆受一对大小相等、方向相反的纵向力，力的作用线与杆轴线重合。如,6,1,图,变形特征,：沿轴线方向伸长或缩短，横截面沿轴线平行移动。,产生轴向拉伸或压缩的杆件称为轴向拉杆或压杆。,如图,6-2,所示的屋架，上弦杆是压杆，下弦杆是拉杆。,图,6,2,图,6,1,4,建筑力学,运用截面法确定杆件内任一截面上的内力，将沿杆轴线方向的内力合力称为轴力。,轴力拉伸为正，压缩为负,如果直杆承受多于两个的外力时，直杆的不同段上将有不同的轴力。应分段使用截面法，计算各段的轴力。,为了形象地表示轴力沿杆件轴线的变化情况，可绘出轴力随横截面变化的图线，这一图线称为,轴力图,。,5,建筑力学,例：,求图示杆,1-1,、,2-2,、,3-3,截面上的轴力,解：,1,）计算轴力,6,建筑力学,由轴力图知,2,）画轴力图,7,建筑力学,6-3,梁的内力剪力和弯矩,一、梁承受荷载的特点,以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。,受力特征,：作用在直杆上的外力与杆轴线垂直,变形特征,：直杆的轴线将由原来的直线弯成曲线,纵向对称面,：梁的横截面的对称轴与梁的轴线所组成的平面称为纵向对称面。,8,建筑力学,平面弯曲,：如果作用于梁上的外力（包括荷载和支座反力）都位于纵向对称面内，且垂直于轴线，梁变形后的轴线将变成为纵向对称面内的一条平面曲线，这种弯曲变形称为平面弯曲。,本节只讨论平面弯曲时横截面上的内力。,工程中常见的梁按支座情况分为下列三种典型形式：,1),简支梁,端铰支座，另一端为滚轴支座的梁，如图,),外伸梁,梁身的一端或两端伸出支座的简支梁，如图。,),悬臂梁,端为固定支座，另一端自由的梁，如图。,9,建筑力学,简支梁,外伸梁,悬臂梁,10,建筑力学,以简支梁为例,二、梁的内力剪力和弯矩,梁内力的性质,为了计算梁的应力和变形，需首先确定其内力。分析梁内力的方法仍然是截面法。,支座反力：,求梁任一横截面,1-1,上的内力,11,建筑力学,梁横截面上的内力有两种：平行于横截面的内力,Q,和位于梁纵向对称面内的内力偶,M,。我们将,Q,称为剪力，将,M,称为弯矩。取左段为研究对象由平衡条件：,若取右段为研究对象，,1,1,截面也同时存在内力 和内力偶 ，（作用与反作用关系）。,剪力限制截面错动的变形，大小等于截面一侧所有外力的和；弯矩限制了截面的转动，,大小等于截面一侧所有外力对截面形心矩的代数和。,12,建筑力学,2.,剪力、弯矩的符号确定,13,建筑力学,例：,求图示梁,1-1,、,2-2,、,3-3,、,4-4,截面上的,剪力和弯矩,。,解：,1,）求支座反力,得,由,得,由,14,建筑力学,2,）求各截面的内力,各截面的内力均假设为正的，如图所示,计算结果为正说明假设的正负正确，计算结果为负说明假设的正负正好相反。,15,建筑力学,通过上例得出求梁内力的规律：,1),梁中任一截面的剪力在数值上等于该截面一侧所有垂直于梁轴线的外力的代数和。符号确定方法是：外力使梁产生左上右下错动趋势时，外力为正，反之外力为负。即截面以左向上的外力或截面以右向下的外力产生正剪力（简称左上右下生正剪），反之为负。,2),梁中任一截面的弯矩在数值上等于该截面一侧所有外力对该截面形心的力矩的代数和。符号确定方法是：力矩使梁下凸时为正，使梁上凸时为负。即向上的外力或截面以左顺时针转向的外力偶或截面以右逆时针转向的外力偶产生正的弯矩（简称左顺右逆生正弯矩），反之为负。,根据上述规律，求梁的剪力和弯矩时可以不必画出各段梁的示力图，也不需要列出各段梁的平衡方程，可直接算出截面的弯矩和剪力。,16,例,试求图所示悬臂梁,1-1,、,2-2,截面上的内力。,建筑力学,解：,1,）,悬臂梁左端为自由端，在求内力时，若取左段为研究对象，则可省去求支座反力。,2,）求,1-1,截面的剪力和弯矩,对,1-1,截面的左端梁运用上述规律：,计算结果均为负，说明该截面内力是负剪力和负弯矩。,3,）,求,2-2,截面的剪力和弯矩 对,2-2,截面的左段梁运用上述规律：,计算结果均为负，说明该截面内力是负剪力和负弯矩。,17,建筑力学,6-4,剪力图和弯矩图,这种内力与截面位置,x,的函数式分别称为,剪力方程,和,弯矩方程,，统称为,内力方程,。,为了清楚地表示梁上各横截面的剪力和弯矩的大小、正负以及最大值所在截面（危险截面）的位置，把剪力方程和弯矩方程用函数图象表示出来，分别称为,剪力图,和,弯矩图,。,需注意的是土建工程中习惯上把正剪力画在,x,轴上方，负剪力画在,x,轴下方；而弯矩规定画在梁受拉的一侧。,18,建筑力学,绘制剪力图和弯矩图的一般步骤为：,1,）,根据梁的支承情况和梁上作用的荷载，求出支座反力（对于悬臂梁，若选自由端一侧为研究对象，可以不必求支座反力。）,2,）,分段列出剪力方程和弯矩方程。根据荷载和支座反力，在集中力（包括支座反力）和集中力偶作用处，以及分布荷载的分布规律发生变化处将梁分段，以梁的左端为坐标原点，分别列出每一段的内力方程。,3,）,根据剪力方程和弯矩方程所表示的曲线性质，确定画出这些曲线所需要的控制点，即所谓的特征点，求出这些特征点的数值（即求出若干截面的剪力和弯矩）。,4,）,用与梁轴平行的直线为,x,轴，取特征点相应的剪力（或弯矩）值为竖距，根据剪力方程（或弯矩方程）所表示的曲线性质绘出剪力图（或弯矩图），并在图中标明各特征点的剪力（或弯矩）的数值。确定最大内力的数值及位置。,19,建筑力学,例,悬臂梁受集中力作用，如图,a,）所示。试画出此梁的弯矩图和剪力图，并确定,和,。,解：,1,）列出剪力方程和弯矩方程,将,x,坐标原点取在梁左端，在距左端,A,为,x,处取一截面。,2),计算各特征点的剪力和弯矩值,因为 ，,表明梁内各截,面的剪力都相同。所以剪力图是一条平行于,x,轴的直线，且位于,x,轴下方。,20,建筑力学,M,（,x,）是,x,的一次函数，所以弯矩沿梁轴按直线规律变化。由于是直线，故只需确定梁内任意两截面的弯矩，便可画出弯矩图。,3),绘制剪力图和弯矩图,由图可见，在梁右端的固定端面上，弯矩的绝对值最大，剪力则在全梁各截面都相等。,21,建筑力学,将静定梁在常见单种荷载作用下的,F,Q,图和,M,图汇总于下图。熟记这些内力图对以后学习有用。,22,建筑力学,23,建筑力学,应用,F,Q,（,x,）、,M,（,x,）与,q,(,x,),之间的微分关系及其几何意义，可以总结出下列一些规律，利用这些规律可以校核或绘制梁的剪力图和弯矩图。,以上三式就是,F,Q,（,x,）、,M,（,x,）、,和,q,(,x,),三者之间的微分关系，即：,1.,剪力方程,F,Q,（,x,）,对,x,的一阶导数等于荷载集度,q,(,x,),这一微分关系的几何意义是：剪力图上某点切线的斜率等于相应截面处的分布荷载的集度。,2.,弯矩方程,M,（,x,）,对,x,的一阶导数等于剪力方程，这一微分关系的几何意义是：弯矩图上某点切线的斜率等于相应截面上的剪力。,3.,弯矩方程,M,（,x,）,对,x,的二阶导数等于荷载集度,q,(,x,),，这一微分关系的几何意义是：弯矩图上某点的曲率等于相应截面处的分布荷载集度,q,(,x,),即由分布荷载集度的正负可以确定弯矩图的凹凸方向。,24,建筑力学,表,6-1,梁的荷载、剪力图、弯矩图之间的关系,梁上外力情况,剪 力 图（,Q,图）,弯 矩 图（,M,图）,q=0,无,外力梁段,dF,Q,（,x,）,dx,=q(x)=0,dM,（,x,）,dx,=,F,Q,(x,),斜直线,F,Q,0,；,F,Q,0,q0,上斜直线,EB,q=,常,0,由负正,上凸曲线（）,EB,q,=,常,0,由正负,下凸曲线,作出整梁,M,图,由,剪力图、弯矩图知：,47,